2024屆浙江名校新數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆浙江名校新數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三角形的面積是，，，則b等于()A．1 B．2或1 C．5或1 D．或12．已知函數(shù)，若方程恰有三個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．如圖，和都是圓內(nèi)接正三角形，且，將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用表示事件“豆子落在內(nèi)”，表示事件“豆子落在內(nèi)”，則（）A． B． C． D．4．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．5．在中，，，，點滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．76．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則的解析式可能為A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖像向左平移個單位得到的，則（）A． B． C． D．8．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．9．12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是()A． B． C． D．10．動點在圓上移動時，它與定點連線的中點的軌跡方程是（）A． B．C． D．11．已知點滿足，則到坐標(biāo)原點的距離的點的概率為（）A． B． C． D．12．設(shè)拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點，，垂足為A，如果為正三角形，那么等于（）A． B． C．6 D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，向量滿足，則的最大值為________．14．若一個三位自然數(shù)的十位上的數(shù)字最大，則稱該數(shù)為“凸數(shù)”（如，）.由組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中凸數(shù)的個數(shù)為_____個．15．給出下列幾個命題：①三點確定一個平面；②一個點和一條直線確定一個平面；③垂直于同一直線的兩直線平行；④平行于同一直線的兩直線平行.其中正確命題的序號是____.16．橢圓，參數(shù)的范圍是）的兩個焦點為、，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，且，則等于．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍.18．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，能被7整除．19．（12分）已知函數(shù)（且），.（1）函數(shù)的圖象恒過定點，求點坐標(biāo)；（2）若函數(shù)的圖象過點，證明：方程在上有唯一解.20．（12分）某保險公司決定每月給推銷員確定個具體的銷售目標(biāo)，對推銷員實行目標(biāo)管理.銷售目標(biāo)確定的適當(dāng)與否，直接影響公司的經(jīng)濟效益和推銷員的工作積極性，為此，該公司當(dāng)月隨機抽取了50位推銷員上個月的月銷售額（單位：萬元），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）①根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出月銷售額在小組內(nèi)的頻率.②根據(jù)直方圖估計，月銷售目標(biāo)定為多少萬元時，能夠使70%的推銷員完成任務(wù)？并說明理由.（2）該公司決定從月銷售額為和的兩個小組中，選取2位推銷員介紹銷售經(jīng)驗，求選出的推銷員來自同一個小組的概率.21．（12分）已知函數(shù)f(x)=2ln（1）當(dāng)a=2時，求f(x)的圖像在x=1處的切線方程；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-ax+m在[1e,e]22．（10分）已知一個口袋中有個紅球和個白球（，，），這些球除顏色外完全相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機地逐個摸出（不放回），直到紅球全部被摸出為止．（1）當(dāng)，時，試求“摸球次數(shù)為5”的概率；（2）隨機變量表示摸球次數(shù)，是的數(shù)學(xué)期望．寫出的概率分布列，并求．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由三角形面積公式，計算可得的值,即可得B的值,結(jié)合余弦定理計算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意:三角形的面積是,即,又由，則則或，若則此時則；若,則,此時則；故或.故選：D.【題目點撥】本題考查三角形的面積公式,考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,難度較易.2、C【解題分析】當(dāng)時，畫出函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，無解，不符合題意，故排除兩個選項.當(dāng)時，畫圖函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，或，解得不符合題意，故排除選項，選.點睛：本題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查復(fù)合函數(shù)的研究方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查零點問題題.題目所給的分段函數(shù)當(dāng)時，圖像是確定的，當(dāng)時，圖像是含有參數(shù)的，所以要對參數(shù)進行分類討論.在分類討論的過程中，圍繞的解的個數(shù)來進行.3、D【解題分析】如圖所示，作三條輔助線，根據(jù)已知條件，這些小三角形全等，包含個小三角形，同時又在內(nèi)的小三角形共有個，所以，故選D.4、A【解題分析】

本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算．【題目詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A．【題目點撥】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復(fù)元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．5、D【解題分析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積．【題目詳解】在中，，，，點滿足，可得則==【題目點撥】本題考查了向量的數(shù)量積運算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量．6、C【解題分析】

