證明類問題-2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講+熱考題型（解析版）

專題47證明類問題

【考查題型】

。與平行線相關(guān)證明

?與全等三角形相關(guān)證明

（/一一T與等腰三角形有關(guān)的證明

專題47證明類問題

與圓有關(guān)的證明

-與四邊形綜合有關(guān)的證明

與相似三角形有關(guān)的證明

考查題型一與平行線相關(guān)的證明

1.（2020?湖北武漢市?中考真題）如圖，直線防分別與直線AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn).EM平分

ZBEF,FN平■分NCFE,且FN.求證：AB\CD.

【答案】證明見解析.EM乎分NBEF,FN平分NCFE

【解析】先根據(jù)角平分線的定義可得：.NMEF=-NBEF,4NFE=-Z.CFE

22

ZMEF=-NBEF,ZNFE=-ZCFE,再根據(jù)

22?:EM//FN

平行線的性質(zhì)可得=從而可得:.AMEF^ZNFE

ZBEF=NCFE,然后根據(jù)平行線的判定即可得NBEF=-ZCFE,即ZBEF=ZCFE

22

證.

AB//CD..

【詳解】

2.（2020?湖北宜昌市?中考真題）光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時(shí)會(huì)發(fā)生

折射，如圖，水面AB與水杯下沿CD平行，光線E廠從水中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成FH,點(diǎn)G

在射線EF上，已知NHFB=20°,NEED=45°,求NGFH的度數(shù).

【答案】25?！窘馕觥?GFB=/FED=45。

使用平行線的性質(zhì)得到/GFB=ZFED=45°,/HFB=20。

再根據(jù)/GFH=ZGFB-ZHFB得到結(jié)果.ZGFH=ZGFB-ZHFB

【詳解】解：AB//CD=45°-20°=25。

考查題型二與全等三角形有關(guān)的證明

3.（2020?柳州市中考真題）如圖，已知。C平分CWCW,點(diǎn)48分別在射線OM,ON上,且。/=。8.

求證：UAOmUBOC.

【答案】見解析OA=OB

【詳解】證明：OC平6MON,<ZAOC=ZBOC,

OC=OC

AOC=BOC,

□□jocnnsocCSAS).

在；4OC和BOC'V，

4.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?中考真題）如圖，HC是四邊形NBCD的對(duì)角線，小=口5,點(diǎn)E、F分別在48、BC

上，BE=CD,BF=CA,連接EE

（1）求證：口。=口2；

（2）若EFCUC,00=78°,求E1B/C的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）78°.證明：（1）在ELSEF和□（?￡>/中,

【詳解】

BE=CD(2)□□Z)=n2,□￡>=78°,

<NB=N1,□□￡>=口2=78。，

BF=CA

\2EFJAC,

BEFFiQCDA(SAS),

□L2=BAC=78°.

D=2；

5.（2020?廣西河池市?中考真題）（1）如圖（1）,已知CE與AB交于點(diǎn)E,AC=BC,口1=口2.求證:

ACELBCE.

（2）如圖（2）,已知CD的延長(zhǎng)線與AB交于點(diǎn)E,AD=BC,口3=口4.探究AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.

(1)⑵⑵

答案】（1）證明見解析；（2）AE=BE；理由見解析AD=CB

【詳解】（1）證明：在匚ACE和匚BCE中，<Z3=Z4,

CF=DE

AC=BC

?N1=N2,ACEBCE（SAS）；舊ADEETBCF(SAS),

CE=CE□AE=BF,AED=[CFB,

(2)AE=BE.□□AED+」BEF=180°,□CFB+口EFB=180°,

理由如下：在CE上截取CF=DE,BEF=DEFB,

在ADE和BCF中，BE=BF,AE=BE.

6.（2020?四川宜賓市?中考真題）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D是BC上的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)

E,使。石=AD，連接CE.

(1)求證：△ABDwbECD

（2）若AABD的面積為5,求AACE的面積.

B

DtC

E

【答案】（D詳見解析；（2）10.(2);在ABC中，D是BC的中點(diǎn)

【詳解】證明：（DnD是BC的中點(diǎn)，=

ABDSACDAABD=AECD

匚BD=CD在LABD和CED中，

BD=CD

<ZADB=NCED-1'

SACE=SACD+SECD=5+5=10

AD=ED

答：三角形ACE的面積為10.

