巖石力學(xué)第5章 巖體的本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論課件

第5章巖體的本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論第5章巖體的本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論1§5.1彈性體的本構(gòu)關(guān)系1、空間問題2、平面應(yīng)力問題3、平面應(yīng)變問題§5.1彈性體的本構(gòu)關(guān)系1、空間問題2、平面應(yīng)力問題3、2

材料進(jìn)入塑性后的特點(diǎn)：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系非線性、非一一對應(yīng)性；應(yīng)變與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，還與變形歷史有關(guān)?？紤]變形歷史，研究應(yīng)力和應(yīng)變增量的關(guān)系增量理論。1、基本假定：應(yīng)變偏量增量與應(yīng)力偏量成正比材料不可壓縮材料是理想剛塑性材料滿足Mises屈服條件2、應(yīng)變增量的Lode參數(shù)與形式指數(shù)⑴Lode試驗(yàn)

Lode參數(shù)代表Mohr圓心的相對位置§5.2塑性體本構(gòu)關(guān)系類似地材料進(jìn)入塑性后的特點(diǎn)：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系非線性、非3應(yīng)力空間的概念Haigh-Westgaard應(yīng)力空間等效應(yīng)力應(yīng)力形式指數(shù)（應(yīng)力狀態(tài)特征角）在π平面上，等效應(yīng)力σi與最大主應(yīng)力σ１投影方向1的夾角σ1σ2σ3O123應(yīng)力空間的概念σ1σ2σ3O1234⑵、應(yīng)力Lode參數(shù)與應(yīng)變增量Lode參數(shù)的關(guān)系

對于一系列的應(yīng)力和應(yīng)變增量，可求出相應(yīng)的Lode參數(shù)試驗(yàn)得出結(jié)論

⑶、應(yīng)力形式指數(shù)與應(yīng)變增量形式指數(shù)的關(guān)系μσμdεωσσ1σ2σ3e1e3e2ωdεμσμdεωσσ1σ2σ3e1e3e2ωdε53、Levy-Mises本構(gòu)方程因?yàn)棣?=0，所以eij=εij，εij=ε0δij+eij⑴應(yīng)變偏量的增量與應(yīng)力偏量的關(guān)系由假定⑴，并參照Page57和Page21⑵材料符合Mises準(zhǔn)則，由假定⑶巖石力學(xué)第5章巖體的本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論課件6⑶在非主應(yīng)力的情況下

應(yīng)變增量的主軸與應(yīng)力增量的主軸是重合的且ex=εx，ey=εy

上式即為Levy-Mises本構(gòu)關(guān)系

討論：

①已知三個正應(yīng)力，可求出其正應(yīng)力的偏量（Page30)

因而可求出應(yīng)變偏量增量之間的比值，還不能求出其具體值②如果已知主軸方向應(yīng)變偏量的增量，可以求相應(yīng)方向應(yīng)力偏量③若再給出平均應(yīng)力σ0，則可求出三個主應(yīng)力④適用條件：彈性變形可忽略的金屬加工中。巖石力學(xué)第5章巖體的本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論課件74、Prandtl-Reuss本構(gòu)方程總應(yīng)變等于彈性與塑性應(yīng)變之和，其增量表示為展開以后：

Mises屈服條件變換形式（※）4、Prandtl-Reuss本構(gòu)方程（※）8

將上式改寫成如下形式等式兩邊取微分

sx、sy、sz分別乘以（※）式左三式

τxy、τyz、τzx分別乘以（※）式右三式得出六式后相加得出六式后相加9

令上式=dw

于是可得Prandtl-Reuss本構(gòu)方程例題，Page103例題，Page103105、Hencky-伊柳辛理論⑴應(yīng)變增量成比例增長

Hencky提出，伊柳辛完善之

dε1:dε2:dε3=c1:c2:c3

因而有積分得利用初始條件確定積分常數(shù)當(dāng)ε1=0，則ε2=ε3=0

所以D1=D3=0

所以5、Hencky-伊柳辛理論11

應(yīng)變強(qiáng)度表達(dá)式為（等效應(yīng)變）增量形式上式積分后得根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)D

ε1=ε2=ε3=0時，εi=0,因而D=0

比例變形的結(jié)果：應(yīng)變強(qiáng)度表達(dá)式為（等效應(yīng)變）12⑵各應(yīng)力分量按比例加載（成比例變形時的必要條件）

Prandtl-Reuss本構(gòu)方程變?yōu)榉e分后得

將代入上式⑵各應(yīng)力分量按比例加載13

因而得令所以：這就是Hencky本構(gòu)方程，它包括了彈性變形與塑性變形因而得令所以：這就是Hencky本構(gòu)方程，它包括了14⑶應(yīng)變偏量與應(yīng)力偏量成比例

主應(yīng)力、主應(yīng)變偏量關(guān)系

應(yīng)變強(qiáng)度（參見公式（1-29）page20）

所以有⑶應(yīng)變偏量與應(yīng)力偏量成比例15

伊柳辛理論可以寫成（彈塑性共有）

彈性部分塑性部分（總應(yīng)變偏量與彈性應(yīng)變偏量之差）式中關(guān)鍵是等效應(yīng)變與等效應(yīng)力的比值伊柳辛理論可以寫成（彈塑性共有）塑性部分（總應(yīng)變偏量16⑷形變理論應(yīng)滿足的條件加載應(yīng)為單調(diào)增加，盡量不中斷，更不能卸載材料是不可壓縮的應(yīng)力應(yīng)變曲線具有冪化形式小變形（彈性與塑性變形為同一量級）⑸Davis-儒柯夫試驗(yàn)試驗(yàn)材料—銅材拉力與內(nèi)壓比值k不同（同一試件k為常數(shù)）做出σi～εi曲線結(jié)論：類似單軸簡單加載

E’超過彈性極限后的比例系數(shù)例題：1～4，page113～118⑷形變理論應(yīng)滿足的條件17§5.3粘性體的本構(gòu)關(guān)系5.3.1巖石的蠕變曲線及其特征一、流變的概念巖石的流變性是指巖石應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系隨時間而變化的性質(zhì)。兩種特殊形式蠕變應(yīng)力松弛蠕變現(xiàn)象——應(yīng)力保持恒定，應(yīng)變隨時間而增大。松弛現(xiàn)象——應(yīng)變保持恒定，應(yīng)力隨時間而逐漸減小彈性后效——加載或卸載，彈性應(yīng)變滯后于應(yīng)力的現(xiàn)象§5.3粘性體的本構(gòu)關(guān)系5.3.1巖石的蠕變曲線及其18

二、巖石的蠕變性能1、巖石的蠕變特性通常用蠕變曲線（ε-t曲線）表示巖石的蠕變特性。二、巖石的蠕變性能1、巖石的蠕變特性19（1）穩(wěn)定蠕變：巖石在較小的恒定力作用下，變形隨時間增加到一定程度后就趨于穩(wěn)定，不再隨時間增加而變化，應(yīng)變保持為一個常數(shù)。穩(wěn)定蠕變一般不會導(dǎo)致巖體整體失穩(wěn)。（2）非穩(wěn)定蠕變：巖石承受的恒定荷載較大，當(dāng)巖石應(yīng)力超過某一臨界值時，變形隨時間增加而增大，其變形速率逐漸增大，最終導(dǎo)致巖體整體失穩(wěn)破壞。（3）巖石的長期強(qiáng)度：巖石的蠕變形式取決于巖石應(yīng)力大小，當(dāng)應(yīng)力小于某一臨界值時，巖石產(chǎn)生穩(wěn)定蠕變；當(dāng)應(yīng)力大于該值時，巖石產(chǎn)生非穩(wěn)定蠕變。則將該臨界應(yīng)力稱為巖石的長期強(qiáng)度。（1）穩(wěn)定蠕變：巖石在較小的恒定力作用下，變形隨時間增加到一202、巖石的典型蠕變曲線及其特征典型的蠕變曲線可分為4個階段：