依次對選項求導(dǎo)，再判斷導(dǎo)數(shù)的奇偶性即可得到答案。【題目詳解】對于A，由可得，則為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱；故A不滿足題意；對于B，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，故B不滿足題意；對于C，由可得，則為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，故C滿足題意，正確；對于D，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，故D不滿足題意；故答案選C【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的求法，奇偶函數(shù)的判定，屬于基礎(chǔ)題。7、B【解題分析】

把的圖像向左平移個單位后得到的圖像，化簡后可得的值，利用兩角和的余弦和正弦展開后可得的值.【題目詳解】把的圖像向左平移個單位后得到所得圖像的解析式為，根據(jù)可得①，所以即（舍），又對①化簡可得，故，故選B.【題目點撥】三角函數(shù)的圖像往往涉及振幅變換、周期變換和平移變換，注意左右平移時是自變量作相應(yīng)的變化，而且周期變換和平移變換（左右平移）的次序?qū)瘮?shù)解析式的也有影響，比如，它可以由先向左平移個單位，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，也可以先保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模傧蜃笃揭?．8、C【解題分析】

利用復(fù)數(shù)除法運算求得，根據(jù)虛部定義得到結(jié)果.【題目詳解】的虛部為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)虛部的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】試題分析：第一步從后排8人中選2人有種方法，第二步6人前排排列，先排列選出的2人有種方法，再排列其余4人只有1種方法，因此所有的方法總數(shù)的種數(shù)是考點：排列組合點評：此類題目的求解一般遵循先選擇后排列，結(jié)合分步計數(shù)原理的方法10、B【解題分析】

設(shè)連線的中點為,再表示出動點的坐標(biāo),代入圓化簡即可.【題目詳解】設(shè)連線的中點為,則因為動點與定點連線的中點為,故,又在圓上,故,即即故選：B【題目點撥】本題主要考查了軌跡方程的一般方法,屬于基礎(chǔ)題型.11、B【解題分析】

作出圖象，得到點P的坐標(biāo)圍成的圖形是以原點為中心的邊長為正方形，到坐標(biāo)原點O的距離的點P圍成的圖形是以原點為圓心，半徑為1的圓，由此利用幾何概型能求出到坐標(biāo)原點O的距離的點P的概率．【題目詳解】點滿足，

當(dāng)，時，；

當(dāng)，時，；

當(dāng)，時，；

當(dāng)，時，．

作出圖象，得到點P的坐標(biāo)圍成的圖形是以原點為中心的邊長為正方形，

到坐標(biāo)原點O的距離的點P圍成的圖形是以原點為圓心，半徑為1的圓，

到坐標(biāo)原點O的距離的點P的概率為：

．

故選：B.【題目點撥】本題考查概率的求法，幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．12、C【解題分析】

設(shè)準(zhǔn)線l與軸交于點，根據(jù)拋物線的定義和△APF為正三角形，這兩個條件可以得出，在直角三角形中，利用正弦公式可以求出，即求出|PF|的長．【題目詳解】設(shè)準(zhǔn)線l與軸交于點，所以，根據(jù)拋物線的定義和△APF為正三角形，，在中，，，所以|PF|等于6,故本題選C．【題目點撥】本題考查了拋物線的定義．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由題意得，由若滿足知，，當(dāng)且僅當(dāng)與同向且時，取等號，所以，而有基本不等式知，，所以，當(dāng)且當(dāng)即時取等號，故的最大值為．考點：1.向量加法的平行四邊形法則；2.基本不等式.【方法點睛】本題主要考查的是向量模的運算性質(zhì)，向量的平行四邊形法則及其向量垂直的性質(zhì)，屬于難題，向量的模的最值運算，一般要化為已知量的關(guān)系式，常用的工具，在平行四邊形中，再結(jié)合基本不等式可得當(dāng)時，,,即取最大值.14、8【解題分析】

