2024屆江西師范大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆江西師范大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是()A．512 B．12 C．72．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為A．24 B．48C．60 D．724．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）A．20種 B．30種 C．40種 D．60種5．已知：，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍是A． B． C． D．7．口袋中放有大小相等的2個(gè)紅球和1個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，定義數(shù)列，如果為數(shù)列前n項(xiàng)和，則的概率等于（）A． B．C． D．8．若函數(shù)在上有小于的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．雙曲線的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則拋物線的方程為（）A． B． C． D．10．在等差數(shù)列中，，，則的前10項(xiàng)和為（）A．-80 B．-85 C．-88 D．-9011．已知定義在R上的偶函數(shù)，在時(shí)，，若，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．12．已知雙曲線方程為，它的一條漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)fx=x?lnx，且0<x1<x2，給出下列命題：①fx1-f14．已知函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為.則的解析式為_(kāi)_______．15．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則__________．16．已知函數(shù)，則______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求的解集.18．（12分）若關(guān)于的不等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若實(shí)數(shù)的最大值為，且正實(shí)數(shù)滿足，求證：.19．（12分）已知(1)若,且為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若是充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）求，并猜想的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中所得的猜想．21．（12分）已知橢圓：與拋物線有公共的焦點(diǎn)，且公共弦長(zhǎng)為，（1）求，的值.（2）過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且，求.22．（10分）在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足.(1)求(2)由(1)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：由題意可知，事件A與事件B是相互獨(dú)立的，而事件A、B中至少有一件發(fā)生的事件包含AB、AB、AB，又P(A)=12，考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算．2、C【解題分析】

先求解絕對(duì)值不等式得到集合A，然后直接利用交集運(yùn)算可得答案?！绢}目詳解】解：因?yàn)?，所以，得，所以集合，又因?yàn)?，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了絕對(duì)值不等式及交集運(yùn)算，較基礎(chǔ).3、D【解題分析】試題分析：由題意，要組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)應(yīng)該為1或3或5，其他位置共有種排法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故選D.【考點(diǎn)】排列、組合【名師點(diǎn)睛】利用排列、組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏，分步時(shí)要注意整個(gè)事件的完成步驟．在本題中，個(gè)位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個(gè)位置，第二步再安排其他四個(gè)位置．4、A【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；據(jù)此分3種情況討論，計(jì)算可得其情況數(shù)目，進(jìn)而由加法原理，計(jì)算可得答案．解：根據(jù)題意，要求甲安排在另外兩位前面，則甲有3種分配方法，即甲在星期一、二、三；分3種情況討論可得，甲在星期一有A42=12種安排方法，甲在星期二有A32=6種安排方法，甲在星期三有A22=2種安排方法，總共有12+6+2=20種；故選A．5、A【解題分析】

若恒成立,則的最小值大于,利用均值定理及“1”的代換求得的最小值,進(jìn)而求解即可.【題目詳解】由題,因?yàn)?,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號(hào)成立,因?yàn)楹愠闪?則,即,解得,故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查均值不等式中“1”的代換的應(yīng)用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立問(wèn)題.6、D【解題分析】

法一：考查四個(gè)選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)特殊值區(qū)分開(kāi)了四個(gè)選項(xiàng)，0出現(xiàn)在了A，B兩個(gè)選項(xiàng)的范圍中，出現(xiàn)在了B，C兩個(gè)選項(xiàng)的范圍中，故通過(guò)驗(yàn)證參數(shù)為0與時(shí)是否符合題意判斷出正確選項(xiàng)。法二：根據(jù)題意可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，分離參數(shù)得到，，利用導(dǎo)數(shù)研究的值域，即可得到參數(shù)的范圍?！绢}目詳解】法一：由題意可得，，而由可知，當(dāng)時(shí)，＝為增函數(shù)，∴時(shí)，．∴不存在使成立，故A，B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，＝，當(dāng)時(shí)，只有時(shí)才有意義，而，故C錯(cuò)．故選D．法二：顯然，函數(shù)是增函數(shù)，，由題意可得，，而由可知，于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解．由，得，分離變量，得，因?yàn)?，，所以，函?shù)在上是增函數(shù)，于是有，即，應(yīng)選D．【題目點(diǎn)撥】本題是一個(gè)函數(shù)綜合題，方法一的切入點(diǎn)是觀察四個(gè)選項(xiàng)中與不同，結(jié)合排除法以及函數(shù)性質(zhì)判斷出正確選項(xiàng)，方法二是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，屬于中檔題。7、B【解題分析】分析：由題意可得模球的次數(shù)為7次，只有兩次摸到紅球，由于每次摸球的結(jié)果數(shù)之間沒(méi)有影響，利用獨(dú)立性事件的概率乘法公式求解即可．詳解：由題意說(shuō)明摸球七次，只有兩次摸到紅球，因?yàn)槊看蚊虻慕Y(jié)果數(shù)之間沒(méi)有影響，摸到紅球的概率是，摸到白球的概率是所以只有兩次摸到紅球的概率是，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，其中解答中通過(guò)確定摸球次數(shù)，且只有兩次摸到紅球是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力．8、B【解題分析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，在上有小于的極值點(diǎn)等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有小于0的根．【題目詳解】由因?yàn)樵谏嫌行∮诘臉O值點(diǎn)，所以有小于0的根，由的圖像如圖：可知有小于0的根需要，所以選擇B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】由題意可知該雙曲線是等軸雙曲線，故漸近線方程是，而拋物線的準(zhǔn)線方程為，由題設(shè)可得，則，所以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，應(yīng)選答案C。10、A【解題分析】

