武漢市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

武漢市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題，，命題q：若恒成立，則，那么()A．“”是假命題 B．“”是真命題C．“”為真命題 D．“”為真命題2．已知、為雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則A．2 B．4 C．6 D．83．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．4．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之差為（）A．-1 B．1C． D．5．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)采訪(fǎng)了9位代表，將數(shù)據(jù)制成莖葉圖如圖，若用樣本估計(jì)總體，年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是（精確到）（）A． B． C． D．6．當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳的含量大約每經(jīng)過(guò)年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)一批魚(yú)化石，經(jīng)檢測(cè)其碳14含量約為原始含量的，則該生物生存的年代距今約（）A．萬(wàn)年 B．萬(wàn)年 C．萬(wàn)年 D．萬(wàn)年7．（）A．0 B． C．1 D．28．已知向量，則與的夾角為（）A．0 B． C． D．9．給出命題①零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的．②若，都是單位向量，則．③向量與向量相等．④若非零向量與是共線(xiàn)向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共線(xiàn)．以上命題中，正確命題序號(hào)是（）A．① B．② C．①和③ D．①和④10．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（）A． B． C． D．11．設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．12．函數(shù)的定義域（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從2，4，8中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成_______個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).（用數(shù)字作答）14．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15．—個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，則該四面體的體積為_(kāi)_______.16．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第10項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng),則常數(shù)項(xiàng)的值是______(用數(shù)字作答).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如表所示的列聯(lián)表:已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為.（1）請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男5女10合計(jì)50（2）是否有97.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?說(shuō)明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病.現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進(jìn)行其他方面的排查，記選出患胃病的女性人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.下面的臨界值表供參考:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式，其中）18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值及函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.19．（12分）在四棱錐中,平面平面，,四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，,是的中點(diǎn).(1)求證:平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20．（12分）某工廠(chǎng)生產(chǎn)某種型號(hào)的電視機(jī)零配件，為了預(yù)測(cè)今年月份該型號(hào)電視機(jī)零配件的市場(chǎng)需求量，以合理安排生產(chǎn)，工廠(chǎng)對(duì)本年度月份至月份該型號(hào)電視機(jī)零配件的銷(xiāo)售量及銷(xiāo)售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查，銷(xiāo)售單價(jià)（單位：元）和銷(xiāo)售量（單位：千件）之間的組數(shù)據(jù)如下表所示：月份銷(xiāo)售單價(jià)（元）銷(xiāo)售量（千件）（1）根據(jù)1至月份的數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程（系數(shù)精確到）；（2）結(jié)合（1）中的線(xiàn)性回歸方程，假設(shè)該型號(hào)電視機(jī)零配件的生產(chǎn)成本為每件元，那么工廠(chǎng)如何制定月份的銷(xiāo)售單價(jià)，才能使該月利潤(rùn)達(dá)到最大（計(jì)算結(jié)果精確到）？參考公式：回歸直線(xiàn)方程，其中.參考數(shù)據(jù)：.21．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足其中.（Ⅰ）寫(xiě)出數(shù)列的前6項(xiàng)；（Ⅱ）猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.22．（10分）如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)是是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的大??；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

分別判斷命題的真假性，然后再判斷每個(gè)選項(xiàng)的真假【題目詳解】，即不存在，命題是假命題若恒成立，⑴時(shí)，，即符合條件⑵時(shí)，則解得，則命題為真命題故是真命題故選【題目點(diǎn)撥】本題考查了含有“或”“且”“非”命題的真假判定，只需將命題的真假進(jìn)行判定出來(lái)即可，需要解答一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】本試題主要考查雙曲線(xiàn)的定義，考查余弦定理的應(yīng)用．由雙曲線(xiàn)的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故選B．3、B【解題分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求得，進(jìn)而求得，由此得到結(jié)果.【題目詳解】，，，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)、對(duì)數(shù)比較大小的問(wèn)題，涉及到對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】試題分析：,故選B.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.5、A【解題分析】

求出樣本平均值與方差，可得年齡在內(nèi)的人數(shù)有5人，利用古典概型概率公式可得結(jié)果.【題目詳解】,,年齡在內(nèi)，即內(nèi)的人數(shù)有5人，所以年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是等于，故選A.【題目點(diǎn)撥】樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)公式．樣本方差公式，標(biāo)準(zhǔn)差.6、C【解題分析】

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，可抽象出，按對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【題目詳解】設(shè)該生物生存的年代距今是第個(gè)5730年，到今天需滿(mǎn)足，解得：，萬(wàn)年.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算能力.7、C【解題分析】

根據(jù)定積分的意義和性質(zhì)，，計(jì)算即可得出.【題目詳解】因?yàn)?，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了含絕對(duì)值的被積函數(shù)的定積分求值，定積分的性質(zhì)，屬于中檔題.8、C【解題分析】由題設(shè)，故，應(yīng)選答案C．9、A【解題分析】

根據(jù)零向量和單位向量的定義，易知①正確②錯(cuò)誤，由向量的表示方法可知③錯(cuò)誤，由共線(xiàn)向量的定義和四點(diǎn)共線(xiàn)的意義可判斷④錯(cuò)誤【題目詳解】根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義，單位向量的模相等，但方向可不同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；與向量互為相反向量，故③錯(cuò)誤；若與是共線(xiàn)向量，那么可以在一條直線(xiàn)上，也可以不在一條直線(xiàn)上，只要它們的方向相同或相反即可，故④錯(cuò)誤，故選A.【題目點(diǎn)撥】向量中有一些容易混淆的概念，如共線(xiàn)向量，它指兩個(gè)向量方向相同或相反，這兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)可以不在一條直線(xiàn)上，實(shí)際上共線(xiàn)向量就是平行向量．10、B【解題分析】

