2024年大學試題(理學)-數值分析歷年高頻考點試卷專家薈萃含答案

2024年大學試題(理學)-數值分析歷年高頻考點試卷專家薈萃含答案（圖片大小可自由調整）第1卷一.參考題庫(共25題)1.選取常數a，使達到極小，問這個解是否唯一？2.設A為非奇異矩陣，且，求證（A+δA）-1存在且有估計 3.證明：（a）如果A是對稱正定陣，則A-1也是正定陣；（b）如果A是對稱正定陣，則A可唯一寫成A=LTL，其中L是具有正對角元的下三角陣。4.求f（x）=x4在[0，5]上的分段3次Hermite插值，并估計誤差（h=1）。5.利用反冪法求矩陣的最接近于6的特征值及對應的特征向量。6.用二分法求方程f（x）=x3-x-1=0在[1.0，1.5]區(qū)間內的一個根，誤差限。ε=10-27.求f（x）=x4在[a，b]的分段埃爾米特插值，并估計誤差。8.證明n階均差有下列性質：若F（x）=cf（x），則F[x0，x1，...，xn]=cf（x0，x1，...，xn）。9.矩陣第一行乘以一數，成為 證明當時，cound（A）∞有最小值。10.設已知一組實驗數據 11.求積公式，試確定系數A0，A1及B0使該求積公式具有盡可能高的代數精確度，并給出代數精確度的次數。（代數精度的應用和計算）12.設f（x）=（x3-a）2，證明解f（x）=0的Newton迭代公式是線性收斂的13.已知，則A的譜半徑ρ（A）=（），則=（）。14.用高斯－約當方法求A的逆陣： 15.已知近似值xA=2.4560是由真值xT經四舍五入得到，則相對誤差限為（）16.在牛頓-柯特斯求積公式：中，當系數是負值時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應用中，當（）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。A、n≥8B、n≥7C、n≥10D、n≥617.證明解y′=f（x，y）的下列差分公式 是二階的，并求出截斷誤差的首項。18.是第二類切比雪夫多項式，證明它有遞推關系19.用Newton法求下列方程的根，計算準確到4位有效數字。 （1）f（x）=x3-3x-1=0在x0=2附近的根。 （2）f（x）=x2-3x-ex+2=0在x0=1附近的根。20.應用牛頓法于方程，導出求的迭代公式，并用此公式求的值。21.用三點公式和五點公式分別求在x=1.0，1.1和1.2處的導數值，并估計誤差。f（x）的值由下表給出： 22.已知，求Householder陣H使Hx=ky，其中。H=（）23.如下函數值表 建立不超過三次的牛頓插值多項式。（牛頓插值多項式的構造）24.用二步法求解一階常微分方程初值問題，問：如何選擇參數，α，β的值，才使該方法的階數盡可能地高？寫出此時的局部截斷誤差主項，并說明該方法是幾階的。25.簡述二分法的優(yōu)缺點。第2卷一.參考題庫(共25題)1.設xj為互異節(jié)點（j=0，1，...，n），求證： 2.用3點Gauss-Legendre公式求3.求利用梯形公式的計算結果為（），利用辛卜生公式的計算結果為（）。4.若用復化梯形公式計算，要求誤差不超過10-6，利用余項公式估計，至少用（）個求積節(jié)點。5.設計算A的行范數，列范數，2-范數及F-范數。6.計算的Newton迭代格式為（）A、B、C、D、7.給定函數f（x），設對一切x，f′（x）存在且0<m≤f′（x）≤M，證明對于范圍內0<λ<2/M的任意定數λ，迭代過程xk+1=xk-λf（xk）均收斂于f（x）的根x*。8.用列主元三角分解法求解方程組。其中 9.已知函數y=f（x）的相關數據 由牛頓插值公式求三次插值多項式p3（x），并計算的近似值10.設方程組 證明解此方程的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法同時收斂或發(fā)散。11.證明：當且盡當x和y線性相關xTy≤0且時，才有。12.如果，證明用梯形公式計算積分所得到的結果比準確值大，并說明其幾何意義。13.已知x=φ（x）在區(qū)間[a，b]內有且只有一個根，而當a14.用改進的歐拉公式，求以下微分方程 的數值解（取步長h=0.2），并與精確解作比較。15.3.141580是π的有（）位有效數字的近似值。A、6B、5C、4D、716.已知函數的一組數據： 求分段線性插值函數，并計算f（15）的近似值.17.有下列數表： 所確定的插值多項式的次數是（）。A、二次B、三次C、四次D、五次18.用二分法求方程的正根，要求誤差小于0.05。19.可以生成上述序列。試問計算的上述公式是穩(wěn)定的嗎？20.設 已知方程組Ax=b的精確解為 （1）計算條件數cond（A）∞； （2）取近似解 計算殘向量ry=b-Ay； （3）取近似解，計算殘向量rz=b-Az； （4）就近似解y和z，分別計算定理3.11中不等式（3.55）的右端，并與不等式的左端進行比較； （5）本題計算結果說明什么問題？21.有一圓柱，高為25.00cm，半徑為20.00±0.05cm。試求按所給數據計算這個圓柱的體積和圓柱的側面積所產生的相對誤差限。22.若線性代數方程組AX=b的系數矩陣A為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都（）。23.怎樣判斷迭代法收斂的快慢？一個迭代公式要達到P階收斂需要什么條件？24.應用Newton法于方程x3-a=0，求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。25.設，則ρ（A）為（）。A、2B、5C、7D、3第3卷一.參考題庫(共25題)1.求f（x）=sinx在[0，π/2]上的最佳一次逼近多項式，并估計誤差。2.試用最小二乘法，求解下列超定方程組： 3.設初值問題 （1）寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數值解的公式； （2）寫出用改進的Euler法（梯形法）、步長h=0.2解上述初值問題數值解的公式，并求解y1，y2，保留兩位小數。