概率論與數(shù)理統(tǒng)計華工版

概率論與數(shù)理統(tǒng)計華工版匯報人：AA2024-01-20概率論基本概念隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基本概念參數(shù)估計與假設(shè)檢驗應(yīng)用舉例非參數(shù)統(tǒng)計方法簡介contents目錄01概率論基本概念不可能事件空集?，不包含任何樣本點的事件。必然事件包含樣本空間中所有樣本點的事件，即S本身。基本事件只包含一個樣本點的事件。樣本空間所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合，常用大寫字母A、B等表示。樣本空間與事件概率定義在給定條件下，某一事件發(fā)生的可能性大小，常用P(A)表示事件A的概率。非負性對于任何事件A，有P(A)≥0。規(guī)范性對于必然事件S，有P(S)=1。可加性對于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。概率定義及性質(zhì)條件概率與獨立性條件概率在另一事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。事件的獨立性如果事件A和B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A和B是相互獨立的。如果事件B1,B2,...,Bn是樣本空間S的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，則對于任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。全概率公式在全概率公式的條件下，有P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)。貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式02隨機變量及其分布隨機變量定義及分類設(shè)隨機試驗的樣本空間為S，如果對于S中的每一個樣本點e，都有一個實數(shù)X(e)與之對應(yīng)，則稱X(e)為隨機變量，簡記為X。定義根據(jù)隨機變量可能取值的性質(zhì)不同，隨機變量可分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量兩類。分類分布律定義對于離散型隨機變量X，如果其所有可能取值為x1,x2,...,xn，且取這些值的概率分別為p1,p2,...,pn，則稱X服從參數(shù)為(x1,p1),(x2,p2),...,(xn,pn)的離散分布，記作X~D(x1,p1;x2,p2;...;xn,pn)。常見離散分布二項分布、泊松分布、幾何分布等。離散型隨機變量分布律VS對于連續(xù)型隨機變量X，如果存在一個非負可積函數(shù)f(x)，使得對任意實數(shù)a<b，有P{a<X≤b}=∫abf(x)dx，則稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。常見連續(xù)分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。概率密度定義連續(xù)型隨機變量概率密度一維隨機變量函數(shù)的分布設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為FX(x)，若Y=g(X)是X的函數(shù)，且g(x)在X的取值范圍內(nèi)單調(diào)，則Y的分布函數(shù)FY(y)可由FX(x)求得。二維隨機變量函數(shù)的分布設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，其聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，若Z=g(X,Y)是X和Y的函數(shù)，則Z的分布函數(shù)FZ(z)可通過F(x,y)求得。隨機變量函數(shù)分布03多維隨機變量及其分布聯(lián)合分布函數(shù)的定義與性質(zhì)描述兩個隨機變量同時取值的概率分布，具有非負性、規(guī)范性、右連續(xù)性等性質(zhì)。聯(lián)合概率密度函數(shù)對于連續(xù)型隨機變量，通過聯(lián)合概率密度函數(shù)描述其聯(lián)合分布，具有非負性和規(guī)范性。常見二維連續(xù)型隨機變量的分布如二維均勻分布、二維正態(tài)分布等，它們的聯(lián)合概率密度函數(shù)和性質(zhì)。二維隨機變量聯(lián)合分布03020103邊緣概率密度函數(shù)與條件概率密度函數(shù)對于連續(xù)型隨機變量，通過邊緣概率密度函數(shù)和條件概率密度函數(shù)描述邊緣分布和條件分布。01邊緣分布函數(shù)由聯(lián)合分布函數(shù)對其中一個變量求極限得到，描述一個隨機變量取值的概率分布。02條件分布函數(shù)在已知一個隨機變量取值的條件下，另一個隨機變量的條件概率分布。邊緣分布與條件分布相互獨立的定義兩個隨機變量相互獨立，當且僅當它們的聯(lián)合分布等于各自邊緣分布的乘積。相互獨立的性質(zhì)若兩個隨機變量相互獨立，則它們的任何函數(shù)也相互獨立。判斷相互獨立的方法通過聯(lián)合分布函數(shù)或聯(lián)合概率密度函數(shù)判斷是否滿足相互獨立的定義。相互獨立隨機變量多維隨機變量函數(shù)的定義描述多維隨機變量經(jīng)過某種變換后的取值情況。常見多維隨機變量函數(shù)的分布如多維正態(tài)分布、多維t分布等，它們的概率密度函數(shù)和性質(zhì)。