(1)瞬時彈性變形階段（OA）：

(2)一次蠕變階段（AB）：（瞬態(tài)蠕變段）

(3)二次蠕變階段（BC）：（等速或穩(wěn)定蠕變段）

(4)三次蠕變階段（CD）：（加速蠕變段）

蠕變變形總量：ε=ε0+ε1(t)+ε2(t)+ε3(t)式中：ε0瞬時彈性應(yīng)變；ε1(t)，ε2(t)，ε3(t)與時間有關(guān)的一、二、三次蠕變εv粘塑性應(yīng)變，εQ粘彈性應(yīng)變。2、巖石的典型蠕變曲線及其特征典型的蠕變曲線可分為4個階段：213、巖石的蠕變曲線類型類型1：穩(wěn)定蠕變。曲線包含瞬時彈性變形、瞬態(tài)蠕變和穩(wěn)定蠕變3個階段（壓應(yīng)力10MPa，12.5MPa）類型2：典型蠕變。曲線包含4個階段（壓應(yīng)力15MPa，18.1MPa）類型3：加速蠕變。曲線幾乎無穩(wěn)定蠕變階段，應(yīng)變率很高（壓應(yīng)力20.5MPa，25MPa）3、巖石的蠕變曲線類型類型1：穩(wěn)定蠕變。曲線包含瞬時彈性變225.3.2巖石的流變模型

巖石的流變本構(gòu)模型：用于描述巖石應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系隨時間變化的規(guī)律。它是通過試驗(yàn)－理論－應(yīng)用證實(shí)而得到的。

本構(gòu)模型分類：

經(jīng)驗(yàn)公式模型：根據(jù)不同試驗(yàn)條件及不同巖石種類求得的數(shù)學(xué)表達(dá)式，通常采用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的形式表達(dá)。組合模型：將巖石抽象成一系列簡單元件（彈簧、阻尼器、摩擦塊），將其組合來模擬巖石的流變特性而建立的本構(gòu)方程。(屬于物理模型，亦屬于微分模型)積分模型：是在考慮施加的應(yīng)力不是一個常數(shù)時的更一般的情況下，采用積分的形式表示應(yīng)力－應(yīng)變－時間關(guān)系的本構(gòu)方程。5.3.2巖石的流變模型巖石的流變本構(gòu)模型：用23一、經(jīng)驗(yàn)公式模型

1、冪函數(shù)型

：

式中：A、n：經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，取決于應(yīng)力水平、材料特性及溫度條件。

2、對數(shù)型

：

式中：ε

e

為瞬時彈性應(yīng)變；B，D取決于應(yīng)力性質(zhì)及水平3、指數(shù)型

：

式中：A為試驗(yàn)常數(shù)，f(t)是時間t的函數(shù)。一、經(jīng)驗(yàn)公式模型1、冪函數(shù)型：式中：A、n：經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，24二、組合模型（一）流變模型元件1、彈性介質(zhì)及彈性元件（虎克體）

：

彈性介質(zhì)性質(zhì)：

①具有瞬時變形性質(zhì)②ε＝常數(shù)，則σ保持不變，故無應(yīng)力松弛性質(zhì)

③σ＝常數(shù)，則ε也保持不變，故無蠕變性質(zhì)④σ＝0（卸載），則ε＝0，無彈性后效。可見，σ、ε與時間t無關(guān)。二、組合模型（一）流變模型元件彈性介質(zhì)性質(zhì)：252、粘性介質(zhì)及粘性元件（牛頓體）

加載瞬間，無變形即當(dāng)t=0時,σ=σ0,ε=0,則

c=0粘性介質(zhì)性質(zhì)：

（1）當(dāng)σ＝σ0時，說明在受應(yīng)力σ0作用，要產(chǎn)生相應(yīng)的變形必須經(jīng)過時間t，無瞬時變形，粘性元件具有蠕變性質(zhì)；（2）σ＝0（卸載），則ε＝常數(shù)，故無彈性后效，有永久變形。（3）ε＝常數(shù)，則σ＝0，粘性元件不受力，故無應(yīng)力松弛性質(zhì)。2.3巖石的流變性2、粘性介質(zhì)及粘性元件（牛頓體）加載瞬間，無變形粘性介質(zhì)性263、塑性介質(zhì)及塑性元件（圣維南體）

當(dāng):σ＜σs

，ε=0σ≥σs,ε→∞

可模擬剛塑性體的變形性質(zhì)3、塑性介質(zhì)及塑性元件（圣維南體）當(dāng):σ＜σs，ε=27

牛頓體具有粘性流動的特點(diǎn)。塑性元件具有剛塑性體變形（塑性變形也稱塑性流動）的特點(diǎn)。

粘性流動：只要有微小的力就會發(fā)生流動。

塑性流動：只有當(dāng)應(yīng)力σ達(dá)到或超過屈服極限σs才會產(chǎn)生變形。

粘彈性體：研究應(yīng)力小于屈服極限時的應(yīng)力、應(yīng)變與時間的關(guān)系；

粘彈塑性體：研究應(yīng)力大于屈服極限時的應(yīng)力、應(yīng)變與時間的關(guān)系；

牛頓體具有粘性流動的特點(diǎn)。塑性元件具有剛塑性28（二）、巖石的組合流變模型

1、彈塑性介質(zhì)模型當(dāng):σ＜σs

，σ=σs,σ保持不變，ε持續(xù)增大，→∞。（二）、巖石的組合流變模型1、彈塑性介質(zhì)模型當(dāng):σ＜σs292、馬克斯威爾模型（Maxwell）

該模型由彈性元件和粘性元件串聯(lián)而成，可模擬變形隨時間增長而無限增大的力學(xué)介質(zhì)。

設(shè)彈簧和粘性元件的應(yīng)力、應(yīng)變分別為σ1,ε1和σ2,ε2，組合模型的總應(yīng)力為σ和ε。彈簧:由(b):粘性元件:則σ＝σ1＝σ2，(a)ε＝ε1＋ε2(b)Maxwell模型本構(gòu)方程2、馬克斯威爾模型（Maxwell）該模型由彈性元件30馬克斯威爾模型本構(gòu)方程：⑴

蠕變曲線：當(dāng)σ保持不變，即σ＝

σ0＝常數(shù)，dσ/dt=0,代入上式得：

通解為：

初始條件：（加載瞬間）

得：c=ε0

蠕變方程：2.3巖石的流變性馬克斯威爾模型本構(gòu)方程：⑴蠕變曲線：當(dāng)σ保持不變，31馬克斯威爾模型本構(gòu)方程：⑵

卸載曲線：當(dāng)t=t1時卸載，彈性變形ε0立即恢復(fù)，則卸載曲線為：這是不可恢復(fù)的塑性變形。蠕變方程：馬克斯威爾模型本構(gòu)方程：⑵卸載曲線：當(dāng)t=t1時卸載，彈性32⑶、松弛曲線：當(dāng)ε保持不變，即ε＝ε0＝常數(shù)，dε/dt=0,代入上式得：

通解為：

初始條件：

得：c=lnσ0

松弛方程：馬克斯威爾模型本構(gòu)方程：⑶、松弛曲線：當(dāng)ε保持不變，通解為：初始條33可見：馬克斯威爾模型具有瞬時變形、蠕變和松弛的性質(zhì)，可模擬變形隨時間增長而無限增大的力學(xué)介質(zhì)?？梢姡厚R克斯威爾模型具有瞬時變形、蠕變和松弛的性質(zhì)，可模擬變343、開爾文（Kelvin）模型