用待定系數(shù)法可求出通項(xiàng)，于是可求得前10項(xiàng)和.【題目詳解】設(shè)的公差為，則，，所以，，前10項(xiàng)和為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式，比較基礎(chǔ).11、B【解題分析】試題分析：當(dāng)時(shí)，，，∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∵函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，∴，∴，∴，即．考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、解不等式．12、A【解題分析】方法一：雙曲線的漸近線方程為，則，圓的方程，圓心為，所以，化簡(jiǎn)可得，則離心率.方法二：因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，則有平行線的對(duì)應(yīng)成比例可得知，即則離心率為.選A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③【解題分析】

根據(jù)每一個(gè)問(wèn)題構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷命題正誤.【題目詳解】∵f當(dāng)0<x<1e時(shí)，f'(x)<0，當(dāng)x>1e時(shí)，f'(x)>0，①令g(x)=f(x)-x=xlnx-x，則g'(x)=ln∴g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增，當(dāng)x2>x∴f(x2)-②令g(x)=f(x)x=lnx∵0<x1<x2③當(dāng)lnx>-1時(shí)，則x>1e，∴f(x)在(∴x1f(∴x④令h(x)=f(x)+x=xlnx+x，則∴x∈(0,1e2)時(shí)，h'設(shè)x1,x2∈(0,∴x【題目點(diǎn)撥】證明函數(shù)不等式問(wèn)題，經(jīng)常與函數(shù)性質(zhì)中的單調(diào)性有關(guān).解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于構(gòu)造什么樣函數(shù)？14、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)周期為，求出，再由圖象的最低點(diǎn)，得到振幅，及.【題目詳解】因?yàn)閳D象與兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，所以，所以，由于圖象的最低點(diǎn)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故填?【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意這一條件限制，從面得到值的唯一性.15、8【解題分析】

利用求解.【題目詳解】，則.故答案為：8【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、.【解題分析】

由題設(shè)條件，先求出，．【題目詳解】由題，可得則即答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的函數(shù)值求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）在為增函數(shù)；（2）【解題分析】

（1）首先求出的導(dǎo)數(shù)，并且求出時(shí)的斜率，根據(jù)點(diǎn)處的切線與直線垂直即可求出，再對(duì)求二階導(dǎo)數(shù)即可判斷的單調(diào)區(qū)間。（2）根據(jù)（1）的結(jié)果轉(zhuǎn)化成求的問(wèn)題，利用單調(diào)性求解即可?！绢}目詳解】（1）曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.令當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)。所以所以，所以在為增函數(shù)（2）令，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以在為增函數(shù)因?yàn)?，所以不等式的解集為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及兩條直角垂直時(shí)斜率的關(guān)系。在解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)通常需要取一些特殊值進(jìn)行判斷。屬于難題。18、（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)證明【解題分析】

（Ⅰ）不等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，也即是成立，求出最大值即可；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，因此，展開(kāi)之后結(jié)合基本不等式即可證明結(jié)論成立；也可利用柯西不等式來(lái)證明.【題目詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗裕á颍┯桑?）可知，,則方法一：方法二：利用柯西不等式【題目點(diǎn)撥】本題主要考查含絕對(duì)值的不等式，以及不等式的證明，常用到基本不等式或柯西不等式等，需要考生靈活運(yùn)用各類結(jié)論，屬于?？碱}型.19、（1）；（2）【解題分析】

(1)解不等求得p，根據(jù)m的值求得q；根據(jù)p∧q為真可知p、q同時(shí)為真，可求得x的取值范圍．(2)先求得q．根據(jù)p是q的充分不必要條件，得到不等式組，解不等式組即可得到m的取值范圍．【題目詳解】(1)由x2-6x+5≤0,得1≤x≤5,∴p:1≤x≤5.當(dāng)m=2時(shí),q:-1≤x≤3.若p∧q為真,p,q同時(shí)為真命題,則即1≤x≤3.∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為[1,3].(2)由x2-2x+1-m2≤0,得q:1-m≤x≤1+m.∵p是q的充分不必要條件,∴解得m≥4.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[4,+∞).【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)合命題的簡(jiǎn)單應(yīng)用，充分必要條件的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．20、(1)，猜想.(2)見(jiàn)解析.【解題分析】分析：（1）直接由原式計(jì)算即可得出，然后根據(jù)數(shù)值規(guī)律得，（2）直接根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟證明即可.詳解：（1），猜想.（2）當(dāng)時(shí)，命題成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，故當(dāng)時(shí)，，故時(shí)猜想也成立.綜上所述，猜想成立，即.點(diǎn)睛：考查數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程的熟悉是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.21、（1），；（2）.【解題分析】

(1)由橢圓以及拋物線的對(duì)稱性可得到交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入，可得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由有公共的焦點(diǎn)，即可得到，的值；(2)先設(shè)：，再由直線交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由已知條件可得，從而可求出.【題目詳解】（1）∵，均關(guān)于軸對(duì)稱，∴公共弦也關(guān)于軸對(duì)稱，∵公共弦長(zhǎng)為，將代入，中解得與，∴，.∵，有公共的焦點(diǎn)，∴，解得，.（2），設(shè)，，，，∵，∴，即，.當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，顯然不成立，∴設(shè)：，將方程代入整理得，，.將方程代入整理得，∴，.代入中解得，∵，∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓以及拋物線的對(duì)稱性，以及直線與橢圓和拋物線的關(guān)系，拋物線定義求弦長(zhǎng)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于較難題.22、(1)見(jiàn)解析.(2)見(jiàn)解析.【解題分析】試題分析：（I）由，n分別取1，2，3，代入計(jì)算，即可求得結(jié)論，猜想；（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是n=k+1時(shí)，變形利用歸納假設(shè)．試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，∴或(舍,).當(dāng)時(shí)，，∴．當(dāng)時(shí)，，∴．猜想：.