黑龍江省哈師大附屬中學2024屆數學高二第二學期期末復習檢測試題含解析

黑龍江省哈師大附屬中學2024屆數學高二第二學期期末復習檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線是圓的一條對稱軸，過點作斜率為1的直線，則直線被圓所截得的弦長為（）A． B． C． D．2．已知變量x,y之間的線性回歸方程為,且變量x,y之間的一組相關數據如表所示,則下列說法錯誤的是()x681012y6m32A．變量x,y之間呈現負相關關系B．可以預測,當x=20時,y=﹣3.7C．m=4D．該回歸直線必過點(9,4)3．已知點在拋物線C：的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為（）A． B． C． D．4．由命題“周長為定值的長方形中，正方形的面積取得最大”可猜想：在表面積為定值的長方體中（）A．正方體的體積取得最大B．正方體的體積取得最小C．正方體的各棱長之和取得最大D．正方體的各棱長之和取得最小5．同學聚會時，某宿舍的4位同學和班主任老師排隊合影留念，其中宿舍長必須和班主任相鄰，則5人不同的排法種數為（）A．48 B．56 C．60 D．1206．將A，B，C，D，E，F這6個字母隨機排成一排組成一個信息碼，則所得信息碼恰好滿足A，B，C三個字母連在一起，且B在A與C之間的概率為（）A． B． C． D．7．在建立兩個變量與的回歸模型時，分別選擇了4個不同的模型，這四個模型的相關系數分別為0.25、0.50、0.98、0.80，則其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型48．老師在班級50名學生中，依次抽取學號為5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的學生進行作業(yè)檢查，這種抽樣方法是（）A．隨機抽樣 B．分層抽樣 C．系統(tǒng)抽樣 D．以上都是9．若函數有小于零的極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．“指數函數是增函數，函數是指數函數，所以函數是增函數”，以上推理（）A．大前提不正確 B．小前提不正確 C．結論不正確 D．正確11．已知自然數，則等于（）A． B． C． D．12．已知直線與圓交于兩點，且（其中為坐標原點），則實數的值為A． B． C．或 D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某市社區(qū)35歲至45歲的居民有450人，46歲至55歲的居民有750人，56歲至65歲的居民有900人．為了解該社區(qū)35歲至65歲居民的身體健康狀況，社區(qū)負責人采用分層抽樣技術抽取若干人進行體檢調查，若從46歲至55歲的居民中隨機抽取了50人，試問這次抽樣調查抽取的人數是________人．14．設函數是定義在上的周期為2的偶函數，當，時，，則____．15．已知集合，且下列三個關系：有且只有一個正確，則函數的值域是_______．16．從裝有3個紅球,2個白球的袋中隨機取出2個球,設其中有個紅球,則為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著智能手機的普及，網絡搜題軟件走進了生活，有教育工作者認為，網搜答案可以起到幫助人們學習的作用，但對多數學生來講，過度網搜答案容易養(yǎng)成依賴心理，對學習能力造成損害.為了了解學生網搜答案的情況，某學校對學生一月內進行網搜答案的次數進行了問卷調查，并從參與調查的學生中抽取了男、女生各100人進行抽樣分析，制成如下頻率分布直方圖：記事件“男生1月內網搜答案次數不高于30次”為，根據頻率分布直方圖得到的估計值為0.65(1)求的值；(2)若一學生在1月內網搜答案次數超過50次，則稱該學生為“依賴型”，現從樣本內的“依賴型”學生中，抽取3人談話，求抽取的女生人數X的分布列和數學期望.18．（12分）已知函數的圖象在點處的切線方程為．（1）求函數的解析式；（2）求函數在區(qū)間上的最大值．19．（12分）如圖，二面角的大小為，四邊形是邊長為的正方形，，為上的點，且平面.（1）求證：；（2）求二面角的大?。唬?）求點到平面的距離.20．（12分）在直角坐標系中，直線，圓．以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求的極坐標方程；（2）若直線的極坐標方程為，設與的交點為、，求.21．（12分）如圖，平面，，交于點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知．（1）討論的單調性；（2）若存在及唯一正整數，使得，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】由是圓的一條對稱軸知，其必過圓心，因此，則過點斜率為1的直線的方程為，圓心到其距離，所以弦長等于，故選C．2、C【解題分析】

根據回歸直線方程的性質，以及應用，對選項進行逐一分析，即可進行選擇.【題目詳解】對于A：根據b的正負即可判斷正負相關關系.線性回歸方程為，b=﹣0.7<0，故負相關.對于B：當x=20時，代入可得y=﹣3.7對于C：根據表中數據：9.可得4.即，解得：m=5.對于D：由線性回歸方程一定過()，即(9，4).故選：C.【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程的性質，以及回歸直線方程的應用，屬綜合基礎題.3、C【解題分析】試題分析：由已知得，拋物線的準線方程為，且過點，故，則，，則直線AF的斜率，選C．考點：1、拋物線的標準方程和簡單幾何性質；2、直線的斜率．4、A【解題分析】