該模型由彈性元件和粘性元件并聯(lián)而成，可模擬變形隨時間增長而無限增大的力學(xué)介質(zhì)。設(shè)彈簧和阻尼元件的應(yīng)力、應(yīng)變分別為σ1、ε1和σ2、ε2，組合模型的總應(yīng)力為σ和ε。彈簧:由(a):阻尼元件:則σ＝σ1+σ2，(a)ε＝ε1=ε2(b)Kelvin模型本構(gòu)方程(c)(d)3、開爾文（Kelvin）模型彈簧:35開爾文模型本構(gòu)方程：⑴、蠕變曲線：當(dāng)σ保持不變，即σ＝

σ0＝常數(shù)，代入上式得：

通解為：

初始條件：加載瞬間，粘性元件不變形，即

得：

蠕變方程：開爾文模型本構(gòu)方程：⑴、蠕變曲線：當(dāng)σ保持不變，36可見：當(dāng)t=0時,ε=0，當(dāng)t→∞時，ε＝ε0＝σ0/E,即彈性變形(彈性后效）

(d)蠕變方程凱爾文模型能模擬穩(wěn)定蠕變，不能模擬瞬時彈性變形。2.3巖石的流變性可見：當(dāng)t=0時,ε=0，(d)蠕變方程37若在t＝t1時卸載，σ＝0，由本構(gòu)方程：⑵、卸載曲線方程得：

通解為：若在t＝t1時卸載，σ＝0，⑵、卸載曲線方程38

得卸載方程：

當(dāng)卸載瞬間t=t1時,ε=εt1，當(dāng)t→∞時，ε＝0,即卸載后，變形慢慢恢復(fù)到0（后效）

通解為：

初始條件：

得:得卸載方程：當(dāng)卸載瞬間t=t1時,ε=εt39開爾文模型本構(gòu)方程：⑶、松弛曲線：當(dāng)ε保持不變，即ε＝ε0＝常數(shù)，dε/dt=0,代入上式得：

可見，應(yīng)力最終由彈簧承擔(dān)后，應(yīng)變就停止發(fā)展了。該模型反映了彈性后效現(xiàn)象和穩(wěn)定蠕變性質(zhì)。開爾文模型是一種粘彈性模型。開爾文模型本構(gòu)方程：⑶、松弛曲線：當(dāng)ε保持不變，40(三）模型識別與參數(shù)的確定1、模型識別模型識別即根據(jù)流變試驗(yàn)曲線確定用何種組合流變模型來模擬這種巖石的流變特征。蠕變曲線有瞬時彈性應(yīng)變段——模型中則應(yīng)有彈性元件蠕變曲線在瞬時彈性變形之后應(yīng)變隨時間發(fā)展——模型中則應(yīng)有粘性元件如果隨時間發(fā)展的應(yīng)變能夠恢復(fù)——彈性元件與粘性元件并聯(lián)組合如果巖石具有應(yīng)力松弛特征——彈性元件與粘性元件串聯(lián)組合如果松弛是不完全松弛（應(yīng)力減小至σs）——模型中應(yīng)有塑性元件（賓漢模型）(三）模型識別與參數(shù)的確定1、模型識別412、模型參數(shù)的確定

模型參數(shù)的確定一般要通過數(shù)值計(jì)算進(jìn)行，對于簡單模型，可用試驗(yàn)數(shù)據(jù)直接確定模型參數(shù)。例：馬克斯威爾模型有兩個參數(shù)E和η。E可由瞬時彈性應(yīng)變求出：式中：σo蠕變試驗(yàn)所施加的常應(yīng)力

εo是瞬時彈性應(yīng)變。2、模型參數(shù)的確定模型參數(shù)的確定一般要通過數(shù)值計(jì)算進(jìn)42

馬克斯威爾模型蠕變方程

在曲線上任取一點(diǎn)（t1>0),可求得粘性系數(shù)η：馬克斯威爾模型蠕變方程在曲線上任取一點(diǎn)（t143§5.4

巖石的強(qiáng)度理論

強(qiáng)度理論:

研究巖體破壞原因和破壞條件的理論。

強(qiáng)度準(zhǔn)則:

在外荷載作用下巖石發(fā)生破壞時，其應(yīng)力（應(yīng)變）所必須滿足的條件。強(qiáng)度準(zhǔn)則也稱破壞準(zhǔn)則或破壞判據(jù)?！?.4巖石的強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論:強(qiáng)度準(zhǔn)則:44一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1、應(yīng)力符號規(guī)定（1）正應(yīng)力以壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)；（2）剪應(yīng)力以使物體產(chǎn)生逆時針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)；（3）角度以x軸正向沿逆時針方向轉(zhuǎn)動所形成的夾角為正，反之為負(fù)。2、一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)6個應(yīng)力分量：σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx§5.4

巖石的強(qiáng)度理論一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1、應(yīng)力符號規(guī)定6個應(yīng)力分量：σx,453、平面問題的簡化

在實(shí)際工程中，可根據(jù)不同的受力狀態(tài)，將三維問題簡化為平面問題。（1）平面應(yīng)力問題；（2）平面應(yīng)變問題。4、基本應(yīng)力公式以平面應(yīng)力問題為例，如圖，任意角度α截面的應(yīng)力計(jì)算公式如下：§5.4

巖石的強(qiáng)度理論3、平面問題的簡化在實(shí)際工程中，可根據(jù)不同的受力狀態(tài)，將46

最大最小主應(yīng)力：

最大主應(yīng)力與x軸的夾角θ可按下式求得：

任一斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力用主應(yīng)力表示為：

莫爾應(yīng)力圓的方程：OsntnC2θ0A1s'B1s"2θ

(sn,tn)ED'(sy,tyx)BAD(sx,txy)§5.4

巖石的強(qiáng)度理論最大最小主應(yīng)力：最大主應(yīng)力與x軸的夾角θ可按下式求47二、最大拉應(yīng)變理論基本觀點(diǎn)：無論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，只要巖石的最大拉伸應(yīng)變ε達(dá)到一定的極限應(yīng)變εt時，巖石就會發(fā)生拉伸斷裂破壞式中：εt

——單軸拉伸破壞時的極限應(yīng)變；E——巖石的彈性模量；

σt——單軸抗拉強(qiáng)度。強(qiáng)度條件為：§5.4

巖石的強(qiáng)度理論二、最大拉應(yīng)變理論基本觀點(diǎn)：無論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，只要巖石的48討論：

1、在單軸拉伸條件下：巖石發(fā)生拉伸斷裂破壞，其強(qiáng)度條件為：

2、在單軸壓縮條件下：巖石發(fā)生沿縱向拉伸斷裂破壞，其強(qiáng)度條件為：

即：§5.4

巖石的強(qiáng)度理論討論：1、在單軸拉伸條件下：巖石發(fā)生拉伸斷裂破壞，其強(qiáng)度條493、在三軸壓縮條件下：σ3方向的應(yīng)變?yōu)?/p>

如果σ3＜(σ1+σ2),則為拉應(yīng)變，其強(qiáng)度條件為

而：

故，強(qiáng)度條件又可表示為：

在常規(guī)三軸條件下（σ3＝σ2）強(qiáng)度條件為：§5.4

巖石的強(qiáng)度理論3、在三軸壓縮條件下：σ3方向的應(yīng)變?yōu)槿绻?＜(σ150三、庫倫（Coulomb)準(zhǔn)則基本觀點(diǎn)：材料破壞主要是剪切破壞，當(dāng)材料某一斜面上的剪應(yīng)力達(dá)到或超過該破壞面上的粘結(jié)力和摩擦阻力之和，便會沿該斜面產(chǎn)生剪切滑移破壞。[1773年庫倫提出（“摩擦”準(zhǔn)則）]式中：

