河北省衡水市深州市長(zhǎng)江中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

河北省衡水市深州市長(zhǎng)江中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在空間中，給出下列說(shuō)法：①平行于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線；②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是平行平面；③若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則；④過(guò)平面的一條斜線，有且只有一個(gè)平面與平面垂直.其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③2．等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則()A．8 B．10 C．12 D．143．已知隨機(jī)變量X的分布列表如下表，且隨機(jī)變量，則Y的期望是（）X-101mA． B． C． D．4．如圖，某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．5．若函數(shù)，則（）A．1 B． C．27 D．6．已知中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．47．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：則方差D(X)＝（）．A． B． C． D．8．端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)，則三種粽子各取到1個(gè)的概率是（）A． B． C． D．9．用反證法證明“方程至多有兩個(gè)解”的假設(shè)中，正確的是（）A．至少有兩個(gè)解 B．有且只有兩個(gè)解C．至少有三個(gè)解 D．至多有一個(gè)解10．設(shè)是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則在以下各項(xiàng)中，的可能值只能是（）．A．0 B． C． D．11．己知函數(shù)f(x)=x,1<x≤4x|x|,-1≤x≤1，則A．14 B．143 C．712．設(shè)，下列不等式中正確的是（）①②③④A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式的解集為___________.14．已知，則________．15．若，，則，的大小關(guān)系是__________．16．的化簡(jiǎn)結(jié)果為____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若不等式無(wú)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為,求實(shí)數(shù)的值．18．（12分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在正實(shí)數(shù)使得，若存在求出，否則說(shuō)明理由；19．（12分）如圖，在以為頂點(diǎn)的多面體中，面，，，，，（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)趫D中作出平面，使得平面，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）證明：平面.20．（12分）如圖所示：在底面為直角梯形的四棱錐中，，面，E、F分別為、的中點(diǎn).如果，，與底面成角.（1）求異面直線與所成角的大?。ㄓ梅慈切问奖硎荆唬?）求點(diǎn)D到平面的距離.21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求使對(duì)恒成立的的取值范圍.22．（10分）已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線過(guò)點(diǎn)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

說(shuō)法①：可以根據(jù)線面平行的判定理判斷出本說(shuō)法是否正確；說(shuō)法②：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判定定理可以判斷出本說(shuō)法是否正確；說(shuō)法③：當(dāng)與相交時(shí)，是否在平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，進(jìn)行判斷；說(shuō)法④：可以通過(guò)反證法進(jìn)行判斷.【題目詳解】①平行于同一個(gè)平面的兩條直線可能平行、相交或異面，不正確；易知②正確；③若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則與可能平行，也可能相交，不正確；易知④正確.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線線位置關(guān)系、面面位置關(guān)系的判斷，分類討論是解題的關(guān)鍵，反證法是經(jīng)常用到的方程.2、C【解題分析】試題分析：假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).3、A【解題分析】

由隨機(jī)變量X的分布列求出m，求出，由，得，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】由隨機(jī)變量X的分布列得：，解得，，，．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

根據(jù)三視圖知幾何體為上下底面為等腰直角三角形，高為的三棱臺(tái)，計(jì)算體積得到答案.【題目詳解】根據(jù)三視圖知：幾何體為上下底面為等腰直角三角形，高為的三棱臺(tái)，故.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三視圖求體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.5、C【解題分析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得，從而得到，代入可求得結(jié)果.【題目詳解】，，解得：，，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)值的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確為實(shí)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為零.6、B【解題分析】

利用正弦定理求出的值，用基底表示，，則可以得到的值.【題目詳解】解：在中，由正弦定理得，，即，解得，因?yàn)椋?，所以故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、向量分解、向量數(shù)量積等問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為基向量，從而求解問(wèn)題.7、B【解題分析】分析：先求出的值，然后求出，利用公式求出詳解：故選點(diǎn)睛：本題考查了隨機(jī)變量的分布列的相關(guān)計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)算方法8、C【解題分析】試題分析：由題可先算出10個(gè)元素中取出3個(gè)的所有基本事件為；種情況；而三種粽子各取到1個(gè)有種情況，則可由古典概率得；考點(diǎn)：古典概率的算法．9、C【解題分析】分析：把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，即為所求．詳解：由于用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，

命題：“方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有兩個(gè)解”的否定是：“至少有三個(gè)解”，

故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查用命題的否定，反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，是解題的突破口，屬于中檔題．10、C【解題分析】

