福州教育學(xué)院附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

福州教育學(xué)院附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．643．如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（）A．96 B．84 C．60 D．484．觀察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根據(jù)上述規(guī)律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192 B．202 C．212 D．2225．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到線C2，則曲線C2的方程為（）A．4x2+y2＝1 B．x2+4y2＝1 C．1 D．x216．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取4%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，207．定義：如果一個(gè)向量列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常向量，那么這個(gè)向量列做等差向量列，這個(gè)常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以為首項(xiàng)，公差的等差向量列.若向量與非零向量）垂直，則（）A． B． C． D．8．近年來(lái)隨著我國(guó)在教育科研上的投入不斷加大，科學(xué)技術(shù)得到迅猛發(fā)展，國(guó)內(nèi)企業(yè)的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力得到大幅提升．某品牌公司一直默默拓展海外市場(chǎng)，在海外設(shè)了多個(gè)分支機(jī)構(gòu)，現(xiàn)需要國(guó)內(nèi)公司外派大量中青年員工．該企業(yè)為了解這兩個(gè)年齡層員工是否愿意被外派工作的態(tài)度，按分層抽樣的方式從中青年員工中隨機(jī)調(diào)查了位，得到數(shù)據(jù)如下表：愿意被外派不愿意被外派合計(jì)中年員工青年員工合計(jì)由并參照附表，得到的正確結(jié)論是附表：0.100.010.0012.7066.63510.828A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%的前提下，認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”；B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%的前提下，認(rèn)為“是否愿意外派與年齡無(wú)關(guān)”；C．有99%以上的把握認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”；D．有99%以上的把握認(rèn)為“是否愿意外派與年齡無(wú)關(guān)”．9．如圖：在直棱柱中，，，分別是A1B1,BC,CC1的中點(diǎn)，則直線PQ與AM所成的角是（）A． B． C． D．10．把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使得平面⊥平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為()A． B．C． D．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A．8 B．4 C．6 D．312．“不等式成立”是“不等式成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某次考試結(jié)束后，甲、乙、丙三位同學(xué)討論考試情況.甲說(shuō)：“我的成績(jī)一定比丙高”.乙說(shuō)：“你們的成績(jī)都沒(méi)有我高”.丙說(shuō)：“你們的成績(jī)都比我高”成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且三人中恰有一人說(shuō)得不對(duì)，則這三人中成績(jī)最高的是______.14．已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是__________.15．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為4，且在雙曲線上到的距離為2的點(diǎn)有且僅有1個(gè)，則這個(gè)點(diǎn)到雙曲線的左焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_____.16．______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝m，點(diǎn)M是棱CD的中點(diǎn)．（1）求異面直線B1C與AC1所成的角的大??；（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得直線AC1與平面BMD1垂直？說(shuō)明理由；（3）設(shè)P是線段AC1上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），滿足λ，求λ的值，使得三棱錐B1﹣CD1C1與三棱錐B1﹣CD1P的體積相等．18．（12分）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求，，；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線交于兩點(diǎn).(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，的值.20．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．21．（12分）已知命題函數(shù)是上的奇函數(shù)，命題函數(shù)的定義域和值域都是，其中.（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的值；（2）若“且”為假命題，“或”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列{}滿足，且.（I）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（II）求數(shù)列{}的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

令分離常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和極值，結(jié)合與有三個(gè)交點(diǎn)，求得的取值范圍.【題目詳解】方程可化為，令，有，令可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為、，則，，當(dāng)時(shí)，，則若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.2、A【解題分析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體，它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體，它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.3、B【解題分析】解：分三類：種兩種花有種種法；種三種花有2種種法；種四種花有種種法．共有2++=1．故選B4、C【解題分析】∵所給等式左邊的底數(shù)依次分別為1，2；1，2，3；1，2，3，4；

右邊的底數(shù)依次分別為3，6，10，（注意：這里，），

∴由底數(shù)內(nèi)在規(guī)律可知：第五個(gè)等式左邊的底數(shù)為1，2，3，4，5，6，

右邊的底數(shù)為，又左邊為立方和，右邊為平方的形式，

故有，故選C.點(diǎn)睛：本題考查了，所謂歸納推理，就是從個(gè)別性知識(shí)推出一般性結(jié)論的推理．它與演繹推理的思維進(jìn)程不同．歸納推理的思維進(jìn)程是從個(gè)別到一般，而演繹推理的思維進(jìn)程不是從個(gè)別到一般，是一個(gè)必然地得出的思維進(jìn)程．解答此類的方法是從特殊的前幾個(gè)式子進(jìn)行分析找出規(guī)律．觀察前幾個(gè)式子的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)等式左邊為立方和，右邊為平方的形式，且左邊的底數(shù)在增加，右邊的底數(shù)也在增加．從中找規(guī)律性即可.5、C【解題分析】