τf—材料剪切面上抗剪強(qiáng)度；

C—材料的粘結(jié)力；

σ—剪切面上的正應(yīng)力。討論：庫侖準(zhǔn)則的應(yīng)用局限性§5.4

巖石的強(qiáng)度理論三、庫倫（Coulomb)準(zhǔn)則基本觀點(diǎn)：材料破壞主要是剪切破51四、莫爾（Mohr）強(qiáng)度準(zhǔn)則基本觀點(diǎn)：材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，某一斜面上的剪應(yīng)力達(dá)到一極限值，造成材料沿該斜面產(chǎn)生剪切滑移破壞，且破壞面平行于中間主應(yīng)力σ2作用方向。莫爾準(zhǔn)則的強(qiáng)度曲線是一系列極限應(yīng)力莫爾圓的公切線。莫爾準(zhǔn)則強(qiáng)度曲線，分為直線型強(qiáng)度曲線和曲線型強(qiáng)度曲線。曲線型強(qiáng)度曲線又分為二次拋物線、雙曲線和擺線型等。

此理論由莫爾（Mohr）于1910年提出，材料的破壞是剪切破壞，其理論是建立在試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析基礎(chǔ)之上?！?.4

巖石的強(qiáng)度理論四、莫爾（Mohr）強(qiáng)度準(zhǔn)則基本觀點(diǎn)：材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，52§5.4

巖石的強(qiáng)度理論1、直線型包絡(luò)線強(qiáng)度曲線為直線型極限莫爾應(yīng)力圓與直線的關(guān)系§5.4巖石的強(qiáng)度理論1、直線型包絡(luò)線強(qiáng)度曲線為532、二次拋物線型包絡(luò)線設(shè)二次拋物線方程如圖可知§5.4

巖石的強(qiáng)度理論適用泥巖、頁巖泥灰?guī)r等較軟巖石2、二次拋物線型包絡(luò)線設(shè)二次拋物線方程§5.4巖石54

確定待定系數(shù)n

當(dāng)為單軸壓縮問題時，σ3

=0，σ1=σc則上式變?yōu)槔们蟾角蠼猓?/p>

φ1為包絡(luò)線漸進(jìn)線的傾角§5.4

巖石的強(qiáng)度理論3、雙曲線型包絡(luò)線適用：砂巖、灰?guī)r、花崗巖等堅(jiān)硬或較堅(jiān)硬巖石§5.4巖石的強(qiáng)度理論3、雙曲線型包絡(luò)線適用：砂巖、灰?guī)r55五、庫侖-莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則莫爾直線型極限應(yīng)力圓包絡(luò)線，極為庫侖強(qiáng)度曲線1.破壞面上剪應(yīng)力與正應(yīng)力的關(guān)系破壞面上的剪應(yīng)力τf是該面上正應(yīng)力σ的函數(shù)，即：

τf＝f(σ)

直線方程：§5.4

巖石的強(qiáng)度理論五、庫侖-莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則莫爾直線型極限應(yīng)力圓包絡(luò)線，極為庫侖強(qiáng)56莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線的意義：包絡(luò)線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)都代表巖石沿某一面剪切破壞所需的剪應(yīng)力和正應(yīng)力。

莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線的應(yīng)用：將應(yīng)力圓與強(qiáng)度曲線放在同一個坐標(biāo)系中，若莫爾應(yīng)力圓在包絡(luò)線之內(nèi)，則巖石不破壞；若莫爾應(yīng)力圓與強(qiáng)度曲線相切，則巖石處于極限平衡狀態(tài)；若莫爾應(yīng)力圓與強(qiáng)度曲線相交，則巖石肯定破壞。

莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線與應(yīng)力圓§5.4

巖石的強(qiáng)度理論莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線的意義：包絡(luò)線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)都代表巖石沿某一面572、莫爾－庫侖強(qiáng)度理論

τf=f(σ)所表達(dá)的是一條曲線，該曲線的型式假設(shè)為直線型。直線型與庫倫準(zhǔn)則表達(dá)式相同，因此也稱為庫倫－莫爾強(qiáng)度理論。用主應(yīng)力表示：

上式也稱為極限平衡方程。

莫爾－庫侖強(qiáng)度理論不適合剪切面上正應(yīng)力為拉應(yīng)力的情況?！?.4

巖石的強(qiáng)度理論2、莫爾－庫侖強(qiáng)度理論τf=f(σ)所表達(dá)的是一條曲58

莫爾－庫侖強(qiáng)度理論另一種表示形式

如圖的幾何關(guān)系，有：

其中：§5.4

巖石的強(qiáng)度理論莫爾－庫侖強(qiáng)度理論另一種表示形式如圖的幾何關(guān)系，有：59六、格里菲斯強(qiáng)度理論（Griffith的脆性斷裂理論）1921年格里菲斯在研究脆性材料的基礎(chǔ)上，提出了評價脆性材料的強(qiáng)度理論。該理論大約在上世紀(jì)70年代末80年代初引入到巖石力學(xué)研究領(lǐng)域?！?.4

巖石的強(qiáng)度理論六、格里菲斯強(qiáng)度理論（Griffith的脆性斷裂理論）60

（1）在脆性材料內(nèi)部存在著許多雜亂無章的扁平微小張開裂紋。在外力作用下，這些裂紋尖端附近產(chǎn)生很大的拉應(yīng)力集中，導(dǎo)致新裂紋產(chǎn)生，原有裂紋擴(kuò)展、貫通，從而使材料產(chǎn)生宏觀破壞。1、格里菲斯強(qiáng)度理論的基本思想：

§5.4

巖石的強(qiáng)度理論（1）在脆性材料內(nèi)部存在著許多雜亂無章的扁平微小張開裂紋61

（2）裂紋將沿著與最大拉應(yīng)力作用方向相垂直的方向擴(kuò)展。式中：γ——新裂紋長軸與原裂紋長軸的夾角；

β——原裂紋長軸與最大主應(yīng)力的夾角?！?.4

巖石的強(qiáng)度理論（2）裂紋將沿著與最大拉應(yīng)力作用方向相垂直的方向擴(kuò)展。式中622、格里菲斯強(qiáng)度判據(jù)

根據(jù)橢圓孔應(yīng)力狀態(tài)的解析解，得出了格里菲斯的強(qiáng)度判據(jù)：（1）破裂條件為：危險裂紋方位角：（2）破裂條件為：危險裂紋方位角：

如果應(yīng)力點(diǎn)（σ1,σ3)落在強(qiáng)度曲線上或曲線左邊，則巖石發(fā)生破壞，否則不破壞。

§5.4

巖石的強(qiáng)度理論2、格里菲斯強(qiáng)度判據(jù)根據(jù)橢圓孔應(yīng)力狀態(tài)的解析解，得出了63討論：（1）單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下σ1=0,σ3＜0,滿足σ1+3σ3≤0,

破裂條件為：

危險裂紋方位角：破裂條件為：危險裂紋方位角：（2）雙向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下σ1＜0,σ3＜0,滿足σ1+3σ3

＜0,

§5.4

巖石的強(qiáng)度理論討論：（1）單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下σ1=0,σ3＜0,64（3）單軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)下σ1＞0,σ3=0,

滿足σ1+3σ3

＞0

破裂條件為：

危險裂紋方位角：

破裂條件為：

危險裂紋方位角：（4）雙向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下β=±π/6

σ1＞0,σ3＞0,

滿足σ1+3σ3

＞00

＜β＜π/4β§5.4

巖石的強(qiáng)度理論（3）單軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)下σ1＞0,σ3=0,滿653、修正的格里菲斯強(qiáng)度判據(jù)

1962年，麥克.克林脫克等人認(rèn)為，當(dāng)應(yīng)力σy達(dá)到某一臨界值時，裂紋便閉合，在裂紋表面產(chǎn)生法向應(yīng)力和摩擦力，影響新裂紋的發(fā)生和發(fā)展。這種摩擦力恰恰是于是格里菲斯斷裂理論沒有考慮到的。因此對原始的格里菲斯理論進(jìn)行了修正。修正的格里菲斯準(zhǔn)則為：

