2024屆北京科技大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達標(biāo)檢測試題含解析

2024屆北京科技大學(xué)附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達標(biāo)檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓(x+1)2+y2=12的圓心為C，點P是直線l:mx-y-5m+4=0上的點，若圓C上存在點Q使∠CPQ=A．1-306C．0,1252．在等差數(shù)列中，，則（）A．45 B．75 C．180 D．3603．在的展開式中，的系數(shù)為()A．-120 B．120 C．-15 D．154．等差數(shù)列的前項和，若，則()A．8 B．10 C．12 D．145．設(shè)東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆犯饔?、3、3、4條路,只從一面上山,而從任意一面下山的走法最多,應(yīng)A．從東邊上山 B．從西邊上山 C．從南邊上山 D．從北邊上山6．已知隨機變量X服從正態(tài)分布且P（X4）=0.88，則P（0X4）=（）A．0.88 B．0.76 C．0.24 D．0.127．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖的上半部分均為半圓，下半部分為等腰直角三角形，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．8．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，若三棱錐體積的最大值為2，則球的表面積為()A． B． C． D．9．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．10．將6位女生和2位男生平分為兩組，參加不同的兩個興趣小組，則2位男生在同一組的不同的選法數(shù)為（）A．70 B．40 C．30 D．2011．曲線與直線圍成的封閉圖形的面積為()A． B． C． D．12．已知隨機變量服從二項分布，則（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品共計3000件已知甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品數(shù)量之比為1：2：4：現(xiàn)要用分層抽樣的方法從中抽取150件進行質(zhì)量檢測，則乙類產(chǎn)品抽取的件數(shù)為______．14．已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的左視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________；15．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則________．16．已知隨機變量，則___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知過點A（0，2）的直線l與橢圓C：x2（1）若直線l的斜率為k，求k的取值范圍；（2）若以PQ為直徑的圓經(jīng)過點E（1，0），求直線l的方程．18．（12分）在一次抗洪搶險中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一個巨大的汽油灌，已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊相互獨立，且命中概率都是，求（1）油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為，求的分布列．19．（12分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定：機動車行經(jīng)人行橫道時，應(yīng)當(dāng)減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009085（Ⅰ）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程并預(yù)測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)；（Ⅱ）交警從這5個月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人，調(diào)查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關(guān)系，得到如下列聯(lián)表：不禮讓斑馬線禮讓斑馬線合計駕齡不超過1年22830駕齡1年以上81220合計302050能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)？參考公式：，，（其中）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知,且.證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.21．（12分）設(shè)集合，如果存在的子集，，同時滿足如下三個條件：①；②，，兩兩交集為空集；③，則稱集合具有性質(zhì).（Ⅰ）已知集合，請判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；（Ⅱ）設(shè)集合，求證：具有性質(zhì)的集合有無窮多個.22．（10分）已知函數(shù).證明：；已知，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

問題轉(zhuǎn)化為C到直線l的距離d?4.【題目詳解】如圖所示：過P作圓C的切線PR，切點為R，則∠CPQ?∠CPR，∴sin60°?sin∴CPmin?4，則C到直線l∴|-m-0-5m+4|m2故選：C．【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．2、C【解題分析】

由，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】由，得到，則．故選C.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解與等差數(shù)列有關(guān)的問題時，要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則.3、C【解題分析】

寫出展開式的通項公式，令，即，則可求系數(shù)．【題目詳解】的展開式的通項公式為，令，即時，系數(shù)為．故選C【題目點撥】本題考查二項式展開的通項公式，屬基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】試題分析：假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點：等差數(shù)列的性質(zhì).5、D【解題分析】從東邊上山共種;從西邊上山共種;從南邊上山共種;從北邊上山共種;所以應(yīng)從北邊上山.故選D.6、B【解題分析】

正態(tài)曲線關(guān)于對稱，利用已知條件轉(zhuǎn)化求解概率即可．【題目詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，，得對稱軸是，，，，故選B．【題目點撥】本題在充分理解正態(tài)分布的基礎(chǔ)上，充分利用正態(tài)分布的對稱性解題，是一道基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

根據(jù)三視圖知：幾何體為半球和圓柱和圓錐的組合體，計算表面積得到答案.【題目詳解】根據(jù)三視圖知：幾何體為半球和圓柱和圓錐的組合體..故選：.【題目點撥】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.8、D【解題分析】分析：根據(jù)棱錐的最大高度和勾股定理計算球的半徑，從而得出外接球的表面積．詳解：因為，所以，過的中點作平面的垂下，則球心在上，設(shè)，球的半徑為，則棱錐的高的最大值為，因為，所以，由勾股定理得，解得，所以球的表面積為，故選D．點睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時要認真審題，注意球的性質(zhì)的合理運用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程求解球的半徑．9、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性與正負值排除判定即可.【題目詳解】函數(shù),故函數(shù)是奇函數(shù),圖像關(guān)于原點對稱,排除B,D,當(dāng)x＞0且x→0,f（x）＞0,排除A,故選：C．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)圖像的判定,屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解題分析】

先確定與2位男生同組的女生，再進行分組排列，即得結(jié)果【題目詳解】2位男生在同一組的不同的選法數(shù)為，選C.【題目點撥】本題考查分組排列問題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】由，直線，令,可得或，曲線與直線交于點或，因此圍成的封閉圖形的面積，故選B.12、D【解題分析】表示做了次獨立實驗，每次試驗成功概率為，則．選．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)甲乙丙丁的數(shù)量之比，利用分層抽樣的定義即可得到結(jié)論．【題目詳解】解：甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品共計3000件，已知甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品的數(shù)量之比為1：2：4：8，用分層抽樣的方法從中抽取150件，則乙類產(chǎn)品抽取的件數(shù)為，故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查分層抽樣的定義和應(yīng)用，熟練掌握分層抽樣的定義是解決問題的關(guān)鍵．14、【解題分析】