所以△A3。三項(xiàng)。。；

考查題型三與等腰三角形有關(guān)的證明

7.（2020?山東煙臺(tái)市?中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC

上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF,連接CF.

（問題解決）

（1）如圖1,若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF=CD；

（類比探究）

（2）如圖2,若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE,CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明

理由.

【答案】（1）見解析；（2）FC=CD+CE,見解析口EH=EC=CH,□CEH=60°,

【詳解】（1）證明：在CD上截取CH=CE,如圖□□DEF是等邊三角形，

1所示：DDABC是等邊三角形，□DE=FE,□DEF=60°,

□□ECH=60°,□□DEH+DHEF=nFEC+DHEF=60°,

□□CEH是等邊三角形，□□DEH=DFEC,

在口DEH和〔FEC中,□DG=CD=CG,DGDC=60o,

DE=FE□□EDF為等邊三角形，

<ZDEH=ZFEC,□ED=DF,□EDF=DGDC=60°,

EH=EC

EDG=LFDC,

□□DEHDDFEC(SAS),□DH=CF,

在「EGD和FCD中，

□CD=CH+DH=CE+CF,

ED=DF

□CE+CF=CD；<ZEDG=ZFDC,

(2)解：線段CE,CF與CD之間的等量關(guān)系是DG=CD

FC=CD+CE；理由如下：□□EGD01FCD(SAS),□EG=FC,

□□ABC是等邊三角形，口FC=EG=CG+CE=CD+CE.

A=LB=60°,

過D作DGEJAB,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖2

所示：DGDOAB,

□□GDC=CB=60°,□DGC=nA=60°,

GDC=LDGC=60°,

□□GCD為等邊三角形,

8.(2020?黑龍江牡丹江市中考真題)等腰三角形ABC中，AB=AC=4,□BAC=45。，以AC為腰作等腰直

角三角形ACD,CJCAD為90。，請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出點(diǎn)B到CD的距離.

【答案】畫出圖形見解析；點(diǎn)8到。的距離為2□點(diǎn)2到CD的距離等于點(diǎn)A到CD的距離,

V2或4-2點(diǎn).過點(diǎn)/作AELCD，

AB-AC=4,

【詳解】本題有兩種情況：

AC

(1)如圖，4.

AE=^2V2,

點(diǎn)8到CO的距離為2J］；

(2)如圖：

△ACD是等腰直角三角形，NC4￡>=90°，

ZACD=45°,

ZBAC=45°,AB//CD，

ZA￡C=90°.

匚點(diǎn)B到CD的距離即BE的長(zhǎng)，

AC/—

AB-AC=4>AE==2v2,

BE=AB—AE=4-2起，即點(diǎn)8到CO的距

△ACO是等腰直角三角形，NC4￡>=90°,離為4-2應(yīng).

ZACD=45°，ABAC=45°,

9.(2020?黑龍江牡丹江市?中考真題)在等腰△A6c中，=點(diǎn)D,E在射線班上,

BD=DE，過點(diǎn)E作瓦7/3C,交射線C4于點(diǎn)F.請(qǐng)解答下列問題：

(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段A8上，CD是AACB的角平分線時(shí)，如圖口，求證：AE+BC=CF；(提示：延長(zhǎng)

CD,交于點(diǎn)M.)

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段84的延長(zhǎng)線上，CO是AACB的角平分線時(shí)，如圖U；當(dāng)點(diǎn)E在線段84的延長(zhǎng)線

上，CD是△4C8的外角平分線時(shí)，如圖口，請(qǐng)直接寫出線段AE，BC,CT之間的數(shù)量關(guān)系，不需要

證明；

(3)在(1)、(2)的條件下，若OE=2AE=6,則CF=

【答案】(1)見解析；(2)BC=AE+CF或A=BCA=LEFA,

AE=CF+BC；(3)18或6.AE=EFMF//BC

【詳解】□MED=3B,DM=DBCD

(1)如圖，延長(zhǎng)CO，正交于點(diǎn)M.又FCM=_BCM,

□□M=DFCMnCF=MF

又BD=DE

△MEDMCBD(AAS)ME=BC

CF=MF=ME+EF=BC+AE

圖①

即AE+BC=CF；

AB=BC，EF//BC

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段5A的延長(zhǎng)線上，CD是由上述證明過程易得△"Er>M￡B￡）（A4S）,

△ACB的角平分線時(shí)，BC=AE+CF,

BC=EM,CF=FM,又「AB=BC,

如圖，延長(zhǎng)CO,EF交于點(diǎn)M.

