概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)

匯報(bào)人：AA2024-01-20概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)延時(shí)符Contents目錄概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念和方法方差分析與回歸分析初步常見(jiàn)概率分布和數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用舉例延時(shí)符01概率論基本概念樣本空間與事件事件必然事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合。包含樣本空間中所有樣本點(diǎn)的事件。樣本空間基本事件不可能事件所有可能結(jié)果的集合，常用大寫(xiě)字母S表示。只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件。空集，不包含任何樣本點(diǎn)的事件。概率定義及性質(zhì)概率定義事件A發(fā)生的可能性大小的度量，記為P(A)。概率性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性（必然事件的概率為1）、可列可加性（互不相容事件的并的概率等于各事件概率之和）。在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記為P(A|B)。條件概率如果事件A和事件B的發(fā)生互不影響，則稱(chēng)事件A和事件B是相互獨(dú)立的。獨(dú)立性如果事件A和事件B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)。獨(dú)立性的性質(zhì)條件概率與獨(dú)立性全概率公式與貝葉斯公式如果事件B1,B2,...,Bn構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且都具有正概率，則對(duì)任一事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。全概率公式在全概率公式的假定下，有P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)]，其中i=1,2,...,n。貝葉斯公式用于在已知某些條件下，計(jì)算某個(gè)事件的發(fā)生概率。貝葉斯公式延時(shí)符02隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。定義隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可列個(gè)，而連續(xù)型隨機(jī)變量的取值則是充滿(mǎn)一個(gè)區(qū)間。分類(lèi)隨機(jī)變量定義及分類(lèi)離散型隨機(jī)變量的分布律描述了隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率。分布律定義二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量分布非負(fù)性、規(guī)范性（所有取值的概率之和為1）。分布律性質(zhì)離散型隨機(jī)變量分布律123連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)，它描述了隨機(jī)變量在各個(gè)點(diǎn)的取值概率。概率密度函數(shù)定義正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布非負(fù)性、規(guī)范性（函數(shù)在全體實(shí)數(shù)上的積分為1）。概率密度函數(shù)性質(zhì)連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布：通過(guò)分布律的變換求得。連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布：通過(guò)概率密度函數(shù)的變換求得，需要注意變換后的概率密度函數(shù)可能需要進(jìn)行歸一化處理。隨機(jī)變量函數(shù)的定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，g(X)是X的函數(shù)，那么g(X)也是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布稱(chēng)為隨機(jī)變量函數(shù)的分布。隨機(jī)變量函數(shù)分布延時(shí)符03多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布律/密度函數(shù)01聯(lián)合分布律定義：描述兩個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)取值的概率分布規(guī)律。02聯(lián)合密度函數(shù)定義：當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量連續(xù)時(shí)，描述它們同時(shí)取值的概率密度函數(shù)。聯(lián)合分布律/密度函數(shù)的性質(zhì)：非負(fù)性、規(guī)范性、可加性。03邊緣分布律定義二維隨機(jī)變量中，一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率分布。邊緣分布律/密度函數(shù)的求法對(duì)聯(lián)合分布律/密度函數(shù)中的另一個(gè)變量進(jìn)行積分或求和。邊緣密度函數(shù)定義當(dāng)二維隨機(jī)變量連續(xù)時(shí)，一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率密度函數(shù)。邊緣分布律/密度函數(shù)條件分布律定義在已知一個(gè)隨機(jī)變量取值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布。條件密度函數(shù)定義當(dāng)二維隨機(jī)變量連續(xù)時(shí)，在已知一個(gè)隨機(jī)變量取值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。條件分布律/密度函數(shù)的求法利用聯(lián)合分布律/密度函數(shù)和邊緣分布律/密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。條件分布律/密度函數(shù)030201相互獨(dú)立的定義兩個(gè)隨機(jī)變量的取值互不影響。判斷方法聯(lián)合分布律/密度函數(shù)等于邊緣分布律/密度函數(shù)的乘積。性質(zhì)若二維隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則它們的任何函數(shù)也相互獨(dú)立。相互獨(dú)立二維隨機(jī)變量延時(shí)符04數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念和方法總體研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，具有共同的分布規(guī)律。