根據(jù)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的情況，計(jì)算得到答案.【題目詳解】因?yàn)椋实谝徊綉?yīng)驗(yàn)證的情況，即.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法的理解和掌握.11、A【解題分析】

根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，先求出，再依二項(xiàng)分布的期望公式求出結(jié)果【題目詳解】，即，所以，，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望公式，記準(zhǔn)公式是解題的關(guān)鍵．12、A【解題分析】

解不等式即得函數(shù)的定義域.【題目詳解】由題得所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的定義域的求法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的定義域，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先選后排，由分步計(jì)數(shù)原理可求得方法數(shù)?！绢}目詳解】從2，4，8中任取2個(gè)數(shù)字共有方法數(shù)種，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字共有方法數(shù)種，排成四位數(shù)共有種，由分步計(jì)數(shù)原理方法數(shù)為。填216.【題目點(diǎn)撥】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類(lèi)和分步，分類(lèi)時(shí)要注意不重不漏，本題是典型的先選后排分步計(jì)數(shù)原理題型。14、【解題分析】

先由題意，得顯然不是方程的根；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，令，，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，確定函數(shù)的大致形狀，原方程有四個(gè)根，即等價(jià)于的圖象與直線(xiàn)有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，即可求出結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，由得，令，，即，則，方程有四個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，由得，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，函數(shù)的極小值為；當(dāng)時(shí)，，則，由得；由得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)的極大值為.畫(huà)出函數(shù)的大致圖象如下：由圖象可得，只需.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的問(wèn)題，熟記分段函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值等，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，屬于常考題型.15、【解題分析】分析：滿(mǎn)足條件的四面體為正方體的一個(gè)角，利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出結(jié)果.詳解：如圖所示，滿(mǎn)足條件的四面體為正方體的一個(gè)角，該四面體的體積，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查空間直角坐標(biāo)系與三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了空間想象力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.16、【解題分析】

利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的第10項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，求出n的值，代入即可求解．【題目詳解】∵二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第10項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，∴展開(kāi)式的第10項(xiàng)為，∴n-9-3=0，解得n=12，∴常數(shù)值為故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查對(duì)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）有97.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān).（3）見(jiàn)解析，【解題分析】

（1）由題意可知：在全部50人中隨機(jī)抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為，即可求得患心肺疾病的為20人，即可完成列聯(lián)表；（2）再代入公式計(jì)算得出，與5.024比較即可得出結(jié)論；（3）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，記選出患胃病的女性人數(shù)為，則服從超幾何分布，即可得到的分布列和數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】解：（1）列聯(lián)表補(bǔ)充如表所示患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男10515女102535合計(jì)203050（2）∵∴∵∴有97.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān).（3）根據(jù)題意，的值可能為0，1，2，3，，，，分布列如表:0123則【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，考查隨機(jī)變量得分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．18、（Ⅰ），最小正周期為；（Ⅱ）2.【解題分析】

（Ⅰ）整理，得，由周期公式可得解；（Ⅱ）由已知可得，所以，問(wèn)題得解.【題目詳解】（Ⅰ）∵，∴，∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，則，∴，∴的最大值為2.【題目點(diǎn)撥】本題考查了輔助角公式和三角函數(shù)周期公式，考查了整體法求三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.19、（1）見(jiàn)解析；（2）【解題分析】

(1)連接，根據(jù)幾何關(guān)系得到,由平面平面，可得平面，進(jìn)而得到,再由三角形ABE的角度及邊長(zhǎng)關(guān)系得到，進(jìn)而得到結(jié)果;(2)建立空間坐標(biāo)系得到面的法向量為，面的一個(gè)法向量為，根據(jù)向量夾角運(yùn)算可得結(jié)果【題目詳解】（1）連接，由，是的中點(diǎn)，得，由平面平面，可得平面，，又由于四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，所以，從而平面.（2）以為原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，有，，令平面的法向量為，由，可得一個(gè)，同理可得平面的一個(gè)法向量為，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了面面垂直的證法，以及二面角的求法，證明面面垂直經(jīng)常先證線(xiàn)面垂直，再得面面垂直，或者建立坐標(biāo)系，求得兩個(gè)面的法向量，證明法向量公線(xiàn)即可.20、（1）（2）7月份銷(xiāo)售單價(jià)為10.8元時(shí)，該月利潤(rùn)才能達(dá)到最大.【解題分析】

（1）利用公式可計(jì)算線(xiàn)性回歸方程.（2）利用（1）的回歸方程可得7月份的利潤(rùn)函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最大值.【題目詳解】解:（1）由條件知，，，，從而，故關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為.（2）假設(shè)7月份的銷(xiāo)售單價(jià)為元，則由（1）可知，7月份零配件銷(xiāo)量為，故7月份的利潤(rùn)，其對(duì)稱(chēng)軸，故7月份銷(xiāo)售單價(jià)為10.8元時(shí)，該月利潤(rùn)才能達(dá)到最大.【題目點(diǎn)撥】本題考查線(xiàn)性回歸方程的計(jì)算，注意線(xiàn)性回歸方程所在的直線(xiàn)必定過(guò)點(diǎn).此類(lèi)問(wèn)題是基礎(chǔ)題.21、（Ⅰ），，，，，（Ⅱ）猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列，證明見(jiàn)解析【解