安徽省濱湖壽春中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

安徽省濱湖壽春中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．若數(shù)列是等比數(shù)列，則“首項(xiàng)，且公比”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．非充分非必要條件4．已知函數(shù)，的圖象分別與直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為

A． B． C． D．5．“紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣．為了測(cè)算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲1000個(gè)點(diǎn)，己知恰有400個(gè)點(diǎn)落在陰影部分，據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是A．2 B．3 C．10 D．156．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值是（）A． B． C．0 D．17．某班級(jí)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中為全班同學(xué)設(shè)置了一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)以及參與獎(jiǎng)，且獎(jiǎng)品的單價(jià)分別為：一等獎(jiǎng)20元、二等獎(jiǎng)10元、三等獎(jiǎng)5元、參與獎(jiǎng)2元，獲獎(jiǎng)人數(shù)的分配情況如圖所示，則以下說法正確的是（）A．參與獎(jiǎng)總費(fèi)用最高 B．三等獎(jiǎng)的總費(fèi)用是二等獎(jiǎng)總費(fèi)用的2倍C．購(gòu)買獎(jiǎng)品的費(fèi)用的平均數(shù)為9.25元 D．購(gòu)買獎(jiǎng)品的費(fèi)用的中位數(shù)為2元8．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[A，B]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），則當(dāng)A＜x＜B時(shí)，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（B）＜g（x）+f（B）9．已知，記，則M與N的大小關(guān)系是()A． B． C． D．不能確定10．某班級(jí)有6名同學(xué)去報(bào)名參加校學(xué)生會(huì)的4項(xiàng)社團(tuán)活動(dòng)。若甲，乙兩位同學(xué)不參加同一社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)都有人參加，每個(gè)人只參加一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方案數(shù)為A．2160 B．1320 C．2400 D．432011．知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．12．已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“，”的否定是______.14．如果，且為第四象限角，那么的值是____.15．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖),，，，，則這塊菜地的面積為______．16．由曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)時(shí)，求的取值范圍．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，且.（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.19．（12分）已知橢圓：在左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為點(diǎn)，若是面積為的等邊三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，且，求使的面積最大時(shí)直線的方程（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.20．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：；（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．21．（12分）如圖，已知是圓(為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值．22．（10分）已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為.（1）求；（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】不正確，因?yàn)榇怪庇谕粭l直線的兩個(gè)平面平行；不正確，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交；平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行或相交；正確.2、C【解題分析】分析：由空間向量加法法則得到，由此能求出結(jié)果．詳解：由題空間四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則故選C.點(diǎn)睛：本題考查向量的求法，考查空間向量加法法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

證明由，可以得到數(shù)列單調(diào)遞增，而由數(shù)列單調(diào)遞增，不一定得到，，從而做出判斷，得到答案.【題目詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)，且公比，所以數(shù)列，且，所以得到數(shù)列單調(diào)遞增；因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，可以得到首項(xiàng)，且公比，也可以得到，且公比.所以“首項(xiàng)，且公比”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列為遞增數(shù)列的判定和性質(zhì)，考查充分不不必要條件，屬于簡(jiǎn)單題.4、B【解題分析】由題意，，其中，，且，所以.令，則，為增函數(shù).令，得.所以.時(shí)，時(shí),所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時(shí),.故選B.點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是將要求的量用一個(gè)變量來(lái)表示，進(jìn)而利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性求最值，本題中有以下幾個(gè)難點(diǎn)：（1）多元問題一元化，本題中涉及的變量較多，設(shè)法將多個(gè)變量建立等量關(guān)系，進(jìn)而得一元函數(shù)式；（2）含絕對(duì)值的最值問題，先研究絕對(duì)值內(nèi)的式子的范圍，最后再加絕對(duì)值處理.5、C【解題分析】

根據(jù)古典概型概率公式以及幾何概型概率公式分別計(jì)算概率，解方程可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)陰影部分的面積是s，由題意得4001000=【題目點(diǎn)撥】(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解．(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域．6、B【解題分析】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，在可行解域內(nèi)，平行移動(dòng)直線，直至當(dāng)直線在縱軸上的截距最大時(shí)，求出此時(shí)所經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中求出的最小值.【題目詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，如下圖：在可行解域內(nèi)，平行移動(dòng)直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線在縱軸上的截距最大，點(diǎn)是直線和直線的交點(diǎn)，解得，，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最小值問題，正確畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.7、D【解題分析】

先計(jì)算參與獎(jiǎng)的百分比，分別計(jì)算各個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望，中位數(shù)，逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【題目詳解】參與獎(jiǎng)的百分比為：設(shè)人數(shù)為單位1一等獎(jiǎng)費(fèi)用：二等獎(jiǎng)費(fèi)用：三等獎(jiǎng)費(fèi)用：參與獎(jiǎng)費(fèi)用：購(gòu)買獎(jiǎng)品的費(fèi)用的平均數(shù)為：參與獎(jiǎng)的百分比為，故購(gòu)買獎(jiǎng)品的費(fèi)用的中位數(shù)為2元故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了平均值，中位數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.8、B【解題分析】試題分析：設(shè)F（x）=f（x）-g（x），∵在[A，B]上f'（x）＜g'（x），F(xiàn)′（x）=f′（x）-g′（x）＜0，∴F（x）在給定的區(qū)間[A，B]上是減函數(shù)．∴當(dāng)x＞A時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（A），即f（x）-g（x）＜f（A）-g（A）即f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性9、B【解題分析】