LILACB=CAB=LFAE

EFUBCF=FCB,

□EF=AE,UAE=FE=FM+ME=CF+BC

（3）CF=18或6

當(dāng)DE=2AE=6時(shí)，圖口中，由（1）得：AE=3,

BC=AB=BD+DE+AE=15,

由同理可證△MEDMAC或）（A4S）,ME-BC

CF=AE+BC=3+15=18；

由匚證明過程同理可得出MF=CF,AE=EF,

圖n中，由（2）得：AE=AD=3,

□BC=ME=EF+MF=AE+CF；

BC=AB=BD+AD=9,

當(dāng)點(diǎn)E在線段B4的延長(zhǎng)線上，CO是△ACB的外

□CF=BC-AE=9-3=6；

角平分線時(shí)，AE=CF+BC.

圖中，DE小于AE,故不存在.

如圖，延長(zhǎng)CO交EF于點(diǎn)M,

故答案為18或6.

10.（2020?黑龍江哈爾濱市?中考真題）已知，在AA8C中，AB=A。，點(diǎn)D,點(diǎn)E在BC上,

=連接AD,AE.

（1）如圖1,求證：AD=AE-.

（2）如圖2,當(dāng)NZME=NC=45°時(shí)，過點(diǎn)B作BfV/AC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,在不添加任何輔

助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四個(gè)等腰三角形，使寫出的每個(gè)等腰三角形的頂角都等于45。.

【答案】（1）證明見解析；（2）.ADE、=.-,ZB=ZC.

△BAE、ABDF、△C4D.在△ABD和△ACE中，

【詳解】（1）證明：如圖1,

AB^AC/BAD=ACAE=67.5°-45°=22.5°,

（）

<NB=NC,^ABD^ACESAS,/BAE=ACAD=22.5°+45°=67.5°,

BD=CE

ZBAE=/BEA=ACAD=ZCDA=67.5°,

AD^AE；

C4=CQ、43=AE即：八RAE、ACW是

（2）頂角為45。的等腰三角形有以下四個(gè)：

等腰三角形，ZABC=ZACB^45°,

△ADE、AfiAE、△C4Ds^BDF.

BF//AC

證明：NC=45°,AB^AC,

DBF=1C=45°,ZF=ZCAD=67.5°，

ZABC=ZACB^45°,NACB=90。，

又ZBDF=ZADC^67.5°,

Na4E=45°,AD=AE，即：聞）￡是等腰

ZBDF=ZF=67.5°,

三角形，NZME=45°；

BD=BF、B|J：△8。尸是等腰三角形，

1800-45°

ZADE=ZAED=———=67.5°,

2/DBF=45°.

考查題型四與圓有關(guān)的證明

11.（2018?湖南郴州市?中考真題）已知BC是口0的直徑，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AB=AD,AE是

的弦，匚AEC=30。.

（1）求證：直線AD是no的切線；

⑵若AE口BC,垂足為M,口0的半徑為4,求AE的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析；（2）4百.(2)連接OA,OOAEC=30°,

□UAOC=60°,LBCAE于M,

【詳解】⑴如圖,

AE=2AM,匚OMA=90。，在RtAOM中,

IL]AEC=30。，□□ABC=30°,DAB=AD,

AM=OA?sinAOM=4xsin60°=2-y/3>

D=ABC=30。，

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，口8人口=120。，AE=2AM=4百.

連接OA,OA=OB,

OAB=ABC=30。，

CiOAD=BAD-[OAB=90°,

□OACAD,□點(diǎn)A在10上，

匚直線AD是口。的切線；

12.（2018?遼寧沈陽市?中考真題）如圖，BE是圓0的直徑,點(diǎn)A和點(diǎn)D是口0上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作：10

的切線交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,

（1）若UADE=25。，求DC的度數(shù)；

（2）若AB=AC,CE=2,求一0半徑的長(zhǎng).