由左視圖得出三棱錐中線面關(guān)系及棱的長度．【題目詳解】由左視圖知三棱錐的高為，底面等腰三角形的底邊長為，又底面等腰三角形的腰長為2，這個等腰三角形的面積為，．故答案為：．【題目點撥】本題考查棱錐的體積，解題是由左視圖得出棱錐的高為1，底面等腰三角形的底邊長為，從而由體積公式可求得棱錐的體積，本題還考查了空間想象能力．15、0.4558【解題分析】

隨機變量服從正態(tài)分布，，根據(jù)對稱性可求得的值，再根據(jù)概率的基本性質(zhì)，可求得.【題目詳解】因為，所以，故．所以．故答案為：0.4558.【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出，可得出答案。【題目詳解】由于隨機變量，正態(tài)密度曲線的對稱軸為直線，所以，，故答案為：?！绢}目點撥】本題考查正態(tài)分布概率的計算，解這類問題的關(guān)鍵就是要充分利用正態(tài)密度曲線的對稱軸，利用對稱性解題，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（2）x=0或y=-7【解題分析】試題分析：（1）由題意設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程后由判別式大于求得的取值范圍；（2）設(shè)出的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到的橫坐標(biāo)的和與積，結(jié)合以為直徑的圓經(jīng)過點，由EP·EQ=0求得值，則直線l方程可求.試題解析：（1）依題意，直線l的方程為y=kx+2，由x23+y2=1y=kx+2,消去y得(3k2+1)x（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=0,則P(0,1),Q(0,-1),此時以為直徑的圓過點E(1,0)，滿足題意.直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2EP=(k2+1)因為以直徑的圓過點E(1,0)，所以EP·EQ=0，即12k+143k2故直線l的方程為y=-76x+2.綜上，所求直線l的方程為x=0考點：1.直線與橢圓的綜合問題；2.韋達定理.【方法點睛】本題主要考查的是橢圓的簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了設(shè)而不求的解題思想方法，是中檔題，本題（1）問主要是聯(lián)立直線與橢圓方程，化成一元二次方程的判別式大于求出的取值范圍，（2）利用EP·EQ=0求出值，進而求出直線方程,因此解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系時應(yīng)該熟練運用韋達定理解題.18、（1）；（2）見解析.【解題分析】試題分析：（1）由題意便知需命中2次引爆油罐，且第二次命中時停止射擊，這樣可設(shè)Ai=“射擊i+1次引爆油罐”，i=1，2，3，4，根據(jù)符合二項分布的變量的概率的求法及獨立事件同時發(fā)生的概率的求法即可求出油罐被引爆的概率；

（2）根據(jù)題意知變量ξ的取值為2，3，4，5，并且取5時包含這樣幾種情況：5次都未打中，5次只有1次打中，打中2次且第5次打中，這三個事件相互獨立，求出每個事件的概率再求和即可，列表表示ξ的分布列，根據(jù)期望的計算公示求ξ的數(shù)學(xué)期望即可．試題解析：（1）“油罐被引爆”的事件為事件，其對立事件為包括“一次都沒有命中”和“只命中一次”，即，∴（2）射擊次數(shù)的可能取值為2，3，4，5故的分布列為：19、（Ⅰ）66人；（Ⅱ）能.【解題分析】

（I）利用所給數(shù)據(jù)，求出線性回歸方程，令即可得出答案。（Ⅱ）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計算出觀測值，與臨界值比較即可。【題目詳解】（I）利用所給數(shù)據(jù)，計算＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝×（120+105+100+90+85）＝100；==＝100﹣（﹣8.5）×3＝125.5；∴與之間的回歸直線方程；當(dāng)時，，即預(yù)測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員有66人；（II）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算，由此能判斷有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)．【題目點撥】本題考查線性回歸方程與獨立性檢驗，考查學(xué)生的理解計算能力，屬于簡單題。20、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)均值不等式可以證明；（Ⅱ）根據(jù)均值不等式和已知條件的靈活應(yīng)用可以證明.【題目詳解】證明Ⅰ，b，，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立

Ⅱ，，，，，【題目點撥】本題主要考查不等式的證明，均值不等式是常用工具，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).21、（Ⅰ）不具有，理由見解析；（Ⅱ）證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）由條件易得集合具有性質(zhì)，對集合中的進行討論，利用題設(shè)條件得出集合不具有性質(zhì)；（Ⅱ）利用反證法，假設(shè)具有性質(zhì)的集合有限個，根據(jù)題設(shè)條件得出矛盾，即可證明具有性質(zhì)的集合有無窮多個.【題目詳解】解：(Ⅰ)具有性質(zhì)，如可??；不具有性質(zhì)；理由如下：對于中的元素，或者如果，那么剩下個元素，不滿足條件；如果，那么剩下個元素，也不滿足條件．因此，集合不具有性質(zhì).（Ⅱ）證明：假設(shè)符合條件的只有有限個，設(shè)其中元素個數(shù)最多的為.對于，由題設(shè)可知，存在，滿足條件.構(gòu)造如下集合由于所以易驗證，，對集合滿足條件，而也就是說存在比的元素個數(shù)更多的集合具有性質(zhì)，與假設(shè)矛盾．因此具