根據(jù)“凸數(shù)”的特點，中間的數(shù)字只能是3,4，故分兩類，第一類，當(dāng)中間數(shù)字為“3”時，第二類，當(dāng)中間數(shù)字為“4”時，根據(jù)分類計數(shù)原理即可解決.【題目詳解】當(dāng)中間數(shù)字為“3”時，此時有兩個（132,231），當(dāng)中間數(shù)字為“4”時，從123中任取兩個放在4的兩邊，有種，則凸數(shù)的個數(shù)為個.【題目點撥】本題考查分類計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.15、④【解題分析】分析：由三點可能共線可判斷①錯；由點可能在直線上可判斷②錯；由兩直線可能相交、異面判斷③錯；根據(jù)公理可判定④正確.詳解：①不共線的三點確定一個平面，故①錯誤；②一條直線和直線外一點確定一個平面，故②錯誤；③垂直于同一直線的兩直線相交、平行或異面，故③錯誤；④平行于同一直線的兩直線平行，故④正確，故答案為④.點睛：本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意平面的基本性質(zhì)及推理的合理運用.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實實物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價.16、【解題分析】試題分析：設(shè)P為橢圓平分正三角形的邊的一個點，則為一個銳角為直角三角形，因為斜邊長，所以另兩條直角邊長為由橢圓定義有考點：橢圓定義三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為；(2)根據(jù)題中所給的，其中一個絕對值符號可以去掉，不等式可以化為時，分情況討論即可求得結(jié)果.詳解：（1）當(dāng)時，，即故不等式的解集為．（2）當(dāng)時成立等價于當(dāng)時成立．若，則當(dāng)時；若，的解集為，所以，故．綜上，的取值范圍為．點睛：該題考查的是有關(guān)絕對值不等式的解法，以及含參的絕對值的式子在某個區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，需要會用零點分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個不等式組來解決，關(guān)于第二問求參數(shù)的取值范圍時，可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍，去掉一個絕對值符號，之后進行分類討論，求得結(jié)果.18、見解析【解題分析】

運用數(shù)學(xué)歸納法證明，考慮檢驗成立，再假設(shè)成立，證明時，注意變形，即可得證．【題目詳解】證：①當(dāng)時，，能被7整除；②假設(shè)時，能被7整除，那么當(dāng)時，，由于能被7整除，能被7整除，可得能被7整除，即當(dāng)時，能被7整除；綜上可得當(dāng)時，能被7整除.【題目點撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若成立（奠基）；假設(shè)成立，可以推出成立（歸納），則對一切大于等于的自然數(shù)都成立.屬于基礎(chǔ)題.19、(1)；(2)證明見解析.【解題分析】試題分析：(1)結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的圖象恒過定點；(2)由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域即可證得題中的結(jié)論.試題解析：（1）解：∵當(dāng)時，，說明的圖象恒過點.（2）證明：∵過，∴，∴，∵分別為上的增函數(shù)和減函數(shù)，∴為上的增函數(shù)，∴在上至多有一個零點，又，∴在上至多有一個零點，而，，∴在上有唯一解.20、（1）①；②17，理由見解析；（2）.【解題分析】

（1）①利用頻率分布直方圖能求出月銷售額在，內(nèi)的頻率．②若的推銷員能完成月銷售額目標(biāo)，則意味著的推銷員不能完成該目標(biāo)．根據(jù)頻率分布直方圖知，，和，兩組頻率之和為0.18，由此能求出月銷售額目標(biāo)應(yīng)確定的標(biāo)準(zhǔn)．（2）根據(jù)直方圖可知，銷售額為，和，的頻率之和為0.08，由可知待選的推銷員一共有4人，設(shè)這4人分別為，，，，利用列舉法能求出選定的推銷員來自同一個小組的概率．【題目詳解】解：（1）①月銷售額在小組內(nèi)的頻率為.②若要使70%的推銷員能完成月銷售額目標(biāo)，則意味著30%的推銷員不能完成該目標(biāo).根據(jù)題圖所示的頻率分布直方圖知，和兩組的頻率之和為0.18，故估計月銷售額目標(biāo)應(yīng)定2為（萬元）.（2）根據(jù)直方圖可知，月銷售額為和的頻率之和為0.08，由可知待選的推銷員一共有4人.設(shè)這4人分別為，則不同的選擇為，一共有6種情況，每一種情況都是等可能的，而2人來自同一組的情況有2