根據類比規(guī)律進行判定選擇【題目詳解】根據平面幾何與立體幾何對應類比關系：周長類比表面積，長方形類比長方體，正方形類比正方體，面積類比體積，因此命題“周長為定值的長方形中，正方形的面積取得最大”，類比猜想得：在表面積為定值的長方體中，正方體的體積取得最大，故選A.【題目點撥】本題考查平面幾何與立體幾何對應類比，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.5、A【解題分析】

采用捆綁法，然后全排列【題目詳解】宿舍長必須和班主任相鄰則有種可能，然后運用捆綁法，將其看成一個整體，然后全排列，故一共有種不同的排法故選【題目點撥】本題考查了排列中的位置問題，運用捆綁法來解答即可，較為基礎6、C【解題分析】

將A，B，C三個字捆在一起，利用捆綁法得到答案.【題目詳解】由捆綁法可得所求概率為.故答案為C【題目點撥】本題考查了概率的計算，利用捆綁法可以簡化運算.7、C【解題分析】

相關系數的絕對值越靠近1，擬合效果越好，據此得到答案.【題目詳解】四個模型的相關系數分別為0.25、0.50、0.98、0.80相關系數的絕對值越靠近1，擬合效果越好故答案選C【題目點撥】本題考查了相關系數，相關系數的絕對值越靠近1，擬合效果越好.8、C【解題分析】

對50名學生進行編號，分成10組，組距為5，第一組選5，其它依次加5，得到樣本編號.【題目詳解】對50名學生進行編號，分成10組，組距為5，第一組選5，從第二組開始依次加5，得到樣本編號為：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，屬于系統(tǒng)抽樣.【題目點撥】本題考查系統(tǒng)抽樣的概念，考查對概念的理解.9、A【解題分析】分析：函數有小于零的極值點轉化為有負根，通過討論此方程根為負根，求得實數的取值范圍.詳解：設，則，函數在上有小于零的極值點，有負根，①當時，由，無實數根，函數無極值點，不合題意，②當時，由，解得，當時，；當時，，為函數的極值點，，解得，實數的取值范圍是，故選A.點睛：本題考查了利用導數研究函數的極值，屬于中檔題.求函數極值的步驟：(1)確定函數的定義域；(2)求導數；(3)解方程求出函數定義域內的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側值的符號，如果左正右負（左增右減），那么在處取極大值，如果左負右正（左減右增），那么在處取極小值.10、A【解題分析】分析：利用三段論和指數函數的單調性分析判斷.詳解：由三段論可知“指數函數是增函數”是大前提，但是指數函數不一定是增函數，對于指數函數，當a>1時，指數函數是增函數，當0＜a＜1時，指數函數是減函數.所以大前提不正確，故答案為：A.點睛：本題主要考查三段論和指數函數的單調性，意在考查學生對這些知識的掌握水平.11、D【解題分析】分析：直接利用排列數計算公式即可得到答案.詳解：.故選：D.點睛：合理利用排列數計算公式是解題的關鍵.12、C【解題分析】分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB為等腰直角三角形，由圓的標準方程得到圓心坐標與半徑R，可得出AB，求出AB的長，圓心到直線y=﹣x+a的距離為AB的一半，利用點到直線的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解即可得到實數a的值．詳解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB為等腰直角三角形，又圓心坐標為（0，0），半徑R=1，∴AB=.∴圓心到直線y=﹣x+a的距離d=AB==，∴|a|=1，∴a=±1．故答案為C．點睛：這個題目考查的是直線和圓的位置關系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數形結合來解決的，聯立的時候較少；在求圓上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉化為圓心到直線或者圓心到定點的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長或者切線長時，經常用到垂徑定理和垂徑定理.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據題意可得抽樣比為則這次抽樣調查抽取的人數是即答案為140.14、【解題分析】

