青海省平安區(qū)第一高級中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末檢測試題含解析

青海省平安區(qū)第一高級中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若，則（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的右焦點為F2，若C的左支上存在點M，使得直線bx﹣ay＝0是線段MF2的垂直平分線，則C的離心率為（）A． B．2 C． D．53．已知10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品，若從中任意抽取5件產(chǎn)品進行檢查，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有()A．種 B．種 C．種 D．種4．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)的實部為-2，則（）A．5 B． C． D．135．當取三個不同值時，正態(tài)曲線的圖象如圖所示，則下列選項中正確的是（）A． B．C． D．6．如圖所示陰影部分是由函數(shù)、、和圍成的封閉圖形，則其面積是（）A． B． C． D．7．設，若，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為（）A．第4項 B．第5項 C．第4項和第5項 D．第7項8．若，則的值為（）A．-2 B．-1 C．0 D．19．用數(shù)學歸納法證明過程中，假設時，不等式成立，則需證當時，也成立，則（）A． B．C． D．10．如圖，直線：與雙曲線：的右支交于，兩點，點是線段的中點，為坐標原點，直線交雙曲線于，兩點，其中點，，在雙曲線的同一支上，若雙曲線的實軸長為4，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在區(qū)間上遞減,則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．復數(shù)的模是()A．3 B．4 C．5 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是__________．14．從長度為、、、的四條線段中任選三條，能構成三角形的概率為.15．有4個不同的小球，全部放入4個不同的盒子內，恰好有兩個盒子不放球的不同放法的總數(shù)為____________________．16．某幾何體由一個半圓錐和一個三棱錐組合而成，其三視圖如圖所示（單位：厘米），則該幾何體的體積（單位：立方厘米）是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，設，判斷元素與的關系.18．（12分）已知數(shù)列，的前n項和分別為，，，且.(1)求數(shù)列的前n項和；(2)求的通項公式.19．（12分）盒子中放有大小形狀完全相同的個球，其中個紅球，個白球.（1）某人從這盒子中有放回地隨機抽取個球，求至少抽到個紅球的概率；（2）某人從這盒子中不放回地從隨機抽取個球，記每抽到個紅球得紅包獎勵元，每抽到個白球得到紅包獎勵元，求該人所得獎勵的分布列和數(shù)學期望.20．（12分）一個口袋內有個不同的紅球，個不同的白球，（1）從中任取個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記分，取一個白球記分，從中任取個球，使總分不少于分的取法有多少種？21．（12分）被嘉定著名學者錢大昕贊譽為“國朝算學第一”的清朝數(shù)學家梅文鼎曾創(chuàng)造出一類“方燈體”，“燈者立方去其八角也”，如圖所示，在棱長為的正方體中，點為棱上的四等分點.（1）求該方燈體的體積；（2）求直線和的所成角；（3）求直線和平面的所成角．22．（10分）設a∈R，函數(shù)f（1）當a=1時，求fx在3（2）設函數(shù)gx=fx+ax-1-e1-x，當g

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應函數(shù)值求結果.詳解：因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C.點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解．2、C【解題分析】

設P為直線與的交點，則OP為的中位線，求得到漸近線的距離為b，運用中位線定理和雙曲線的定義，以及離心率的公式，計算可得所求值．【題目詳解】，直線是線段的垂直平分線，可得到漸近線的距離為，且，，，可得，即為，即，可得．故選C．【題目點撥】本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查三角形的中位線定理，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．3、C【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進行分析，第一步從3件次品中抽取2件次品，第二步從7件正品中抽取3件正品，根據(jù)乘法原理計算求得結果．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①.從3件次品中抽取2件次品，有種抽取方法，;②.從7件正品中抽取3件正品，有種抽取方法，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有種；故選：C．【題目點撥】本題考查排列組合的實際應用，注意是一次性抽取，抽出的5件產(chǎn)品步需要進行排列．4、C【解題分析】分析：利用復數(shù)的除法運算得到，進的得到.詳解：由題復數(shù)的實部為-2，則故選C.點睛：本題考查復數(shù)的除法運算及復數(shù)的模，屬基礎題.5、A【解題分析】分析：由題意結合正態(tài)分布圖象的性質可知，越小，曲線越“瘦高”，據(jù)此即可確定的大小.詳解：由正態(tài)曲線的性質知，當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，所以.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查正態(tài)分布圖象的性質，系數(shù)對正態(tài)分布圖象的影響等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.6、B【解題分析】