根據(jù)條件所給的伸縮變換，反解出和的表達(dá)式，然后代入到中，從而得到曲線.【題目詳解】因?yàn)閳A，經(jīng)過(guò)伸縮變換所以可得，代入圓得到整理得，即故選C項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題考查通過(guò)坐標(biāo)伸縮變換求曲線方程，屬于簡(jiǎn)單題.6、A【解題分析】

由扇形圖能得到總數(shù)，利用抽樣比較能求出樣本容量；由分層抽樣和條形圖能求出抽取的高中生近視人數(shù).【題目詳解】用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，樣本容量為：，抽取的高中生近視人數(shù)為：，故選A.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有扇形圖與條形圖的應(yīng)用，以及分層抽樣的性質(zhì)，注意對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題目.7、D【解題分析】

先根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得向量，再根據(jù)向量垂直得遞推關(guān)系，最后根據(jù)累乘法求結(jié)果.【題目詳解】由題意得，因?yàn)橄蛄颗c非零向量）垂直，所以因此故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、向量垂直坐標(biāo)表示以及累乘法，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.8、A【解題分析】

由公式計(jì)算出的值，與臨界值進(jìn)行比較，即可得到答案?！绢}目詳解】由題可得：故在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)10%的前提下，認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)”，有90%以上的把握認(rèn)為“是否愿意外派與年齡有關(guān)，所以答案選A;故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，解題的關(guān)鍵是正確計(jì)算出的值，屬于基礎(chǔ)題。9、D【解題分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合直線的方向向量確定異面直線所成的角即可.【題目詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，據(jù)此可得：，，故，即直線PQ與AM所成的角是.本題選擇D選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間向量的應(yīng)用，異面直線所成的角的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10、C【解題分析】取BD的中點(diǎn)E，連結(jié)CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱錐的側(cè)視圖，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面積S=××=，故選C.11、D【解題分析】

設(shè)點(diǎn)、，由，可計(jì)算出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，再利用拋物線的定義可求出.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)、，易知點(diǎn)，，，，解得，因此，，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義，解題的關(guān)鍵在于利用向量共線求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于中等題．12、A【解題分析】

分別求解不等式與再判定即可.【題目詳解】可得,解得.又解得.故“不等式成立”是“不等式成立”的充分不必要條件.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分式與二次不等式的求解以及充分必要條件的判定.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、甲【解題分析】

分別假設(shè)說(shuō)對(duì)的是甲，乙，丙，由此分析三個(gè)人的話，能求出結(jié)果.【題目詳解】若甲對(duì)，則乙丙可能都對(duì)，可能都錯(cuò)，可能丙對(duì)，乙錯(cuò)，符合；若乙對(duì)，則甲丙可能都對(duì)，可能都錯(cuò)，不符；若丙對(duì)，則甲乙可能都對(duì)，可能甲對(duì)，乙錯(cuò)，符合，綜上，甲丙對(duì)，乙錯(cuò)，則這三人中成績(jī)最高的是甲.故答案為：甲.【題目點(diǎn)撥】本題考查合情推理的問(wèn)題，考查分類與討論思想，是基礎(chǔ)題.14、【解題分析】由題意可得：在區(qū)間上有解，即：在區(qū)間上有解，整理可得：在區(qū)間上有解，令，則，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，則，，即的最小值是.15、8【解題分析】

雙曲線：的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為4,可得的值，由條件以為圓心，2為半徑的圓與雙曲線僅有1個(gè)交點(diǎn).由雙曲線和該圓都是關(guān)于軸對(duì)稱的，所以這個(gè)點(diǎn)只能是雙曲線的右頂點(diǎn).即，根據(jù)可求得答案.【題目詳解】由題意可得雙曲線的一條漸近線方程為，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為4，即，即.雙曲線上到的距離為2的點(diǎn)有且僅有1個(gè),即以為圓心，2為半徑的圓與雙曲線僅有1個(gè)交點(diǎn).由雙曲線和該圓都是關(guān)于軸對(duì)稱的，所以這個(gè)點(diǎn)只能是雙曲線的右頂點(diǎn).所以，又即，即，所以.所以雙曲線的右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為.所以這個(gè)點(diǎn)到雙曲線的左焦點(diǎn)的距離為8.故答案為：8【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.16、【解題分析】