作差并因式分解可得M-N=，由，∈（0，1）可作出判斷．【題目詳解】由題意可得M-N====，∵，b∈（0，1），∴（b-1）∈（-1，0），（-1）∈（-1，0），∴（b-1）（-1）＞0，∴M＞N

故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查作差法比較式子大小，涉及因式分解，屬基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

依題意，分和兩組，先分組，后排列，最后求和即可.【題目詳解】依題意，6名同學(xué)可分為兩組，第一組為，利用間接法，有種，第二組為，利用間接法，有,所以分類計(jì)數(shù)原理，可得種，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了排列、組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)原理，著重考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以及推理與運(yùn)算能力，其中解答中合理分類，做到先分組后排列的方式是解答的關(guān)鍵.11、A【解題分析】由題易知：，∴故選A點(diǎn)睛：利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實(shí)數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當(dāng)都不相同時(shí)，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來(lái)進(jìn)行比較大小，另一方面注意特殊值的應(yīng)用，有時(shí)候要借助其“橋梁”作用，來(lái)比較大小．12、A【解題分析】

根據(jù)是偶函數(shù)可以得出函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可以得出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，從而解出不等式對(duì)任意的恒成立時(shí)的取值范圍．【題目詳解】是偶函數(shù)，所以得出函數(shù)的對(duì)稱軸為，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以．因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的恒成立，所以．選擇A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱軸和奇偶性的綜合問題，在解決此類題目時(shí)要搞清楚每一個(gè)條件能得出什么結(jié)論，把這些結(jié)論綜合起來(lái)即得出結(jié)果．屬于較難的題目．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

特稱命題的否定為全稱命題，即可求解.【題目詳解】解：由題意知，原命題的否定是：.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了命題的否定.易錯(cuò)點(diǎn)是混淆了命題的否定和否命題的概念.這類問題的常見錯(cuò)誤是沒有改變量詞，或者對(duì)于大于的否定變成了小于.14、【解題分析】

利用先求得,再利用求解即可,注意利用角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào).【題目詳解】由題,因?yàn)?且,則或,因?yàn)闉榈谒南笙藿?所以,則,所以,故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

首先由斜二測(cè)圖形還原平面圖形，然后求解其面積即可.【題目詳解】由幾何關(guān)系可得，斜二測(cè)圖形中：，由斜二測(cè)圖形還原平面圖形，則原圖是一個(gè)直角梯形，其中上下底的長(zhǎng)度分別為1,2，高為，其面積.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查斜二測(cè)畫法，梯形的面積公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16、【解題分析】

計(jì)算交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，再利用定積分計(jì)算得到答案.【題目詳解】解方程，消去解得，，故面積為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分計(jì)算面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)函數(shù)在最大值是2,最小值是；(2)【解題分析】

(1)代入,求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.(2)由題得或在區(qū)間上恒成立,求導(dǎo)后參變分離求最值即可.【題目詳解】(1)時(shí),.函數(shù)在區(qū)間僅有極大值點(diǎn),故這個(gè)極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),故函數(shù)在最大值是,又,故,故函數(shù)在上的最小值為.故函數(shù)在最大值是2,最小值是(2),令,則,則函數(shù)在遞減,在遞增,由,,,故函數(shù)在的值域?yàn)?若在恒成立,即在恒成立,只要,若要在恒成立,即在恒成立,只要.即的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求導(dǎo)分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值問題以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題.包括參變分離求函數(shù)最值問題等.屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）先根據(jù)計(jì)算得線線線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得結(jié)論，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角.【題目詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．在△中，，為的中點(diǎn)，所以．設(shè),則，，因?yàn)?，所以．在△中，，為的中點(diǎn)，所以．在△和△中，因?yàn)?，，，所以△△．所以．所以．因?yàn)椋矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）因?yàn)?，，，平面，平面，所以平面．所以．由?）得，，所以，，所在的直線兩兩互相垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，所以．設(shè)平面的法向量為，則令，則，，所以．設(shè)二面角為，由于為銳角，所以．所以二面角的余弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空間向量求二面角，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.19、解（1）；（2）或.【解題分析】

（1）由是面積為的等邊三角形，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、的方程組，求出、，即可得結(jié)果;（2）先證明直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用弦長(zhǎng)公式可得，化簡(jiǎn)得.原點(diǎn)到直線的距離為，的面積，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大.由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】（1）由是面積為的等邊三角形，得，所以，，從而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，當(dāng)軸時(shí)，，則為橢圓的短軸，故有，，三點(diǎn)共線，不合題意.所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立方程組消去，得，所以有，，則，即，化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，所以有?原點(diǎn)到直線的距離為，的面積，所以當(dāng)最大時(shí)，的面積最大.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取最大值為3，面積的最大值.把代入，得，所以有，即直線的方程為或.【題目點(diǎn)撥】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.20、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）將代入，可得等價(jià)于，即，令，求出，可得的最小值，可得證；（2）分，三種情況討論，分別對(duì)求導(dǎo)，其中又分①若②③三種情況，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得a的取值范圍.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即；設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故為的最小值，而，故，即．（2），設(shè)函數(shù)，則；（i）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，取b滿足且，則，故在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，由于，所以是的唯一極值點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，若時(shí)，；若時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故為的最小值，①若時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)，所以時(shí)，因此在上單調(diào)遞增，故不存在極值；②若時(shí)，由于，即，所以，因此在上單