4.利用尤拉公式求解初值問題，其中步長h=0.1, 5.用劈因子法解方程x3-3x2-x+9=0（取ω0（x）=x2-4x+6，算至∣r0∣≤0.005，∣r1∣≤0.005）。6.矩陣滿足什么條件才能使A的LU分解存在唯一？如何利用A=LU分解求解不同右端項的方程組？如 7.試分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程組 精確至2位有效數。8.設x∈Rn，證明。9.試劃出部分選主元素三角分解法框圖，并且用此法解方程組： 10.已知測量某長方形場地的長a=110米，寬b=80米.若|a-a*|≤0.1（米），|b-b*|≤0.1（米），試求其面積的絕對誤差限和相對誤差限。11.已知f（-1）=2，f（1）=3，f（2）=-4，求拉格朗日插值多項式L2（x）及f（1，5）的近似值，取五位小數。12.確定下列求積公式中的待定參數，使其代數精度盡量高，并指明所構造出的求積公式所具有的代數精度。 13.什么是矩陣的條件數？如何判斷A是"病態(tài)的"或"良態(tài)的"？14.已知方程組AX=f，其中 （1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。15.直接推導出2步Adams顯式公式 16.用插值法求滿足以下條件的不超過三次的插值多項式：f（0）=1，f（1）=2，f（2）=9，f’（1）=3，并寫出插值余項。17.設A∈Rn×n，求證ATA與AAT特征值相等，即求證λ（ATA）=λ（AAT）。18.試用復化梯開公式計算曲線f（x）=tanx在區(qū)間上這一段的弧長，取19.設，則A的奇異值為（）20.用二次拉格朗日插值多項式的值。插值節(jié)點和相應的函數值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。21.方程x3-x-1=0在x=1.5附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）對應迭代格式；（2）對應迭代格式；（3）x=x3-1對應迭代格式xn+1=xn3-1。判斷迭代格式在x0=1.5的收斂性，選一種收斂格式計算x=1.5附近的根，精確到小數點后第三位。22.當x=1，-1，2時，f（x）=0，-3，4，求f（x）的二次插值多項式。23.用秦九韶法求P（5）。24.利用Gauss變換陣，求矩陣的LU分解。25.為求方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近的一個根，設將方程改寫成下列等價形式，并建立相應的迭代公式。 試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數字的近似根。第1卷參考答案一.參考題庫1.參考答案: 原函數與零的偏差極大值點分別為 2.參考答案: 3.參考答案: 如下： 4.參考答案:5.參考答案: 6.參考答案: 7.參考答案: f′（x）=4x3，則Ih（x）在每個小區(qū)間[xk，xk+1]上表示為 8.參考答案: 如下： 9.參考答案: 10.參考答案:11.參考答案: 12.參考答案: 13.參考答案: ；614.參考答案: 如下： 15.參考答案:0.000020416.參考答案:A17.參考答案: 如下： 18.參考答案: 和差化積得證。19.參考答案: 如下： 20.參考答案: 取a=115，x0=10，迭代三次得21.參考答案: 三點公式： 22.參考答案: 23.參考答案: 24.參考答案: 局部截斷誤差為 25.參考答案: 優(yōu)點： A.計算簡單，方法可靠； B.對f?（x）?要求不高（只要連續(xù)即可）； C.收斂性總能得到保證。 缺點： A.無法求復根及偶重根； B.收斂慢。第2卷參考答案一.參考題庫1.參考答案: 如下： 2.參考答案:3.參考答案:2.5；2.3334.參考答案:4775.參考答案: 6.參考答案:B7.參考答案: 如下： 8.參考答案:9.參考答案: 10.參考答案: Jacobi迭代為 其迭代矩陣 11.參考答案: 12.參考答案: 14.參考答案: 15.參考答案:B16.參考答案: 17.參考答案:A18.參考答案: 19.參考答案:20.參考答案:21.參考答案: 計算體積的相對誤差限為0.005，計算側面積的相對誤差限為0.002522.參考答案:收斂23.參考答案: 衡量迭代法快慢要看收斂階P的大小，若序列（xk）收斂于x*，記為εk=xk-x*若存在P≥1及a>0，使，則稱序列（xk）為P階收斂，P越大收斂越快，當P＝1，則越小，收斂越快。一個迭代公式xk+1=φ（xk）若x*為φ的不動點，P為大于1的整數，在x*連續(xù)，且，則此迭代公式為P階收斂。24.參考答案: 方程x3-a=0的根x*=，用Newton迭代法 故迭代法2價收斂。25.參考答案:C第3卷參考答案一.參考題庫1.參考答案: 故所求最佳一次逼近多項式為 P1（x）=a0+a1x=0.105257+0.6366x 又因為兩個偏差點必在區(qū)間端點，故誤差限為 2.參考答案:3.參考答案: 4.參考答案: 5.參考答案:6.參考答案: A的順序主子式時存在唯一單位下三角陣L及上三角陣U，使A=LU，而當detA≠0則方程Ax=b存在唯一解，此時Ax=b等價于解LUx=b，于是由Ly=b及Ux=y可求得Ax=b的解x，同樣解Ly＝c及Ux=y和Ly=d，Ux=y則分別得到不同右端項的方程解。7.參考答案:8.參考答案: 如下： 9.參考答案: 如下： 10.參考答案: 設長方形的面積為s=ab 當a=110，b=80時，有s=110*80=8800（米2） 此時，該近似值的絕對誤差可估計為 絕對誤差限為19.0； 相對誤差限為0.002159。11.參考答案: