山西省大同市煤礦第四中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

山西省大同市煤礦第四中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．從裝有3個(gè)白球,4個(gè)紅球的箱子中,隨機(jī)取出了3個(gè)球,恰好是2個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率是()A． B． C． D．3．點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-3,3)，則點(diǎn)A．(23,C．(-23,4．已知i為虛數(shù)單位，z，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．﹣2i B．2i C．2 D．﹣25．某中學(xué)元旦晚會(huì)共由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后一位，該晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有()A．720種 B．600種 C．360種 D．300種6．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）A． B． C． D．7．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“⊥”是“⊥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．設(shè)，“”，“”，則是的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知f（x5）＝lgx，則f（2）等于（）A．lg2B．lg32C．lgD．10．已知拋物線，過點(diǎn)的任意一條直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線外一點(diǎn)，若∠∠，則的值為()A． B． C． D．11．已知某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，則114分以上的成績(jī)所占的百分比為（）（附，，）A． B． C． D．12．是第四象限角，，則等于()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的定義域?yàn)開_______.14．已知函數(shù)，其中，若只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．15．如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸入的值為2，則輸出的值為_______..16．如圖所示，滿足如下條件：①第行首尾兩數(shù)均為；②表中的遞推關(guān)系類似“楊輝三角”.則第行的第2個(gè)數(shù)是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是函數(shù)（）的一條對(duì)稱軸，且的最小正周期為.（1）求值和的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)角為的三個(gè)內(nèi)角，對(duì)應(yīng)邊分別為，若，，求的取值范圍.18．（12分）世界那么大，我想去看看，每年高考結(jié)束后，處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動(dòng)機(jī)強(qiáng)烈，旅游可支配收入日益增多，可見高中畢業(yè)生旅游是一個(gè)巨大的市場(chǎng).為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費(fèi)支出（單位:百元）的情況，相關(guān)部門隨機(jī)抽取了某市的1000名畢業(yè)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：組別[0,20）[20,40）[40,60）[60,80）[80,100）頻數(shù)22504502908（1）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出服從正態(tài)分布，若該市共有高中畢業(yè)生35000人，試估計(jì)有多少位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在8100元以上；（3）已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在[80,100）范圍內(nèi)的8名學(xué)生中有5名女生，3名男生，現(xiàn)想選其中3名學(xué)生回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附:若，則，19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，與曲線相交于點(diǎn)，且（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，求證點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.20．（12分）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求的取值范圍；（2）證明：21．（12分）在中,角所對(duì)的邊分別為且.（1）求角的值；（2）若為銳角三角形,且,求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式對(duì)于任意恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：的定義域?yàn)?，由得所以能求出的取值范圍．詳解：的定義域?yàn)?，由?/p>

所以．

①若，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)．

滿足題意，所以成立．

②若，由，得，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)．

滿足題意，所以成立．．

如果函數(shù)取得極小值，不成立；

②若，由，得．

因?yàn)槭莊（x）的極大值點(diǎn)，成立；

綜合①②：的取值范圍是．

故選：A．點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．2、C【解題分析】分析：根據(jù)古典概型計(jì)算恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率.詳解：由題得恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為.故答案為:C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查古典概型，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗(yàn)的總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)；③代公式=.3、D【解題分析】

先判斷點(diǎn)P的位置，然后根據(jù)公式：ρ2ρ，根據(jù)點(diǎn)P的位置，求出θ.【題目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-3,3)，所以點(diǎn)Pρ=(-3)2+所以θ=2kπ+56【題目點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，關(guān)鍵是要知道點(diǎn)的具體位置.4、C【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得，即可得到復(fù)數(shù)的虛部，得到答案.【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有種情況，②5人排好后有5個(gè)空位可選，在其中任選1個(gè)，安排丙，有5種情況，則有60×5＝300種不同的順序，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

根據(jù)正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長(zhǎng),再求出其對(duì)角線長(zhǎng),然后根據(jù)正四棱柱的體對(duì)角線是外接球的直徑可得球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式可求得.【題目詳解】依題意正四棱柱的體對(duì)角線是其外接球的直徑,的中點(diǎn)是球心,如圖:依題意設(shè),則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接球的直徑,所以外接球的半徑,則這個(gè)球的表面積是.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.7、B【解題分析】當(dāng)α⊥β時(shí)，平面α內(nèi)的直線m不一定和平面β垂直，但當(dāng)直線m垂直于平面β時(shí)，根據(jù)面面垂直的判定定理，知兩個(gè)平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．8、C【解題分析】

利用不等式的性質(zhì)和充分必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到答案.【題目詳解】充分性：.所以即：，充分性滿足.必要性：因?yàn)椋裕?又因?yàn)?，所以，?當(dāng)時(shí)，，不等式不成立.當(dāng)時(shí)，，，不等式不成立當(dāng)時(shí)，，，不等式成立.必要性滿足.綜上：是的充要條件.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充要條件，同時(shí)考查了對(duì)數(shù)的比較大小，屬于中檔題.9、D【解題分析】試題分析：令x5＝t，則x＝（t>0），∴f（t）＝lg＝．∴f（2）＝，故選D．考點(diǎn)：函數(shù)值10、D【解題分析】