\°W

D

答案】(1)nc=400；(2)口O的半徑為2.C=90°-aAOE=90°-50°=40°；

【詳解】(1)如圖，連接OA,(2)DAB=AC,□DB=QC,

我E—衣E，AOC=2B,

□□AOC=2QC,□□OAC=90。，

□UAOC+□C=90°,3LiC=90°,

■AC是IO的切線，OA是O的半徑,C=30°,OA=-OC,

2

□OAOAC,□□OAC=90°,

設(shè)HO的半徑為r,DCE=2,

=ADE=25°,

r=—(r+2),解得：r=2,

2

□□AOE=2ADE=50°,

□匚O的半徑為2.

13.(2018?四川攀枝花市?中考真題)如圖，在DABC中，AB=AC,以AB為直徑的口0分別與BC、AC交

于點(diǎn)D、E,過點(diǎn)D作DF1AC于點(diǎn)F.

(1)若10的半徑為3,□CDF=15°,求陰影部分的面積;

(2)求證：DF是口0的切線；

⑶求證：□EDFRDAC.

A

【答案】(1)陰影部分的面積為3兀-些；(2)□AB=AC,□□ABC=nC=75°,

4

BAC=180°-ABCC=30°,

證明見解析；(3)證明見解析.

1133x/3

【詳解】解：(1)連接OE,過O作OMAC于OM=-OA=—x3=—，AM=-Jr3OM=------,

2222

OA=OE,OMAC,AE=2AM=373，

□□BAC=AEO=30。，

」□AOE=180°-30°-30°=120°,

□陰影部分的面積S=S睚AOE-SAOE=

□DFDAC,□□DFC=90°,120^x32

--x3y/3x--37T--y/3;

FDC=15°,□□C=180°-90o-15o=75°,360224

(2)證明：連接OD,AB=AC,OB=OD,AB為O的直徑,

□!ABC=QC,ABC=QODB,□AEB=90°,□BEDAC,

□ODB=DC,DACnOD,□DFDAC,匚BEZ1DF,

FDC=UEBC,1EBC=DAC,

nDFDC=[DAC,

□A、B、D、E四點(diǎn)共圓，

IDDEF=CABC,□CABC=DC,

□DFDAC,□DFEOD,

l□DEC=□C,DDFAC,

□OD過O,DDF是LIO的切線;

EDF=[FDC,EDF=DAC.

(3)證明：連接BE,

14.（2019?四川綿陽市?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)。為80的中點(diǎn)，為。。的弦，且

CF±AB，垂足為E，連接3。交CF于點(diǎn)G,連接C￡>,AD，BF.

⑴求證：/^FG=ACDG；

（2）若4）=3E=2,求的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析；（2）8尸=2百.ABFG=^CDG(AAS)；

【詳解】證明：（1）口C是5。的中點(diǎn)，?(2)解法-：如圖，連接OP,設(shè)。。的半徑為「，

用中，BD1AB2-AD1,即

CD=BC，

BD2=(2rf-22,

A8是。。的直徑，且CF_L4B,

RtAOEF中,OF2=OE2+EF2,即

BC=BF，

￡F2=r2-(r-2)2,

BD=*F，CD=BF,

在ASFG和ACDG中，BD=*C=*F，》D=^F，BD=CF,

ZF=ZCDGBD2=CF2=(2EF)2=4EF2,

<NFGB=NDGC,

BF=CD即(27)2—22=4尸_(一2)1,

解得：〃=1（舍）或3,BC2=ABBE=6x2=\2^

BF2=￡F2+BE2=32-(3-2)2+22=12,

BF=BC=26

BF=273；

C

解法三：如圖，連接OC,交BD于H,

解法二：如圖，過。作交/。延長(zhǎng)線于

CHLAO。是BD的中點(diǎn)，口0。，班),

點(diǎn)H,連接AC、BC,

DH=BH,

CD=BC，ZHAC=ABAC

OA—OB.OH=—AD=1,

2

CELAB.CH=CE,

OC=OB，ZCOE=ZBOH,

AC=AC,Rt^AHC=Rt/^AEC，

40HB=/OEC=96>，

AE^AH,

CH=CE，CD=CB,△COE三2OH(AAS),

RtkCDH三Rt\CBE{HL),OH=OE=T,OC=OB=3,

DH=BE=2,AE=AH=2+2=4,

AB=4+2-6，

A3是。。的直徑，NACB=90°，］

ZACB=ZBEC=90°>

NEBC=ZABC，A5EC:ABCA.