式中f為裂紋面間的摩擦系數(shù)。

§5.4

巖石的強(qiáng)度理論3、修正的格里菲斯強(qiáng)度判據(jù)1962年，麥克.克林脫克66六、巖石的屈服準(zhǔn)則

屈服準(zhǔn)則是判斷某一點(diǎn)的應(yīng)力是否進(jìn)入塑性狀態(tài)的判斷準(zhǔn)則。1、屈列斯卡（Tresca）準(zhǔn)則

基本觀點(diǎn)：當(dāng)最大剪應(yīng)達(dá)到某一數(shù)值時，巖石開始屈服，進(jìn)入塑性狀態(tài)。該準(zhǔn)則是Tresca于1864年提出的。屈列斯卡準(zhǔn)則在金屬材料中應(yīng)用很廣。其表達(dá)式為

或：式中：K為與巖石性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)?？捎蓡蜗驊?yīng)力狀態(tài)試驗(yàn)求得?！?.4

巖石的強(qiáng)度理論六、巖石的屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則是判斷某一點(diǎn)的應(yīng)力是否進(jìn)入67

在一般情況下，即σ1，σ2，σ3大小無法確定排序，則下列表示的最大剪應(yīng)力的六個條件中任何一個成立時，巖石就開始屈服

或?qū)懗桑菏街校篕通過單軸試驗(yàn)確定，或Tresca準(zhǔn)則不考慮中間主應(yīng)力的影響。應(yīng)力空間表示形式為第一掛限等傾六棱柱面σ1σ2σ3§5.4

巖石的強(qiáng)度理論在一般情況下，即σ1，σ2，σ3大小無法確定排序，則682、米賽斯（Mises）屈服準(zhǔn)則

或：

應(yīng)力空間表示：圓柱面

Mises準(zhǔn)則考慮了中間主應(yīng)力的影響。

σ1σ2σ3基本觀點(diǎn)：當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度達(dá)到某一數(shù)值時，巖石開始屈服，進(jìn)入塑性狀態(tài)。其表達(dá)式為§5.4

巖石的強(qiáng)度理論2、米賽斯（Mises）屈服準(zhǔn)則或：應(yīng)力空69七、德魯克－普拉格（Drucker-Prager）屈服準(zhǔn)則

德魯克－普拉格（Drucker-Prager）屈服準(zhǔn)則是德魯克－普拉格于1952年提出的，在Mohr-Coulomb準(zhǔn)則和Mises準(zhǔn)則基礎(chǔ)上的擴(kuò)展和推廣而得:式中：

α、K--為僅與巖石內(nèi)摩擦角φ和粘結(jié)力c有關(guān)的試驗(yàn)常數(shù)。為應(yīng)力第一不變量；為應(yīng)力偏量第二不變量；§5.4

巖石的強(qiáng)度理論七、德魯克－普拉格（Drucker-Prager）屈服準(zhǔn)則70

德魯克－普拉格（Drucker-Prager）屈服準(zhǔn)則考慮了中間主應(yīng)力的影響，又考慮了靜水壓力（平均應(yīng)力σm）的作用，克服了Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的主要弱點(diǎn)，可解釋巖土材料在靜水壓力下也能屈服和破壞的現(xiàn)象。該準(zhǔn)則已在國內(nèi)外巖土力學(xué)與工程的數(shù)值計(jì)算分析中獲得廣泛的應(yīng)用。§5.4

巖石的強(qiáng)度理論德魯克－普拉格（Drucker-Prager）屈服準(zhǔn)71§5.4

巖石的強(qiáng)度理論§5.4巖石的強(qiáng)度理論72第5章巖體的本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論第5章巖體的本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論73§5.1彈性體的本構(gòu)關(guān)系1、空間問題2、平面應(yīng)力問題3、平面應(yīng)變問題§5.1彈性體的本構(gòu)關(guān)系1、空間問題2、平面應(yīng)力問題3、74

材料進(jìn)入塑性后的特點(diǎn)：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系非線性、非一一對應(yīng)性；應(yīng)變與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，還與變形歷史有關(guān)?？紤]變形歷史，研究應(yīng)力和應(yīng)變增量的關(guān)系增量理論。1、基本假定：應(yīng)變偏量增量與應(yīng)力偏量成正比材料不可壓縮材料是理想剛塑性材料滿足Mises屈服條件2、應(yīng)變增量的Lode參數(shù)與形式指數(shù)⑴Lode試驗(yàn)

Lode參數(shù)代表Mohr圓心的相對位置§5.2塑性體本構(gòu)關(guān)系類似地材料進(jìn)入塑性后的特點(diǎn)：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系非線性、非75應(yīng)力空間的概念Haigh-Westgaard應(yīng)力空間等效應(yīng)力應(yīng)力形式指數(shù)（應(yīng)力狀態(tài)特征角）在π平面上，等效應(yīng)力σi與最大主應(yīng)力σ１投影方向1的夾角σ1σ2σ3O123應(yīng)力空間的概念σ1σ2σ3O12376⑵、應(yīng)力Lode參數(shù)與應(yīng)變增量Lode參數(shù)的關(guān)系

對于一系列的應(yīng)力和應(yīng)變增量，可求出相應(yīng)的Lode參數(shù)試驗(yàn)得出結(jié)論

⑶、應(yīng)力形式指數(shù)與應(yīng)變增量形式指數(shù)的關(guān)系μσμdεωσσ1σ2σ3e1e3e2ωdεμσμdεωσσ1σ2σ3e1e3e2ωdε773、Levy-Mises本構(gòu)方程因?yàn)棣?=0，所以eij=εij，εij=ε0δij+eij⑴應(yīng)變偏量的增量與應(yīng)力偏量的關(guān)系由假定⑴，并參照Page57和Page21⑵材料符合Mises準(zhǔn)則，由假定⑶巖石力學(xué)第5章巖體的本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論課件78⑶在非主應(yīng)力的情況下

應(yīng)變增量的主軸與應(yīng)力增量的主軸是重合的且ex=εx，ey=εy

上式即為Levy-Mises本構(gòu)關(guān)系

討論：

①已知三個正應(yīng)力，可求出其正應(yīng)力的偏量（Page30)

因而可求出應(yīng)變偏量增量之間的比值，還不能求出其具體值②如果已知主軸方向應(yīng)變偏量的增量，可以求相應(yīng)方向應(yīng)力偏量③若再給出平均應(yīng)力σ0，則可求出三個主應(yīng)力④適用條件：彈性變形可忽略的金屬加工中。巖石力學(xué)第5章巖體的本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論課件794、Prandtl-Reuss本構(gòu)方程總應(yīng)變等于彈性與塑性應(yīng)變之和，其增量表示為展開以后：

Mises屈服條件變換形式（※）4、Prandtl-Reuss本構(gòu)方程（※）80

將上式改寫成如下形式等式兩邊取微分

sx、sy、sz分別乘以（※）式左三式

τxy、τyz、τzx分別乘以（※）式右三式得出六式后相加得出六式后相加81

令上式=dw

于是可得Prandtl-Reuss本構(gòu)方程例題，Page103例題，Page103825、Hencky-伊柳辛理論⑴應(yīng)變增量成比例增長

Hencky提出，伊柳辛完善之

dε1:dε2:dε3=c1:c2:c3

因而有積分得利用初始條件確定積分常數(shù)當(dāng)ε1=0，則ε2=ε3=0

所以D1=D3=0

所以5、Hencky-伊柳辛理論83

應(yīng)變強(qiáng)度表達(dá)式為（等效應(yīng)變）增量形式上式積分后得根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)D

ε1=ε2=ε3=0時，εi=0,因而D=0

比例變形的結(jié)果：應(yīng)變強(qiáng)度表達(dá)式為（等效應(yīng)變）84⑵各應(yīng)力分量按比例加載（成比例變形時的必要條件）