根據(jù)定積分的幾何意義得到陰影部分的面積?！绢}目詳解】由定積分的幾何意義可知：陰影部分面積故選B.【題目點撥】本題考查定積分的幾何意義和積分運算，屬于基礎題．7、C【解題分析】

先利用二項展開式的基本定理確定的數(shù)值，再求展開式中系數(shù)最大的項【題目詳解】令，可得，令，則，由題意得，代入得，所以，又因為，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為第4項和第項，故選【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用問題，也考查了賦值法求二項式的次數(shù)的應用問題，屬于基礎題。8、B【解題分析】

令，即可求出的值.【題目詳解】解：在所給等式中，令，可得等式為，即.故選：B.【題目點撥】本題考查二項式定理的展開使用及靈活變求值，特別是解決二項式的系數(shù)問題，常采用賦值法，屬于中檔題.9、C【解題分析】故選10、A【解題分析】

根據(jù)點是線段的中點，利用點差法求得直線的斜率及其方程；聯(lián)立直線與雙曲線得到點橫坐標，聯(lián)立直線與直線，得到點橫坐標。由于，根據(jù)相似可得，又因為雙曲線的對稱性，，故，則，整理得到，進一步求得離心率?！绢}目詳解】設點為，點為，中點為，則，根據(jù)點差法可得，即，雙曲線的實軸長為4，直線為，，直線為.聯(lián)立，得；聯(lián)立，得又，根據(jù)相似可得雙曲線的對稱性，，，，，故選A【題目點撥】本題考察雙曲線離心率問題，出現(xiàn)弦中點考慮點差法，面積比值可以利用相似轉化為邊的比值，以此簡化計算11、B【解題分析】

由外函數(shù)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，可得要使函數(shù)在上遞減，需內函數(shù)二次函數(shù)的對稱軸大于等于1，且內函數(shù)在上的最小值大于0，由此聯(lián)立不等式組求解．【題目詳解】解：令，其對稱軸方程為，外函數(shù)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，要使函數(shù)在上遞減，則，即：．實數(shù)的取值范圍是．故選：．【題目點撥】本題主要考查了復合函數(shù)的單調性以及單調區(qū)間的求法．對應復合函數(shù)的單調性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復合函數(shù)與內層函數(shù)和外層函數(shù)單調性之間的關系進行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，是中檔題．12、C【解題分析】

直接利用復數(shù)的模的定義求得的值．【題目詳解】|，故選：C．【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的模的定義和求法，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】函數(shù)f（x）=的導數(shù)f′（x）=x2+2ax+1由于函數(shù)f（x）有兩個極值點，則方程f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）14、【解題分析】試題分析：這是的道古典概率題，其基本事件有共4個，由于是任意選取的，所以每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的，記事件A為“所選三條線段能構成三角形”，則事件A包含2個基本事件，根據(jù)概率公式得：．考點：古典概率的計算15、84【解題分析】

四個不同的球全部放入4個不同的盒子內，恰有兩個盒子不放球的不同放法的求法，分為兩步來求解，先把四個球分為兩組，再取兩個盒子，作全排列，由于四個球分兩組有兩種分法，一種是2，2，另一種是3，1，故此題分為兩類來求解，再求出它們的和，即可得到答案【題目詳解】四個球分為兩組有兩種分法，（2，2），（3，1）