BCBE

~AB~~BC'

15.（2018?浙江湖州市?中考真題）如圖，已知AB是nO的直徑，C,D是HO上的點(diǎn)，OC「BD,交AD

于點(diǎn)E,連結(jié)BC.

（1）求證：AE=ED；

(2)若AB=10,nCBD=36°,求AC的長(zhǎng).

AEO=ADB=90°,

【答案】（1）證明見解析；（2）AC=2TT

即OCAD,

【詳解】

口AE=ED；

提示：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出lAEOg。。，再

(2)LOCUAD,

利用垂徑定理證明即可；

-,-AC=BD，

（2）根據(jù)弧長(zhǎng)公式解答即可.

：.LABC=CBD=36°,

詳證明：（1）AB是0的直徑，

□0AOC=2DABC=2x36o=72°,

□OADB=90°,

724x5

I：OCBD,AC—2萬.

180

16.（2018?天津中考真題）己知AB是。。的直徑，弦CD與AB相交，NB4c=38°.

（□）如圖口，若。為48的中點(diǎn)，求NABC和NAB。的大??；

（口）如圖口，過點(diǎn)。作的切線，與A3的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，若DP//AC,求NOCD的大小.

【答案】（1）52°,45°；（2）26°又：ABAC=38"，ZABC=90°-38°=52°.

【解析】

由。為AB的中點(diǎn)，得AD=BO

提示：（「）運(yùn)用直徑所對(duì)的圓周角是直角以及圓

周角的度數(shù)等于它所而弧的度數(shù)求解即可；ZACD=ZBCD=-ZACB=45°.

2

（D）運(yùn)用圓周角定理求解即可.ZABD=ZACD=45°

詳解：（）A3是。。的直徑，ZACB=90°.

ABAC+ZABC=90).

ZAOD=NODP+NP=128°.

ZACD=-ZAC)D=64°.

2

又(M=OC，得ZACO=ZA=38°.

ZOCD=ZACD-ZACO=64°-38°=26°.

（□）如圖，連接0￡>.

DP切。。于點(diǎn)D，

OD±DP,即NQ￡>P=90°.

由OP//AC,又NBAC=38°，

ZAOD是△OD尸的外角,

17.（2020?廣東廣州市?中考真題）如圖，。。為等邊A4BC的外接圓，半徑為2,點(diǎn)。在劣弧A8上運(yùn)動(dòng)

（不與點(diǎn)A3重合），連接ZM,DB，DC.

（1）求證：。。是NADB的平分線;

（2）四邊形ADBC的面積S是線段。。的長(zhǎng)x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請(qǐng)說明

理由;

（3）若點(diǎn)M,N分別在線段C4,CB上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位

置，ADMN的周長(zhǎng)有最小值/,隨著點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)，，的值會(huì)發(fā)生變化，求所有f值中的最大值.

【答案】（1）詳見解析；（2）是,ADC=BDC=60°,

DC是：ADB的角平分線.

—X2(2V3<X<4)；(3)46

4（2）是.如圖，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)E,使得AE=DB.

【詳解】⑴MABC為等邊三角形,BC=AC,連接EC,則□EAC=18O°-E3DAC=E2DBC.

AC=3C，都為l圓，口AE=DB,Z3EAC=EiDBC,AC=BC

AOC=BOC=120°,EAC口DBC(SAS),

E=CDB=ADC=60°,DCA=120°.

O

故EDC是等邊三角形，CD|D2=3CD2DI=60,

DC=x,根據(jù)等邊三角形的特殊性可知DC邊上在等腰[；DCD2中，作CHD1D2,

的高為且X則在RtDCH中，根據(jù)30。特殊直角三角形的比

2例可得DiH=走CQ=走x,

□212

)KDE犬(

S=SdDBc+SJDC=Sme+SJ[c=S=WX,X=^~26<X'治理口2叩迫CD,=—x

222

t=D\D2=y/3DC-W>x-

x取最大值時(shí)/取最大值.

即D與0、C共線時(shí)/取最大值/=4.

所有/值中的最大值為4百.

(3)依次作點(diǎn)D關(guān)于直線BC、AC的對(duì)稱點(diǎn)Di、

D2,根據(jù)對(duì)稱性

CDMN=DM+MN+ND=D?M+MN+ND2.