依題意能得到f（）＝f（），代入解析式即可求解.【題目詳解】依題意得f（﹣x）＝f（x）且f（x+2）＝f（x），∴f（）＝f（）＝f（2）＝f（）2，故答案為：．【題目點撥】本題考查了函數的奇偶性、周期性的應用，屬于基礎題．15、【解題分析】分析：根據集合相等的條件，列出a、b、c所有的取值情況，再判斷是否符合條件，求出a，b，c的值，結合的最值即可求出函數的值域．詳解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情況：當a=2時，b=3、c=4時，a≠3，b=3，c≠4都正確，不滿足條件．當a=2時，b=4、c=3時，a≠3成立，c≠4成立，此時不滿足題意；當a=3時，b=2、c=4時，都不正確，此時不滿足題意；當a=3時，b=4、c=2時，c≠4成立，此時滿足題意；當a=4時，b=2，c=3時，a≠3，c≠4成立，此時不滿足題意；當a=4時，b=3、c=2時，a≠3，b=3成立，此時不滿足題意；綜上得，a=3、b=4、c=2，則函數=，當x＞4時，f（x）=2x＞24=16，當x≤4時，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，綜上f（x）≥3，即函數的值域為[3，+∞），故答案為[3，+∞）．點睛：本題主要考查函數的值域的計算，根據集合相等關系以及命題的真假條件求出a，b，c的值是解決本題的關鍵．16、【解題分析】分析：由題意，從裝有個紅球和個白球的袋中隨機取出個球的取法，再求得當個球都是紅球的取法，利用古典概型的概率計算公式，即可得到答案.詳解：由題意，從裝有個紅球和個白球的袋中隨機取出個球，共有種方法，其中當個球都是紅球的取法有種方法，所以概率為.點睛：本題主要考查了古典概型及其概率的計算公式的應用，其中概率排列、組合的知識得到基本事件的總數是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）詳見解析【解題分析】

（1）根據的估計值計算出的值，然后根據頻率和為計算出的值；（2）先計算出男、女“依賴型”人數，然后根據超幾何分布的概率計算去求解X的分布列和數學期望.【題目詳解】解：（1）由已知得，所以，又因為，所以；（2）樣本中男生“依賴型”人數為，女生“依賴型”人數為，的所有可能取值為..的分布列為0123【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖的理解以及離散型隨機變量的均值，難度一般.根據頻率分布直方圖去求解相應值的時候，注意隱含條件：頻率和為；書寫分布列的時候注意檢驗一下概率和是否為.18、（1）；（2）最大值為.【解題分析】

（1）將點代入直線，得出，再由解出、的值，可得出函數的解析式；（2）利用導數求出函數在區(qū)間上的極值，再與端點函數值比較大小，可得出函數在區(qū)間上的最大值.【題目詳解】（1），，將點點代入直線，得，得，所以，解得，因此，；（2），.由得或，由得.函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，函數在處取得極小值，而，，函數在區(qū)間上的最大值為.【題目點撥】本題考查了導數的幾何意義，同時也考查了利用導數求函數的最值，意在對導數知識點以及應用的考查，屬于中等題.19、(1)見解析；（2）；（3）.【解題分析】試題分析：（1）由平面可證，由二面角為直二面角及是正方形可證，再由線面垂直判定定理得平面，即可得證；（2）取的中點，連接，，由四邊形為正方形可證，，即可得為二面角的平面角，根據題設條件求出及，即可得二面角的余弦值；（3）利用等體積法，由即可得點到平面的距離.試題解析：（1）∵平面，∴.又∵二面角為直二面角，且，∴平面，∴，∴平面，∴.（2）取的中點，連接，.∵四邊形為正方形，∴，∴，即為二面角的平面角，又，∴，由（1）知，且，∴，∴，由，解得，∴，即∴，即二面角的余弦值為.（3）取的中點，連接，∵，二面角為直二面角，∴平面，且.∵，，∴平面，∴，∴，又，由，得，∴.點睛：立體幾何的證明需要對證明的邏輯關系清楚，證明線線垂直，先由線面垂直得到線線垂直，再由線線垂直證明線面垂直；用普通法求二面角，講究“一作、二證、三求”，通過輔助線先把二面角的平面角及計算所需線段作出來，再證明所作角是二面角的平面角；點到面的距離還原到體積問題，則利用等體積法解題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由可得出曲線的極坐標方程；（2）解法一：求出直線的普通方程，利用點到直線的距離公式計算出圓的圓心到直線的距離，再利用勾股定理計算出；解法二：設點、的極坐標分別為、，將圓的方程化為極坐標方程，并將直線的方程與圓的極坐標方程聯立，得出關于的二次方程，列出韋達定理，可得出，從而計算出.【題目詳解】（1）由直線，可得的極坐標方程為；（2）解法一：由直線的極坐標方程為，得直線的直角坐標方程為，即.圓的圓心坐標為，半徑為，則圓心到直線的距離，；解法二：圓的普通方程為，化為極坐標方程得，設點、的極坐標分別為、，將直線的極坐標方程代入圓的極坐標方程得，，由韋達定理得，，因此，.【題目點撥】本題考查普通方程與極坐標方程的互化，同時也考查了直線與圓相交所得弦長的計算，可以計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理來進行計算，也可以利用極坐標方程，利用極徑之差來進行計算，考查化歸與轉化數學思想的應用，屬于中等題.21、（1）證明見解析（2）【解題分析】

(1)證明與進而證