2024屆沈陽市第一三四中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆沈陽市第一三四中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則（）A．2 B．4 C． D．82．袋中共有10個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從袋中任取2個(gè)球，則所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為（）A． B． C． D．3．中國古典數(shù)學(xué)有完整的理論體系，其代表我作有《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《數(shù)書九章》等，有5位年輕人計(jì)劃閱讀這4本古典數(shù)學(xué)著作，要求每部古典數(shù)學(xué)著作至少有1人閱讀,則不同的閱讀方案的總數(shù)是()A．480 B．240 C．180 D．1204．在極坐標(biāo)系中，與關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的最小正周期為4π，則（

）A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)f（x）圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后，所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上單調(diào)遞增6．有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有（）A．34種 B．48種C．96種 D．144種7．過雙曲線的右焦點(diǎn)作圓的切線（切點(diǎn)為），交軸于點(diǎn).若為線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．8．高三畢業(yè)時(shí)，甲，乙，丙等五位同學(xué)站成一排合影留念，在甲和乙相鄰的條件下，丙和乙也相鄰的概率為（）A． B． C． D．9．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率是0.6，乙勝的概率是0.4.那么采用5局3勝制還是7局4勝制對(duì)乙更有利？（）A．5局3勝制 B．7局4勝制 C．都一樣 D．說不清楚10．在中，，，，點(diǎn)滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．711．在如圖所示的計(jì)算的值的程序框圖中，判斷框內(nèi)應(yīng)填入A． B． C． D．12．設(shè),則（）A．a(chǎn)<b〈c B．b<a<c C．c〈a〈b D．c<b〈a二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則______.14．設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，若，則__________．15．定積分的值為__________.16．已知向量，，，，若，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù),.（Ⅰ）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值及在內(nèi)的最小值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且.18．（12分）如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側(cè)棱的長為5.（1）求三棱柱的體積；（2）設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小.19．（12分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定：機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定：對(duì)不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009085（1）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)少與月份x之間的回歸直線方程；（2）預(yù)測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)；（3）交警從這5個(gè)月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查了50人，調(diào)查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關(guān)系，得到如下2×2列聯(lián)表：不禮讓斑馬線禮讓斑馬線合計(jì)駕齡不超過1年22830駕齡1年以上81220合計(jì)302050能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)？參考公式：，.（其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).(Ⅰ)求拋物線的方程；(Ⅱ)若，求直線的方程.21．（12分）等邊的邊長為，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且滿足(如圖(1))，將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連接，(如圖(2)).(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為?若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.22．（10分）如圖，為圓錐的高，B、C為圓錐底面圓周上兩個(gè)點(diǎn)，，，，是的中點(diǎn)．（1）求該圓錐的全面積；（2）求異面直線與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

通過導(dǎo)數(shù)的定義，即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，，故答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，難度不大.2、C【解題分析】

從袋中任取2個(gè)球，基本事件總數(shù)n．所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球包含的基本事件個(gè)數(shù)m，利用古典概型公式可得所求．【題目詳解】袋中共有10個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從袋中任取2個(gè)球，基本事件總數(shù)n1．所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球包含的基本事件個(gè)數(shù)m24，∴所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為p．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】分析：先根據(jù)條件確定有且僅有一本書是兩人閱讀，再根據(jù)先選后排求排列數(shù).詳解：先從5位年輕人中選2人，再進(jìn)行全排列，所以不同的閱讀方案的總數(shù)是選B.點(diǎn)睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.4、B【解題分析】

直接根據(jù)極軸對(duì)稱性質(zhì)得到答案.【題目詳解】在極坐標(biāo)系中，與關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)是.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了極軸的對(duì)稱問題，屬于簡單題.5、C【解題分析】分析：函數(shù)的最小正周期為4π，求出，可得的解析式，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.詳解：函數(shù)的最小正周期為4π，，，，由對(duì)稱中心橫坐標(biāo)方程：，可得，A不正確；由對(duì)稱軸方程：，可得，B不正確；函數(shù)f（x）圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，可得：，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，C正確；令，可得：，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上不是單調(diào)遞增，D不正確；故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，注意圖象變換時(shí)的伸縮、平移總是針對(duì)自變量x而言，而不是看角ωx＋φ的變化．6、C【解題分析】試題分析：,故選C.考點(diǎn)：排列組合.7、B【解題分析】

在中，為線段的中點(diǎn)，又，得到等腰三角形，利用邊的關(guān)系得到離心率.【題目詳解】在中，為線段的中點(diǎn)，又，則為等腰直角三角形.故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的離心率，屬于?？碱}型.8、B【解題分析】

記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計(jì)算出和，再利用條件概率公式可計(jì)算出所求事件的概率．【題目詳解】記事件甲乙相鄰，事件乙丙相鄰，則事件乙和甲丙都相鄰，所求事件為，甲乙相鄰，則將甲乙兩人捆綁，與其他三位同學(xué)形成四個(gè)元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得.乙和甲丙都相鄰，則將甲乙丙三人捆綁，且乙位置正中間，與其他兩位同學(xué)形成三個(gè)元素，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可得，由條件概率公式可得，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，解這類問題時(shí)，要弄清各事件事件的關(guān)系，利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計(jì)算相應(yīng)事件的概率，并靈活利用條件概率公式計(jì)算出所求事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于中等題．9、A【解題分析】