Prandtl-Reuss本構(gòu)方程變?yōu)榉e分后得

將代入上式⑵各應(yīng)力分量按比例加載85

因而得令所以：這就是Hencky本構(gòu)方程，它包括了彈性變形與塑性變形因而得令所以：這就是Hencky本構(gòu)方程，它包括了86⑶應(yīng)變偏量與應(yīng)力偏量成比例

主應(yīng)力、主應(yīng)變偏量關(guān)系

應(yīng)變強(qiáng)度（參見公式（1-29）page20）

所以有⑶應(yīng)變偏量與應(yīng)力偏量成比例87

伊柳辛理論可以寫成（彈塑性共有）

彈性部分塑性部分（總應(yīng)變偏量與彈性應(yīng)變偏量之差）式中關(guān)鍵是等效應(yīng)變與等效應(yīng)力的比值伊柳辛理論可以寫成（彈塑性共有）塑性部分（總應(yīng)變偏量88⑷形變理論應(yīng)滿足的條件加載應(yīng)為單調(diào)增加，盡量不中斷，更不能卸載材料是不可壓縮的應(yīng)力應(yīng)變曲線具有冪化形式小變形（彈性與塑性變形為同一量級）⑸Davis-儒柯夫試驗(yàn)試驗(yàn)材料—銅材拉力與內(nèi)壓比值k不同（同一試件k為常數(shù)）做出σi～εi曲線結(jié)論：類似單軸簡單加載

E’超過彈性極限后的比例系數(shù)例題：1～4，page113～118⑷形變理論應(yīng)滿足的條件89§5.3粘性體的本構(gòu)關(guān)系5.3.1巖石的蠕變曲線及其特征一、流變的概念巖石的流變性是指巖石應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系隨時間而變化的性質(zhì)。兩種特殊形式蠕變應(yīng)力松弛蠕變現(xiàn)象——應(yīng)力保持恒定，應(yīng)變隨時間而增大。松弛現(xiàn)象——應(yīng)變保持恒定，應(yīng)力隨時間而逐漸減小彈性后效——加載或卸載，彈性應(yīng)變滯后于應(yīng)力的現(xiàn)象§5.3粘性體的本構(gòu)關(guān)系5.3.1巖石的蠕變曲線及其90

二、巖石的蠕變性能1、巖石的蠕變特性通常用蠕變曲線（ε-t曲線）表示巖石的蠕變特性。二、巖石的蠕變性能1、巖石的蠕變特性91（1）穩(wěn)定蠕變：巖石在較小的恒定力作用下，變形隨時間增加到一定程度后就趨于穩(wěn)定，不再隨時間增加而變化，應(yīng)變保持為一個常數(shù)。穩(wěn)定蠕變一般不會導(dǎo)致巖體整體失穩(wěn)。（2）非穩(wěn)定蠕變：巖石承受的恒定荷載較大，當(dāng)巖石應(yīng)力超過某一臨界值時，變形隨時間增加而增大，其變形速率逐漸增大，最終導(dǎo)致巖體整體失穩(wěn)破壞。（3）巖石的長期強(qiáng)度：巖石的蠕變形式取決于巖石應(yīng)力大小，當(dāng)應(yīng)力小于某一臨界值時，巖石產(chǎn)生穩(wěn)定蠕變；當(dāng)應(yīng)力大于該值時，巖石產(chǎn)生非穩(wěn)定蠕變。則將該臨界應(yīng)力稱為巖石的長期強(qiáng)度。（1）穩(wěn)定蠕變：巖石在較小的恒定力作用下，變形隨時間增加到一922、巖石的典型蠕變曲線及其特征典型的蠕變曲線可分為4個階段：

(1)瞬時彈性變形階段（OA）：

(2)一次蠕變階段（AB）：（瞬態(tài)蠕變段）

(3)二次蠕變階段（BC）：（等速或穩(wěn)定蠕變段）

(4)三次蠕變階段（CD）：（加速蠕變段）

蠕變變形總量：ε=ε0+ε1(t)+ε2(t)+ε3(t)式中：ε0瞬時彈性應(yīng)變；ε1(t)，ε2(t)，ε3(t)與時間有關(guān)的一、二、三次蠕變εv粘塑性應(yīng)變，εQ粘彈性應(yīng)變。2、巖石的典型蠕變曲線及其特征典型的蠕變曲線可分為4個階段：933、巖石的蠕變曲線類型類型1：穩(wěn)定蠕變。曲線包含瞬時彈性變形、瞬態(tài)蠕變和穩(wěn)定蠕變3個階段（壓應(yīng)力10MPa，12.5MPa）類型2：典型蠕變。曲線包含4個階段（壓應(yīng)力15MPa，18.1MPa）類型3：加速蠕變。曲線幾乎無穩(wěn)定蠕變階段，應(yīng)變率很高（壓應(yīng)力20.5MPa，25MPa）3、巖石的蠕變曲線類型類型1：穩(wěn)定蠕變。曲線包含瞬時彈性變945.3.2巖石的流變模型

巖石的流變本構(gòu)模型：用于描述巖石應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系隨時間變化的規(guī)律。它是通過試驗(yàn)－理論－應(yīng)用證實(shí)而得到的。

本構(gòu)模型分類：

經(jīng)驗(yàn)公式模型：根據(jù)不同試驗(yàn)條件及不同巖石種類求得的數(shù)學(xué)表達(dá)式，通常采用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的形式表達(dá)。組合模型：將巖石抽象成一系列簡單元件（彈簧、阻尼器、摩擦塊），將其組合來模擬巖石的流變特性而建立的本構(gòu)方程。(屬于物理模型，亦屬于微分模型)積分模型：是在考慮施加的應(yīng)力不是一個常數(shù)時的更一般的情況下，采用積分的形式表示應(yīng)力－應(yīng)變－時間關(guān)系的本構(gòu)方程。5.3.2巖石的流變模型巖石的流變本構(gòu)模型：用95一、經(jīng)驗(yàn)公式模型

1、冪函數(shù)型

：

式中：A、n：經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，取決于應(yīng)力水平、材料特性及溫度條件。

2、對數(shù)型

：

式中：ε

e

為瞬時彈性應(yīng)變；B，D取決于應(yīng)力性質(zhì)及水平3、指數(shù)型

：

式中：A為試驗(yàn)常數(shù)，f(t)是時間t的函數(shù)。一、經(jīng)驗(yàn)公式模型1、冪函數(shù)型：式中：A、n：經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，96二、組合模型（一）流變模型元件1、彈性介質(zhì)及彈性元件（虎克體）

：

彈性介質(zhì)性質(zhì)：

①具有瞬時變形性質(zhì)②ε＝常數(shù)，則σ保持不變，故無應(yīng)力松弛性質(zhì)

③σ＝常數(shù)，則ε也保持不變，故無蠕變性質(zhì)④σ＝0（卸載），則ε＝0，無彈性后效?？梢?，σ、ε與時間t無關(guān)。二、組合模型（一）流變模型元件彈性介質(zhì)性質(zhì)：972、粘性介質(zhì)及粘性元件（牛頓體）

加載瞬間，無變形即當(dāng)t=0時,σ=σ0,ε=0,則

c=0粘性介質(zhì)性質(zhì)：

（1）當(dāng)σ＝σ0時，說明在受應(yīng)力σ0作用，要產(chǎn)生相應(yīng)的變形必須經(jīng)過時間t，無瞬時變形，粘性元件具有蠕變性質(zhì)；（2）σ＝0（卸載），則ε＝常數(shù)，故無彈性后效，有永久變形。（3）ε＝常數(shù)，則σ＝0，粘性元件不受力，故無應(yīng)力松弛性質(zhì)。2.3巖石的流變性2、粘性介質(zhì)及粘性元件（牛頓體）加載瞬間，無變形粘性介質(zhì)性983、塑性介質(zhì)及塑性元件（圣維南體）