多維隨機變量函數(shù)的分布求法通過變換的雅可比行列式和原隨機變量的概率密度函數(shù)求解。多維隨機變量函數(shù)分布04數(shù)理統(tǒng)計基本概念研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個概率分布來描述?？傮w從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本樣本中包含的個體數(shù)目，通常用n表示。樣本容量總體與樣本樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計量統(tǒng)計量的概率分布，描述了統(tǒng)計量在多次抽樣中的變化情況。抽樣分布正態(tài)分布、t分布、F分布、卡方分布等。常見抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布區(qū)間估計用一個區(qū)間來估計總體參數(shù)的方法，該區(qū)間以一定的概率包含總體參數(shù)的真值。評價估計量的標準無偏性、有效性、一致性等。點估計用一個具體的數(shù)值來估計總體參數(shù)的方法，如樣本均值估計總體均值。參數(shù)估計方法假設(shè)檢驗原理原假設(shè)與備擇假設(shè)原假設(shè)是研究者想要拒絕的假設(shè)，備擇假設(shè)是研究者想要接受的假設(shè)。檢驗統(tǒng)計量與拒絕域檢驗統(tǒng)計量是用于判斷原假設(shè)是否成立的統(tǒng)計量，拒絕域是檢驗統(tǒng)計量取值的范圍，當檢驗統(tǒng)計量落入拒絕域時，我們拒絕原假設(shè)。第一類錯誤與第二類錯誤第一類錯誤是原假設(shè)為真時拒絕原假設(shè)的錯誤，第二類錯誤是原假設(shè)為假時接受原假設(shè)的錯誤。顯著性水平與檢驗功效顯著性水平是用于控制第一類錯誤的概率，檢驗功效是用于衡量檢驗方法發(fā)現(xiàn)真實差異的能力。05參數(shù)估計與假設(shè)檢驗應(yīng)用舉例通過給定樣本數(shù)據(jù)，計算樣本均值和樣本方差，作為總體均值和方差的點估計。樣本均值與樣本方差計算利用樣本均值和樣本方差，構(gòu)建總體均值和方差的置信區(qū)間，表示參數(shù)估計的可靠程度。置信區(qū)間構(gòu)建討論估計量的無偏性、有效性和一致性等性質(zhì)，評價估計量的優(yōu)劣。估計量的性質(zhì)正態(tài)總體均值和方差估計01介紹單側(cè)置信區(qū)間的定義和意義，與雙側(cè)置信區(qū)間進行比較。單側(cè)置信區(qū)間概念02詳細闡述單側(cè)置信區(qū)間的構(gòu)建步驟和方法，包括確定置信水平、選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量和計算置信限等。單側(cè)置信區(qū)間構(gòu)建方法03通過具體實例，展示單側(cè)置信區(qū)間的應(yīng)用過程和結(jié)果解釋。單側(cè)置信區(qū)間應(yīng)用舉例單側(cè)置信區(qū)間構(gòu)建方法單個正態(tài)總體均值和方差假設(shè)檢驗介紹假設(shè)檢驗的基本思想、原假設(shè)與備擇假設(shè)的設(shè)立、檢驗統(tǒng)計量的選擇等。單個正態(tài)總體均值假設(shè)檢驗詳細闡述單個正態(tài)總體均值假設(shè)檢驗的步驟和方法，包括Z檢驗和t檢驗的應(yīng)用條件、檢驗統(tǒng)計量的計算和P值的求解等。單個正態(tài)總體方差假設(shè)檢驗介紹單個正態(tài)總體方差假設(shè)檢驗的方法，如F檢驗和χ^2檢驗的應(yīng)用條件和步驟。假設(shè)檢驗基本原理兩個正態(tài)總體均值比較詳細闡述兩個正態(tài)總體均值比較的假設(shè)檢驗方法，包括獨立樣本t檢驗和配對樣本t檢驗的應(yīng)用條件、檢驗統(tǒng)計量的計算和P值的求解等。兩個正態(tài)總體方差比較介紹兩個正態(tài)總體方差比較的假設(shè)檢驗方法，如F檢驗的應(yīng)用條件和步驟，以及方差齊性檢驗的必要性。多重比較與方差分析簡要介紹多重比較和方差分析的概念、原理和應(yīng)用場景，為后續(xù)學習打下基礎(chǔ)。010203兩個正態(tài)總體均值和方差比較06非參數(shù)統(tǒng)計方法簡介非參數(shù)統(tǒng)計方法不依賴于總體分布的具體形式，通過對樣本數(shù)據(jù)進行排序、計數(shù)等操作，推斷總體的分布或比較不同總體之間的差異。非參數(shù)統(tǒng)計假設(shè)通常假設(shè)樣本來自的總體分布是連續(xù)的，且對總體分布的具體形式不作假設(shè)。非參數(shù)統(tǒng)計優(yōu)點適用范圍廣，對總體分布的假設(shè)要求較低，穩(wěn)健性較好。非參數(shù)統(tǒng)計基本概念符號檢驗用于檢驗單樣本數(shù)據(jù)是否來自一個已知的中位數(shù)為0的總體。符號秩檢驗在符號檢驗的基礎(chǔ)上，考慮觀察值之間的差異大小，對觀察值進行排序并賦予秩次。單樣本游程檢驗用于檢驗單樣本數(shù)據(jù)是否隨機出現(xiàn)，即檢驗樣本數(shù)據(jù)的隨機性。單樣本非參數(shù)檢驗方法曼-惠特尼U檢驗用于比較兩個獨立樣本是否來自具有相同分布的總體。柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢驗（K-S檢驗）用于檢驗兩個獨立樣本是否來自具有相同分布函數(shù)的總體。摩西極端反應(yīng)檢驗用于比較兩個獨立樣本在最值方面的差