利用指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算，化簡(jiǎn)所求表達(dá)式.【題目詳解】原式.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）90°（2）存在，m，理由見(jiàn)解析（3）λ【解題分析】

（1）根據(jù)題意只需證明平面，即可得到B1C⊥AC1，從而可得答案.（2）存在實(shí)數(shù)m，使得直線AC1與平面BMD1垂直．只需證明BM⊥AC1，AC1⊥D1M，即可得到直線AC1⊥平面BMD1；（3）計(jì)算，，設(shè)AC1與平面B1CD1的斜足為O，則AO＝2OC1，則P為AO的中點(diǎn)，從而可得答案.【題目詳解】（1）連接BC1，如圖所示：由四邊形BCC1B1為正方形，可得B1C⊥BC1，又ABCD﹣A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，可得AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1，而AC1?平面ABC1，∴B1C⊥AC1，即異面直線B1C與AC1所成的角的大小為90°；（2）存在實(shí)數(shù)m，使得直線AC1與平面BMD1垂直．事實(shí)上，當(dāng)m時(shí)，CM，∵BC＝1，∴，則Rt△ABC∽R(shí)t△BCM，則∠CAB＝∠MBC，∵∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠MBC+∠ACB＝90°，即AC⊥BM，又CC1⊥BM，AC∩CC1＝C，∴BM⊥平面ACC1，則BM⊥AC1，同理可證AC1⊥D1M，又D1M∩BM＝M，∴直線AC1⊥平面BMD1；（3）∵，，設(shè)AC1與平面B1CD1的斜足為O，則AO＝2OC1，∴在線段AC1上取一點(diǎn)P，要使三棱錐B1﹣CD1C1與三棱錐B1﹣CD1P的體積相等，則P為AO的中點(diǎn)，即．【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與平面垂直的判定定理，考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了棱柱和棱錐的體積公式，屬于中檔題.18、（1）；（2），證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）由已知條件分別取，能依次求出，，的值；（2）猜想.證明當(dāng)是否成立，假設(shè)時(shí)，猜想成立，即：，證明當(dāng)也成立，可得證明【題目詳解】解：（1）由題意：，，當(dāng)時(shí)，可得，可得同理當(dāng)時(shí)：，可得當(dāng)時(shí)：，可得（2）猜想.證明如下：①時(shí)，符合猜想，所以時(shí)，猜想成立.②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即：.（），，兩式作差有：，又，所以對(duì)恒成立.則時(shí)，，所以時(shí)，猜想成立.綜合①②可知，對(duì)恒成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列的遞推式及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.19、(1)，.(2).【解題分析】分析：(1)先根據(jù)加減消元法得直線的普通方程，再根據(jù)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）先求P直角坐標(biāo)，再設(shè)直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式，代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義以及利用韋達(dá)定理得結(jié)果.詳解：(1)的普通方程為:；又,即曲線的直角坐標(biāo)方程為:(2)解法一:在直線上,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，即,.解法二:，，，．點(diǎn)睛：直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負(fù)、可為0)若M1，M2是l上的兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若線段M1M2的中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，則t＝，中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|＝|t|＝.(4)若M0為線段M1M2的中點(diǎn)，則t1＋t2＝0.20、詳見(jiàn)解析【解題分析】

用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先證明當(dāng)時(shí)，等式成立再假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，進(jìn)而證明當(dāng)時(shí)，等式也成立.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，左邊右邊，等式成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即當(dāng)時(shí)，左邊═2當(dāng)時(shí)，等式也成立．綜合，等式對(duì)所有正整數(shù)都成立．【題目點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，（1）奠基在時(shí)成立；（2）歸納在為任意自然數(shù)成立的假設(shè)下可以推出成立，則對(duì)一切自然數(shù)都成立．21、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義得f(－x)＋f(x)＝0，解得實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)一元二次方程有兩個(gè)大于1的不相等實(shí)根，利用實(shí)根分布解得k的取值范圍，由“p且q”為假命題，“p或