當(dāng):σ＜σs

，ε=0σ≥σs,ε→∞

可模擬剛塑性體的變形性質(zhì)3、塑性介質(zhì)及塑性元件（圣維南體）當(dāng):σ＜σs，ε=99

牛頓體具有粘性流動的特點(diǎn)。塑性元件具有剛塑性體變形（塑性變形也稱塑性流動）的特點(diǎn)。

粘性流動：只要有微小的力就會發(fā)生流動。

塑性流動：只有當(dāng)應(yīng)力σ達(dá)到或超過屈服極限σs才會產(chǎn)生變形。

粘彈性體：研究應(yīng)力小于屈服極限時的應(yīng)力、應(yīng)變與時間的關(guān)系；

粘彈塑性體：研究應(yīng)力大于屈服極限時的應(yīng)力、應(yīng)變與時間的關(guān)系；

牛頓體具有粘性流動的特點(diǎn)。塑性元件具有剛塑性100（二）、巖石的組合流變模型

1、彈塑性介質(zhì)模型當(dāng):σ＜σs

，σ=σs,σ保持不變，ε持續(xù)增大，→∞。（二）、巖石的組合流變模型1、彈塑性介質(zhì)模型當(dāng):σ＜σs1012、馬克斯威爾模型（Maxwell）

該模型由彈性元件和粘性元件串聯(lián)而成，可模擬變形隨時間增長而無限增大的力學(xué)介質(zhì)。

設(shè)彈簧和粘性元件的應(yīng)力、應(yīng)變分別為σ1,ε1和σ2,ε2，組合模型的總應(yīng)力為σ和ε。彈簧:由(b):粘性元件:則σ＝σ1＝σ2，(a)ε＝ε1＋ε2(b)Maxwell模型本構(gòu)方程2、馬克斯威爾模型（Maxwell）該模型由彈性元件102馬克斯威爾模型本構(gòu)方程：⑴

蠕變曲線：當(dāng)σ保持不變，即σ＝

σ0＝常數(shù)，dσ/dt=0,代入上式得：

通解為：

初始條件：（加載瞬間）

得：c=ε0

蠕變方程：2.3巖石的流變性馬克斯威爾模型本構(gòu)方程：⑴蠕變曲線：當(dāng)σ保持不變，103馬克斯威爾模型本構(gòu)方程：⑵

卸載曲線：當(dāng)t=t1時卸載，彈性變形ε0立即恢復(fù)，則卸載曲線為：這是不可恢復(fù)的塑性變形。蠕變方程：馬克斯威爾模型本構(gòu)方程：⑵卸載曲線：當(dāng)t=t1時卸載，彈性104⑶、松弛曲線：當(dāng)ε保持不變，即ε＝ε0＝常數(shù)，dε/dt=0,代入上式得：

通解為：

初始條件：

得：c=lnσ0

松弛方程：馬克斯威爾模型本構(gòu)方程：⑶、松弛曲線：當(dāng)ε保持不變，通解為：初始條105可見：馬克斯威爾模型具有瞬時變形、蠕變和松弛的性質(zhì)，可模擬變形隨時間增長而無限增大的力學(xué)介質(zhì)?？梢姡厚R克斯威爾模型具有瞬時變形、蠕變和松弛的性質(zhì)，可模擬變1063、開爾文（Kelvin）模型

該模型由彈性元件和粘性元件并聯(lián)而成，可模擬變形隨時間增長而無限增大的力學(xué)介質(zhì)。設(shè)彈簧和阻尼元件的應(yīng)力、應(yīng)變分別為σ1、ε1和σ2、ε2，組合模型的總應(yīng)力為σ和ε。彈簧:由(a):阻尼元件:則σ＝σ1+σ2，(a)ε＝ε1=ε2(b)Kelvin模型本構(gòu)方程(c)(d)3、開爾文（Kelvin）模型彈簧:107開爾文模型本構(gòu)方程：⑴、蠕變曲線：當(dāng)σ保持不變，即σ＝

σ0＝常數(shù)，代入上式得：

通解為：

初始條件：加載瞬間，粘性元件不變形，即

得：

蠕變方程：開爾文模型本構(gòu)方程：⑴、蠕變曲線：當(dāng)σ保持不變，108可見：當(dāng)t=0時,ε=0，當(dāng)t→∞時，ε＝ε0＝σ0/E,即彈性變形(彈性后效）

(d)蠕變方程凱爾文模型能模擬穩(wěn)定蠕變，不能模擬瞬時彈性變形。2.3巖石的流變性可見：當(dāng)t=0時,ε=0，(d)蠕變方程109若在t＝t1時卸載，σ＝0，由本構(gòu)方程：⑵、卸載曲線方程得：

通解為：若在t＝t1時卸載，σ＝0，⑵、卸載曲線方程110

得卸載方程：

當(dāng)卸載瞬間t=t1時,ε=εt1，當(dāng)t→∞時，ε＝0,即卸載后，變形慢慢恢復(fù)到0（后效）

通解為：

初始條件：

得:得卸載方程：當(dāng)卸載瞬間t=t1時,ε=εt111開爾文模型本構(gòu)方程：⑶、松弛曲線：當(dāng)ε保持不變，即ε＝ε0＝常數(shù)，dε/dt=0,代入上式得：

可見，應(yīng)力最終由彈簧承擔(dān)后，應(yīng)變就停止發(fā)展了。該模型反映了彈性后效現(xiàn)象和穩(wěn)定蠕變性質(zhì)。開爾文模型是一種粘彈性模型。開爾文模型本構(gòu)方程：⑶、松弛曲線：當(dāng)ε保持不變，112(三）模型識別與參數(shù)的確定1、模型識別模型識別即根據(jù)流變試驗(yàn)曲線確定用何種組合流變模型來模擬這種巖石的流變特征。蠕變曲線有瞬時彈性應(yīng)變段——模型中則應(yīng)有彈性元件蠕變曲線在瞬時彈性變形之后應(yīng)變隨時間發(fā)展——模型中則應(yīng)有粘性元件如果隨時間發(fā)展的應(yīng)變能夠恢復(fù)——彈性元件與粘性元件并聯(lián)組合如果巖石具有應(yīng)力松弛特征——彈性元件與粘性元件串聯(lián)組合如果松弛是不完全松弛（應(yīng)力減小至σs）——模型中應(yīng)有塑性元件（賓漢模型）(三）模型識別與參數(shù)的確定1、模型識別1132、模型參數(shù)的確定

模型參數(shù)的確定一般要通過數(shù)值計(jì)算進(jìn)行，對于簡單模型，可用試驗(yàn)數(shù)據(jù)直接確定模型參數(shù)。例：馬克斯威爾模型有兩個參數(shù)E和η。E可由瞬時彈性應(yīng)變求出：式中：σo蠕變試驗(yàn)所施加的常應(yīng)力

εo是瞬時彈性應(yīng)變。2、模型參數(shù)的確定模型參數(shù)的確定一般要通過數(shù)值計(jì)算進(jìn)114

馬克斯威爾模型蠕變方程

在曲線上任取一點(diǎn)（t1>0),可求得粘性系數(shù)η：馬克斯威爾模型蠕變方程在曲線上任取一點(diǎn)（t1115§5.4

巖石的強(qiáng)度理論

強(qiáng)度理論:

研究巖體破壞原因和破壞條件的理論。

強(qiáng)度準(zhǔn)則:

在外荷載作用下巖石發(fā)生破壞時，其應(yīng)力（應(yīng)變）所必須滿足的條件。強(qiáng)度準(zhǔn)則也稱破壞準(zhǔn)則或破壞判據(jù)。§5.4巖石的強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論:強(qiáng)度準(zhǔn)則:116一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1、應(yīng)力符號規(guī)定（1）正應(yīng)力以壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)；（2）剪應(yīng)力以使物體產(chǎn)生逆時針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)；（3）角度以x軸正向沿逆時針方向轉(zhuǎn)動所形成的夾角為正，反之為負(fù)。2、一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)6個應(yīng)力分量：σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx§5.4