統(tǒng)計(jì)量由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得出的用于描述樣本特征的量，如樣本均值、樣本方差等。樣本從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)?？傮w、樣本和統(tǒng)計(jì)量03抽樣分布的性質(zhì)包括期望、方差、分布形態(tài)等，用于推斷總體參數(shù)的置信區(qū)間和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。01大數(shù)定律當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值趨近于總體均值。02中心極限定理無(wú)論總體分布如何，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布。抽樣分布定理點(diǎn)估計(jì)用樣本統(tǒng)計(jì)量的某個(gè)值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值，如樣本均值作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)。區(qū)間估計(jì)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)置信區(qū)間，以一定概率包含總體參數(shù)的真值。置信區(qū)間由置信水平和樣本統(tǒng)計(jì)量決定。參數(shù)估計(jì)方法（點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)）VS先對(duì)總體參數(shù)提出一個(gè)假設(shè)，然后根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，通過(guò)比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值的大小關(guān)系，決定是否拒絕原假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)步驟提出原假設(shè)和備擇假設(shè)、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定顯著性水平、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值、比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值的大小關(guān)系并作出決策。假設(shè)檢驗(yàn)原理假設(shè)檢驗(yàn)原理及步驟延時(shí)符05方差分析與回歸分析初步通過(guò)比較不同組別間的方差來(lái)推斷總體均值是否存在顯著差異。方差分析的基本原理適用于多個(gè)總體均值間的比較，如醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、工業(yè)等領(lǐng)域中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析。方差分析的應(yīng)用場(chǎng)景各總體應(yīng)服從正態(tài)分布，且各組內(nèi)的方差應(yīng)相等。方差分析的前提條件方差分析原理及應(yīng)用模型的檢驗(yàn)利用F檢驗(yàn)或t檢驗(yàn)對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，判斷自變量對(duì)因變量的影響是否顯著。模型的預(yù)測(cè)根據(jù)建立的回歸模型，可以對(duì)新的自變量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到相應(yīng)的因變量估計(jì)值。一元線(xiàn)性回歸模型的建立通過(guò)最小二乘法確定回歸系數(shù)，建立因變量與自變量之間的線(xiàn)性關(guān)系。一元線(xiàn)性回歸模型建立與檢驗(yàn)多元線(xiàn)性回歸模型簡(jiǎn)介當(dāng)自變量個(gè)數(shù)大于1時(shí)，建立的線(xiàn)性回歸模型即為多元線(xiàn)性回歸模型。多元線(xiàn)性回歸模型的建立與一元線(xiàn)性回歸模型類(lèi)似，通過(guò)最小二乘法確定回歸系數(shù)矩陣。模型的解釋與應(yīng)用多元線(xiàn)性回歸模型可以描述多個(gè)自變量對(duì)因變量的共同影響，應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的復(fù)雜數(shù)據(jù)分析。多元線(xiàn)性回歸模型的概念延時(shí)符06常見(jiàn)概率分布和數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用舉例離散型概率分布二項(xiàng)分布：描述n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功次數(shù)的概率分布，其中每次試驗(yàn)成功的概率為p。泊松分布：描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布，常用于描述稀有事件的概率分布。連續(xù)型概率分布正態(tài)分布：描述影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每一個(gè)因素所起的作用不太大，且各種因素作用相互獨(dú)立，服從同一分布時(shí)，該數(shù)量指標(biāo)服從正態(tài)分布。指數(shù)分布：描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，常用于描述壽命、等待時(shí)間等隨機(jī)變量的概率分布。常見(jiàn)概率分布用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的方法。根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布，構(gòu)造一個(gè)包含總體參數(shù)的置信區(qū)間，并給出該區(qū)間包含總體參數(shù)的概率。點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用舉例單樣本假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)單個(gè)總體參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法。要點(diǎn)一要點(diǎn)二雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)兩個(gè)總體參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法，包括獨(dú)立樣本和配對(duì)樣本兩種情況。數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用舉