分別計(jì)算出乙在5局3勝制和7局4勝制情形下對(duì)應(yīng)的概率，然后進(jìn)行比較即可得出答案.【題目詳解】當(dāng)采用5局3勝制時(shí)，乙可以3:0，3:1，3:2戰(zhàn)勝甲，故乙獲勝的概率為：;當(dāng)采用7局4勝制時(shí)，乙可以4:0，4:1，4:2，4:3戰(zhàn)勝甲，故乙獲勝的概率為：，顯然采用5局3勝制對(duì)乙更有利，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和分析能力，難度中等.10、D【解題分析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積．【題目詳解】在中，，，，點(diǎn)滿足，可得則==【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量．11、D【解題分析】程序運(yùn)行過程中，各變量值如下表所示：第一圈：S=0+1，i=5，第二圈：S=1+3，i=9，第三圈：S=1+3+5，i=13，…依此類推，第503圈：1+3+5+…+2013，i=2017，退出循環(huán)，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是：i?2013，本題選擇D選項(xiàng).12、D【解題分析】分析：先對(duì)a,b,c,進(jìn)行化簡，然后進(jìn)行比較即可.詳解：，又故，故選D.點(diǎn)睛：考查對(duì)指數(shù)冪的化簡運(yùn)算，定積分計(jì)算，比較大小則通常進(jìn)行估算值的大小，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

把復(fù)數(shù)z=1-2i及它的共軛復(fù)數(shù)代入，將其化簡為a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【題目詳解】復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則，，故答案為：6?2i.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14、3【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解.【題目詳解】因?yàn)?，所以，即，?【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義.15、【解題分析】分析：，其中利用定積分的幾何意義計(jì)算.詳解：，其中的幾何意義為函數(shù)與直線及軸所圍成的圖形的面積，即圓在第一象限的部分的面積，其值為.而.所以原式.故答案為：.點(diǎn)睛：本題主要考查定積分，定積分的幾何意義，圓的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，解答定積分的計(jì)算，關(guān)鍵是熟練掌握定積分的相關(guān)性質(zhì).16、【解題分析】

計(jì)算出向量與的坐標(biāo)，利用共線向量坐標(biāo)的等價(jià)條件列等式求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】，，又，所以，，解得，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用共線向量求參數(shù)的值，解題時(shí)要計(jì)算出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用共線向量的坐標(biāo)的等價(jià)條件列等式求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）由已知條件的導(dǎo)函數(shù)，以及，從而求出實(shí)數(shù)的值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性，從而得到在內(nèi)的最小值（Ⅱ）由題可得,令，要證函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，即證只有唯一根，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間與值域即可，且由零點(diǎn)定理可知，由，可得，代入中，利用導(dǎo)數(shù)求出在內(nèi)的最值即可證明?！绢}目詳解】（Ⅰ）由題可得：，則，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)；；當(dāng)時(shí)，，令，解得：或，當(dāng)時(shí)，、的變化如下表：所以當(dāng)時(shí)，有最小值，（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，令，，則，由于恒成立，所以恒大于零，則在上單調(diào)遞增，由于，，根據(jù)零點(diǎn)定理，可得存在唯一的，使得，令，解得：，，當(dāng)或時(shí)，，即的單調(diào)增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，即的單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且，，則；，則，令，解得：或，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，則，，所以【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值以及極值中的運(yùn)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，綜合性較強(qiáng)，有一定難度。18、（1）2;（2）【解題分析】

（1）三棱柱的體積，由此能求出結(jié)果；（2）連結(jié)是直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的大小.【題目詳解】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側(cè)棱AA1的長為1．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積：V＝S△ABC×AA12．（2）連結(jié)AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側(cè)棱AA1的長為1，M是BC中點(diǎn)，∴AA1⊥底面ABC，AM，∴∠A1MA是直線A1M與平面ABC所成角，tan∠A1MA，∴直線A1M與平面ABC所成角的大小為arctan．【題目點(diǎn)撥】本題考查三棱柱的體積的求法，考查線面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．19、（1）；（2）66人；（3）有的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線”行為與駕齡關(guān)．【解題分析】

（1）利用所給數(shù)據(jù)計(jì)算、，求出回歸系數(shù)，寫出回歸直線方程；

（2）由（1）中的回歸直線方程計(jì)算x=7時(shí)的值即可；

（3）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算K2，對(duì)照臨界值得出結(jié)論．【題目詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)知，，∴，∴，∴所求回歸直線方程為．（2）由（1）知，令，則人.（3）由表中數(shù)據(jù)得，根據(jù)統(tǒng)計(jì)有的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線”行為與駕齡關(guān)．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．20、(Ⅰ)拋物線的方程為;(Ⅱ)直線的方程為或.【解題分析】分析：(Ⅰ)由題意可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則,拋物線的方程為.(Ⅱ)依題意,可設(shè)直線的方程為．聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得,結(jié)合韋達(dá)定理可得則,解得．直線的方程為或．詳解：(Ⅰ)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,而拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，所以,解得，所以拋物線的方程為.(Ⅱ)依題意,可設(shè)直線的方程為．聯(lián)立,整理得,由題意,,所以或．則.則,.則又已知,所以,解得．所以直線的方程為或．化簡得直線的方程為或．點(diǎn)睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．21、（1）證明見解析；（2）存在點(diǎn)，.【解題分析】

（1）通過證明，即可證明平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系