□Di、M、N、D共線時(shí)DDMN取最小值，，此時(shí)J

/=DID2,f

由對(duì)稱有D|C=DC=D2C=X,DICB=DDCB,

□D2cA=12DCA,i:

ED?CD2=D1CB+□BCA+LD2CA=DCB+60°+.

18.(2020?山東濟(jì)南市?中考真題)如圖，Z8為□。的直徑,點(diǎn)C是口。上一點(diǎn)，C￡>與口。相切于點(diǎn)C,

過點(diǎn)/作/。口。。，連接AC,BC.

(1)求證：4C是口0/5的角平分線；

(2)若4。=2,AB=3,求NC的長(zhǎng).

二D二D

【答案】（1）見解析；（2）V6DAC=VOAC,

□/C是的角平分線;

【詳解】解：（1）證明：連接0C,如圖

(2)口28是口。的直徑，

□CO與□。相切于點(diǎn)C,

□□4C8=90。，

□□08=90。，

□□D=n4cB=90°,

□4C￡>+」/CO=90。，

DDDAC=DBAC

DADDC,f

□RtCJDCDRtD^C5,

□□4）C=90。，

ADAC

=,

QUACD+JDAC=90°,ACAB

2

rQACO=LDACtAC=AD>AB=2X3=6,

OA=OCfAC=.^6

□□O4C=匚OC4

19.（2020?江蘇南京市?中考真題）如圖，在AABC中，AC=BC,D是AB上一點(diǎn)，130經(jīng)過點(diǎn)A、

C、D,交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作。F7/5C,交口0于點(diǎn)F,求證：

（1）四邊形DBCF是平行四邊形

（2）AF=EF

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.-.BD//CF,

【詳解】

.四邊形DBCF是平行四邊形.

證明：(1).AC=BC,

（2）如圖,連接AE

ABAC=AB,

?ZADF=ZB，ZADF=ZAEF

-.DF//BC,

./AEE=NB

:.ZADF^ZB,

?四邊形AECF是。。的內(nèi)接四邊形

又NBAC=NCFD,

ZECF+ZEAF=ISO°

ZADF=NCFD,

'：BD//CF：.ZAEF=ZEAF

ZECF+ZB=\SO：.AF=EF

：.ZEAF=ZB

20.（2020?河北中考真題）如圖，點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)C,OB到點(diǎn)。，使

OC=OD.以點(diǎn)。為圓心，分別以O(shè)A,0c為半徑在CD上方作兩個(gè)半圓.點(diǎn)P為小半圓上任一點(diǎn)

（不與點(diǎn)A,3重合），連接OP并延長(zhǎng)交大半圓于點(diǎn)E，連接AE，CP.

（1）□求證：AAOE且APOC；

口寫出口1,口2和NC三者間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）若。。=2。4=2,當(dāng)/C最大時(shí)，直域指出CP與小半圓的位置關(guān)系，并求此時(shí)無形E。。（答案保

留萬）.

【答案】（1）:見詳解；I2=C+I；（2）CP□U2=ac+I；

4（2）在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，只有CP與小圓相切

與小半圓相切，一萬.

3時(shí)DC有最大值，

【詳解】□當(dāng)NC最大時(shí)，可知此時(shí)CP與小半圓相切，

AO=PO由此可得cpnop,

（）匚在和中

1AOEPOC<NAOE=NPOC,又LOC=2OA=2OP=2,

OE=OC

口可得在RtPOC中,□C=30°,□POC=60°,

AOEPOC；

□□EOD=180。-POC=120°,

□□2=nc+」i,理由如下：

2

c120x^-x/?4

由（1）WDAOEDnPOC,S用EOD=------------------=-兀.

360°3

□□1=1OPC,

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得:2=JC+OPC,

考查題型五與四邊形綜合有關(guān)的證明

21.（2020?廣東深圳市?中考真題）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個(gè)正方形按背景圖位置擺放

（點(diǎn)￡,A,。在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且BEOG.小組討論后，提出了三個(gè)問題，請(qǐng)你幫助解

答:

圖1

（1）將正方形NEFG繞點(diǎn)/按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，（如圖1）還能得到5E=DG嗎？如果能，請(qǐng)給出證