先閱讀理解題意，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為圓上有12個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合，再結(jié)合函數(shù)的定義逐一檢驗(yàn)即可.【題目詳解】解：由題意可得：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為圓上有12個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合，則通過(guò)代入和賦值的方法，當(dāng)時(shí)，此時(shí)得到圓心角為，然而此時(shí)或時(shí)，都有2個(gè)與之對(duì)應(yīng)，根據(jù)函數(shù)的定義，自變量與應(yīng)變量只能“一對(duì)一”或“多對(duì)一”，不能“一對(duì)多”，因此，只有當(dāng)時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)，滿足一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)，所以的可能值只能是，故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的定義，重點(diǎn)考查了函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義，結(jié)合x∈[-1,1]時(shí)f【題目詳解】函數(shù)f(x)=故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)的定積分應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中熟記微積分基本定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解得的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力屬于基礎(chǔ)題．12、C【解題分析】分析：利用絕對(duì)值三角不等式等逐一判斷.詳解：因?yàn)閍b>0,所以a,b同號(hào).對(duì)于①，由絕對(duì)值三角不等式得，所以①是正確的；對(duì)于②，當(dāng)a,b同號(hào)時(shí)，，所以②是錯(cuò)誤的；對(duì)于③，假設(shè)a=3,b=2,所以③是錯(cuò)誤的；對(duì)于④，由絕對(duì)值三角不等式得，所以④是正確的.故答案為：C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查絕對(duì)值不等式，意在考查學(xué)生對(duì)該知道掌握水平和分析推理能力.(2)對(duì)于類似這樣的題目，方法要靈活，有的可以舉反例，有的可以直接證明判斷.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】因此解集為.考點(diǎn)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查運(yùn)用能力.14、【解題分析】分析：由題意，利用目標(biāo)角和已知角之間的關(guān)系，現(xiàn)利用誘導(dǎo)公式，在結(jié)合二倍角公式，即可求解．詳解：由題意，又由，所以．點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，其中解答中正確構(gòu)造已知角與求解角之間的關(guān)系，合理選擇三角恒等變換的公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力．15、【解題分析】分析：作差法，用，判斷其符號(hào)．詳解：，所以，．點(diǎn)睛：作差法是比較大小的基本方法，根式的分子有理化是解題的關(guān)鍵16、18【解題分析】

由指數(shù)冪的運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?故答案為18【題目點(diǎn)撥】本題主要考查指數(shù)冪運(yùn)算以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】分析：⑴化簡(jiǎn)不等式得，利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為時(shí)滿足題意，求出實(shí)數(shù)的取值范圍⑵由代入化簡(jiǎn)不等式得不等式組，結(jié)合單調(diào)性求出最小值詳解：（Ⅰ）∵，∵，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴要使不等式無(wú)解，只需，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍為：.（Ⅱ）因?yàn)?，所以，∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，解得適合.點(diǎn)睛：本題考查了含有絕對(duì)值不等式的解答，運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出最值，當(dāng)參數(shù)確定范圍時(shí)，代入進(jìn)行化簡(jiǎn)得到函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)單調(diào)性求出結(jié)果．18、（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）不存在，證明見解析．【解題分析】分析：（1）先求一階導(dǎo)函數(shù)的根，求解或的解集，寫出單調(diào)區(qū)間．（2）函數(shù)在上的單調(diào)性，和函數(shù)的對(duì)稱性說(shuō)明不存在詳解：（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）不存在正實(shí)數(shù)使得成立，事實(shí)上，由（1）知函數(shù)在上遞增，而當(dāng)，有，在上遞減，有，因此，若存在正實(shí)數(shù)使得，必有．令，令，因?yàn)?，所以，所以為上的增函?shù)，所以，即，故不存在正實(shí)數(shù)使得成立．點(diǎn)睛：方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)三種思想的轉(zhuǎn)化，為解題思路提供了靈活性，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的一個(gè)基本工具在使用．19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，則平面即為所求平面；根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系和平行關(guān)系可知四邊形是平行四邊形，得；又，利用線面平行判定定理和面面平行判定定理可證得平面平面，根據(jù)面面平行性質(zhì)可證得結(jié)論；（Ⅱ）易知是邊長(zhǎng)為的正三角形，從而根據(jù)角度關(guān)系可求得，結(jié)合，可利用線面垂直判定定理證得結(jié)論.【題目詳解】（Ⅰ）如圖，取中點(diǎn)，連接，則平面即為所求平面理由如下：，且四邊形是平行四邊形平面，平面平面，平面，平面平面平面，平面，且平面平面平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）四邊形是平行四邊形，則，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，即平面，平面平面，平面，平面【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行和面面平行判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用、線面垂直關(guān)系的證明問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)定理的掌握情況，屬于常考題型.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）先確定與底面所成角，計(jì)算SA，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求異面直線與所成角；（2）先求平面的一個(gè)法向量，再利用向量投影求點(diǎn)D到平面的距離.【題目詳解】（1）因?yàn)槊妫允桥c底面所成角，即，因?yàn)?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,從而,,因此所以異面直線與所成角為，（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為,因?yàn)?，所以令，從而點(diǎn)D到平面的距離為【題目點(diǎn)撥】本題考查線面角以及利用向量求線線角與點(diǎn)面距，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21、（1）見解析；（2）【解題分析】

(1)求導(dǎo)后得,再對(duì)分三種情況討論可得;(2)先由,解得,從而由(1)可得在上為增函數(shù),再將恒成立轉(zhuǎn)化為可解得.【題目詳解】（1）因?yàn)?，其中，所?所以，時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由題意得，即.由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增，要使對(duì)恒成立.只要解得.故的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)