設(shè)出點(diǎn)和直線，聯(lián)立方程得到關(guān)于的韋達(dá)定理，將轉(zhuǎn)化為斜率相反，將根與系數(shù)關(guān)系代入得到答案.【題目詳解】設(shè)，設(shè)直線AB：又恒成立即答案為D【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系,定點(diǎn)問題,設(shè)直線方程時(shí)消去可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系是解題的關(guān)鍵,計(jì)算量較大,屬于難題.11、C【解題分析】分析：先求出u,,再根據(jù)和正態(tài)分布曲線求114分以上的成績(jī)所占的百分比.詳解：由題得u=102,因?yàn)?，所?故答案為：C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查正態(tài)分布曲線和概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合思想方法.(2)利用正態(tài)分布曲線求概率時(shí)，要畫圖數(shù)形結(jié)合分析，不要死記硬背公式.12、B【解題分析】

∵α是第四象限角，∴sinα<0.∵，∴sinα＝，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】的定義域是,,故得到函數(shù)定義域?yàn)槿〗患蚀鸢笧?14、【解題分析】

把表示成分段函數(shù)，將一個(gè)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)交點(diǎn)問題，作出圖形，從而得到答案.【題目詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；而的只有一個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，作出圖形，，此時(shí)，斜率越來越小時(shí)，無(wú)交點(diǎn)，斜率越來越大時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，故的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分段函數(shù)的圖像，零點(diǎn)問題，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成交點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的作圖能力，分析能力，難度中等.15、5【解題分析】

直接模擬程序即可得結(jié)論.【題目詳解】輸入的值為2，不滿足，所以，故答案是：5.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有程序框圖的輸出結(jié)果的求解，屬于簡(jiǎn)單題目.16、【解題分析】

歸納前幾行的第二個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)，第行的第2個(gè)數(shù)可以用來表示，化簡(jiǎn)上式由此可以得到答案．【題目詳解】由圖表可知第行的第2個(gè)數(shù)為：．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題是一道找規(guī)律的題目，考查歸納推理，掌握歸納推理找規(guī)律的方法是解題的關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解題分析】

（1）由三角函數(shù)的輔助角公式，得，求得，又由為對(duì)稱軸，求得，進(jìn)而得到則，得出函數(shù)的解析式，即可求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由（1）和，求得，在利用正弦定理，化簡(jiǎn)得，利用角的范圍，即可求解答案．【題目詳解】（1），所以.因?yàn)闉閷?duì)稱軸，所以，即，則，則，所以.令，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），所以，則，由正弦定理得，為外接圓半徑，所以，∵，，．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及正弦定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件求解函數(shù)的解析式，熟記三角函數(shù)的恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．18、（1）51；（2）805；（3）見解析【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)中位數(shù)定義列式解得中位數(shù)，（2）由正態(tài)分布得旅游費(fèi)用支出在元以上的概率為，再根據(jù)頻數(shù)等于總數(shù)與頻率乘積得人數(shù).(3)先確定隨機(jī)變量取法，再利用組合數(shù)分別求對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.試題解析：（1）設(shè)樣本的中位數(shù)為，則，解得，所得樣本中位數(shù)為（百元）.（2），，，旅游費(fèi)用支出在元以上的概率為，，估計(jì)有位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在元以上.（3）的可能取值為，，，，，，，，∴的分布列為.19、(1)；(2)證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)拋物線定義得，再根據(jù)點(diǎn)N坐標(biāo)列方程，解得結(jié)果，（2）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，再根據(jù)切線方程解得A點(diǎn)縱坐標(biāo)，最后利用直線與方程聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理化簡(jiǎn)的縱坐標(biāo).【題目詳解】解：（1）由已知拋物線的焦點(diǎn)，由，得，即因?yàn)辄c(diǎn)，所以，所以拋物線方程：（2）拋物線的焦點(diǎn)為設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的直線為．設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)分別為，由消去得：,根據(jù)韋達(dá)定理得拋物線,即二次函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得，所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為可得切線方程為，化簡(jiǎn)得，同理，得到拋物線在點(diǎn)處切線方程為，兩方程消去，得兩切線交點(diǎn)縱坐標(biāo)滿足,，，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線方程、拋物線切線方程以后利用韋達(dá)定理求值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.20、(1)(2)見證明【解題分析】

（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)，討論的范圍確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后得到的范圍.（2）將，兩個(gè)零點(diǎn)代入函數(shù)，通過化簡(jiǎn)得到：需證.轉(zhuǎn)化為不等式，設(shè)函數(shù)求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性求最值得到證明.【題目詳解】解；（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，則在遞減，至多一零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，解得，解得，所以在遞減.在遞增函數(shù)要有兩個(gè)零點(diǎn)，則最小值，解得經(jīng)檢驗(yàn)，即，則在有一個(gè)零點(diǎn).又，，令，，則恒成立.所以在單調(diào)遞增，即所以，即，則在必有一零點(diǎn).所以時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（2）因?yàn)椋瑸榈膬蓚€(gè)零點(diǎn)，所以即，不妨礙，則即要證，只需證，只需證，只需證，只需證，只需證，令，則，現(xiàn)在只需證設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，即所以【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，證明不等式，技巧強(qiáng)，綜合性大，意在考查學(xué)生綜合應(yīng)用能力.21、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：(1)在三角形中處理邊角關(guān)系時(shí)，一般全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，或全部轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用余弦定理，應(yīng)用正弦、余弦定理時(shí)，注意公式變形的應(yīng)用，解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍;(2)在三角形中，注意隱含條件，（3）注意銳角三角形的各角都是銳角.（4）把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角，對(duì)于求邊的取值范圍很有幫助試題解析：（1）由，得，所以，則