若兩組每組有兩個球，不同的分法有種，恰有兩個盒子不放球的不同放法是3×A42=36種

若兩組一組為3，一組為1個球，不同分法有C43=4種恰有兩個盒子不放球的不同放法是4×A42=48種

綜上恰有兩個盒子不放球的不同放法是36+48=84種即答案為84.【題目點撥】題考查察排列、組合的實際應用，解題的關鍵是理解事件“四個不同的球全部放入4個不同的盒子內，恰有兩個盒子不放球”，宜先將四個球分為兩組，再放入，分步求不同的放法種數(shù)16、【解題分析】

根據(jù)三視圖確定出三棱錐的底面是一個等腰直角三角形且直角邊長度都是，高為；半圓錐的底面是半徑為的半圓，高為；據(jù)此計算出該幾何體的體積.【題目詳解】由三視圖可知，三棱錐的體積：；半圓錐體積：，所以總體積為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查空間幾何體的體積計算，難度較易.計算組合體的體積時，可將幾何體拆分為幾個容易求解的常見幾何體，然后根據(jù)體積公式完成求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當，且時，；當或時，.【解題分析】

分析：對變形并對分類討論即可.詳解：根據(jù)題意，故當，且時，；當或時，.點睛：本題考查集合與元素的關系，解題的關鍵在于正確的分類討論.18、（1）（2）【解題分析】

（1）先將表示為，然后利用裂項求和法可求出；（2）先求出數(shù)列的前項和，于是得出，然后利用作差法可求出數(shù)列的通項公式．【題目詳解】（1）因為，所以；（2）因為，所以.當時.；當時，.故【題目點撥】本題考查裂項法求和以及作差法求數(shù)列的通項公式，求通項要結合遞推式的結構選擇合適的方法求數(shù)列通項，求和則需考查數(shù)列通項的結構合理選擇合適的求和方法進行計算，屬于?？碱}．19、（1）；（2）42元.【解題分析】

（1）分為三種情況，即抽到個紅球，抽到個紅球和抽到個紅球，概率相加得到答案.（2）隨機變量可能的取值為，計算每個數(shù)對應概率，得到分布列，計算數(shù)學期望得到答案.【題目詳解】(1)記至少抽到個紅球的事件為,法1：至少抽到個紅球的事件，分為三種情況，即抽到個紅球，抽到個紅球和抽到個紅球，每次是否取得紅球是相互獨立的，且每次取到紅球的概率均為，所以，答：至少抽到個紅球的概率為.法2：至少抽到個紅球的事件的對立事件為次均沒有取到紅球（或次均取到白球），每次取到紅球的概率均為（每次取到白球的概率均為），所以答：至少抽到個紅球的概率為.(2)由題意,隨機變量可能的取值為，，，，所以隨機變量的分布表為：所以隨機變量的數(shù)學期望為（元）.【題目點撥】本題考查了概率的計算，分布列，數(shù)學期望，意在考查學生的計算能力.20、（1）115（2）186【解題分析】

（1）從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法，紅球4個，紅球3個和白球1個，紅球2個和白球2個，紅球4個，取法有種，紅球3個和白球1個，取法有種；紅球2個和白球2個，取法有種；根據(jù)分類計數(shù)原理，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有種．（2）使總分不少于7分情況有三種情況，4紅1白，3紅2白，2紅3白.第一種，4紅1白，取法有種；第二種，3紅2白，取法有種，第三種，2紅3白，取法有種，根據(jù)分類計數(shù)原理，總分不少于7分的取法有21、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）計算出八個角（即八個三棱錐）的體積之和，然后利用正方體的體積減去這八個角的體積之和即可得出方燈體的體積；（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出直線和的所成角；（3）求出平面的法向量，利用空間向量法求出直線和平面的所成角的正弦值，由此可得出和平面的所成角的大小.【題目詳解】（1）在棱長為的正方體中，點為棱上的四等分點，該方燈體的體積：；（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，、、、，，，設直線和的所成角為，則，直線和的所成角為；（3），，，，設平面的法向量，則，得，取，得，設直線和平面的所成角為，則，直線和平面的所成角為．【題目點撥】本題考查多面體的體積、異面直線所成角、直線與平面所成角的計算，解題的關鍵就是建立空間直角坐標系，利用空間向量法進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.22