巖石的強(qiáng)度理論一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1、應(yīng)力符號規(guī)定6個應(yīng)力分量：σx,1173、平面問題的簡化

在實(shí)際工程中，可根據(jù)不同的受力狀態(tài)，將三維問題簡化為平面問題。（1）平面應(yīng)力問題；（2）平面應(yīng)變問題。4、基本應(yīng)力公式以平面應(yīng)力問題為例，如圖，任意角度α截面的應(yīng)力計(jì)算公式如下：§5.4

巖石的強(qiáng)度理論3、平面問題的簡化在實(shí)際工程中，可根據(jù)不同的受力狀態(tài)，將118

最大最小主應(yīng)力：

最大主應(yīng)力與x軸的夾角θ可按下式求得：

任一斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力用主應(yīng)力表示為：

莫爾應(yīng)力圓的方程：OsntnC2θ0A1s'B1s"2θ

(sn,tn)ED'(sy,tyx)BAD(sx,txy)§5.4

巖石的強(qiáng)度理論最大最小主應(yīng)力：最大主應(yīng)力與x軸的夾角θ可按下式求119二、最大拉應(yīng)變理論基本觀點(diǎn)：無論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，只要巖石的最大拉伸應(yīng)變ε達(dá)到一定的極限應(yīng)變εt時，巖石就會發(fā)生拉伸斷裂破壞式中：εt

——單軸拉伸破壞時的極限應(yīng)變；E——巖石的彈性模量；

σt——單軸抗拉強(qiáng)度。強(qiáng)度條件為：§5.4

巖石的強(qiáng)度理論二、最大拉應(yīng)變理論基本觀點(diǎn)：無論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，只要巖石的120討論：

1、在單軸拉伸條件下：巖石發(fā)生拉伸斷裂破壞，其強(qiáng)度條件為：

2、在單軸壓縮條件下：巖石發(fā)生沿縱向拉伸斷裂破壞，其強(qiáng)度條件為：

即：§5.4

巖石的強(qiáng)度理論討論：1、在單軸拉伸條件下：巖石發(fā)生拉伸斷裂破壞，其強(qiáng)度條1213、在三軸壓縮條件下：σ3方向的應(yīng)變?yōu)?/p>

如果σ3＜(σ1+σ2),則為拉應(yīng)變，其強(qiáng)度條件為

而：

故，強(qiáng)度條件又可表示為：

在常規(guī)三軸條件下（σ3＝σ2）強(qiáng)度條件為：§5.4

巖石的強(qiáng)度理論3、在三軸壓縮條件下：σ3方向的應(yīng)變?yōu)槿绻?＜(σ1122三、庫倫（Coulomb)準(zhǔn)則基本觀點(diǎn)：材料破壞主要是剪切破壞，當(dāng)材料某一斜面上的剪應(yīng)力達(dá)到或超過該破壞面上的粘結(jié)力和摩擦阻力之和，便會沿該斜面產(chǎn)生剪切滑移破壞。[1773年庫倫提出（“摩擦”準(zhǔn)則）]式中：

τf—材料剪切面上抗剪強(qiáng)度；

C—材料的粘結(jié)力；

σ—剪切面上的正應(yīng)力。討論：庫侖準(zhǔn)則的應(yīng)用局限性§5.4

巖石的強(qiáng)度理論三、庫倫（Coulomb)準(zhǔn)則基本觀點(diǎn)：材料破壞主要是剪切破123四、莫爾（Mohr）強(qiáng)度準(zhǔn)則基本觀點(diǎn)：材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，某一斜面上的剪應(yīng)力達(dá)到一極限值，造成材料沿該斜面產(chǎn)生剪切滑移破壞，且破壞面平行于中間主應(yīng)力σ2作用方向。莫爾準(zhǔn)則的強(qiáng)度曲線是一系列極限應(yīng)力莫爾圓的公切線。莫爾準(zhǔn)則強(qiáng)度曲線，分為直線型強(qiáng)度曲線和曲線型強(qiáng)度曲線。曲線型強(qiáng)度曲線又分為二次拋物線、雙曲線和擺線型等。

此理論由莫爾（Mohr）于1910年提出，材料的破壞是剪切破壞，其理論是建立在試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析基礎(chǔ)之上。§5.4

巖石的強(qiáng)度理論四、莫爾（Mohr）強(qiáng)度準(zhǔn)則基本觀點(diǎn)：材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，124§5.4

巖石的強(qiáng)度理論1、直線型包絡(luò)線強(qiáng)度曲線為直線型極限莫爾應(yīng)力圓與直線的關(guān)系§5.4巖石的強(qiáng)度理論1、直線型包絡(luò)線強(qiáng)度曲線為1252、二次拋物線型包絡(luò)線設(shè)二次拋物線方程如圖可知§5.4

巖石的強(qiáng)度理論適用泥巖、頁巖泥灰?guī)r等較軟巖石2、二次拋物線型包絡(luò)線設(shè)二次拋物線方程§5.4巖石126

確定待定系數(shù)n

當(dāng)為單軸壓縮問題時，σ3

=0，σ1=σc則上式變?yōu)槔们蟾角蠼猓?/p>

φ1為包絡(luò)線漸進(jìn)線的傾角§5.4

巖石的強(qiáng)度理論3、雙曲線型包絡(luò)線適用：砂巖、灰?guī)r、花崗巖等堅(jiān)硬或較堅(jiān)硬巖石§5.4巖石的強(qiáng)度理論3、雙曲線型包絡(luò)線適用：砂巖、灰?guī)r127五、庫侖-莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則莫爾直線型極限應(yīng)力圓包絡(luò)線，極為庫侖強(qiáng)度曲線1.破壞面上剪應(yīng)力與正應(yīng)力的關(guān)系破壞面上的剪應(yīng)力τf是該面上正應(yīng)力σ的函數(shù)，即：

τf＝f(σ)

直線方程：§5.4

巖石的強(qiáng)度理論五、庫侖-莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則莫爾直線型極限應(yīng)力圓包絡(luò)線，極為庫侖強(qiáng)128莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線的意義：包絡(luò)線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)都代表巖石沿某一面剪切破壞所需的剪應(yīng)力和正應(yīng)力。

莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線的應(yīng)用：將應(yīng)力圓與強(qiáng)度曲線放在同一個坐標(biāo)系中，若莫爾應(yīng)力圓在包絡(luò)線之內(nèi)，則巖石不破壞；若莫爾應(yīng)力圓與強(qiáng)度曲線相切，則巖石處于極限平衡狀態(tài)；若莫爾應(yīng)力圓與強(qiáng)度曲線相交，則巖石肯定破壞。

莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線與應(yīng)力圓§5.4

巖石的強(qiáng)度理論莫爾強(qiáng)度包絡(luò)線的意義：包絡(luò)線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)都代表巖石沿某一面1292、莫爾－庫侖強(qiáng)度理論

τf=f(σ)所表達(dá)的是一條曲線，該曲線的型式假設(shè)為直線型。直線型與庫倫準(zhǔn)則表達(dá)式相同，因此也稱為庫倫－莫爾強(qiáng)度理論。用主應(yīng)力表示：

上式也稱為極限平衡方程。

莫爾－庫侖強(qiáng)度理論不適合剪切面上正應(yīng)力為拉應(yīng)力的情況?！?.4

巖石的強(qiáng)度理論2、莫爾－庫侖強(qiáng)度理論τf=f(σ)所表達(dá)的是一條曲130

莫爾－庫侖強(qiáng)度理論另一種表示形式

如圖的幾何關(guān)系，有：

其中：§5.4