常用公式及常用結(jié)論大全

高中數(shù)學(xué)常用公式集合與函數(shù)概念1.元素與集合的關(guān)系,.3.包含關(guān)系.5．集合的子集個(gè)數(shù)共有個(gè)；真子集有–1個(gè)；非空子集有–1個(gè)；非空的真子集有–2個(gè).6.二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式;(2)頂點(diǎn)式;(3)零點(diǎn)式.7.解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式.8.方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,與不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地,方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi),等價(jià)于,或且,或且.9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：(1)當(dāng)a>0時(shí)，若，則；，，.(2)當(dāng)a<0時(shí)，若，則，若，則，.10.一元二次方程的實(shí)根分布依據(jù)：若，則方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.設(shè)，則（1）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或；（2）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或或或；（3）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或.11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)(1)在給定區(qū)間的子區(qū)間（形如，，不同）上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是.(2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是.(3)恒成立的充要條件是或.12.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于不大于至少有個(gè)至多有（）個(gè)小于不小于至多有個(gè)至少有（）個(gè)對所有，成立存在某，不成立或且對任何，不成立存在某，成立且或14.四種命題的相互關(guān)系原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互否否逆逆否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ15.充要條件（1）充分條件：若，則是充分條件.（2）必要條件：若，則是必要條件.（3）充要條件：若，且，則是充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.基本初等函數(shù)16.函數(shù)的單調(diào)性(1)設(shè)那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).(2)設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).17.如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù);如果函數(shù)和在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù).18．奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．19.若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則.20.對于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對稱軸是函數(shù);兩個(gè)函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.21.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).22．多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.23.函數(shù)的圖象的對稱性(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱性(1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱.(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.(3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對稱.25.若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個(gè)單位，得到曲線的圖象.26．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系.27.若函數(shù)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,并不是,而函數(shù)是的反函數(shù).28.幾個(gè)常見的函數(shù)方程(1)正比例函數(shù),.(2)指數(shù)函數(shù),.(3)對數(shù)函數(shù),.(4)冪函數(shù),.(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，，.29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)（1），則的周期T=a；（2），或，或,或,則的周期T=2a；(3)，則的周期T=3a；(4)且，則的周期T=4a；(5),則的周期T=5a；(6)，則的周期T=6a.30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)（，且）.(2)（，且）.31．根式的性質(zhì)（1）.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.32．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1).(2).(3).注：若a＞0，p是一個(gè)無理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式.34.對數(shù)的換底公式(,且,,且,).推論(,且,,且,,).35．對數(shù)的四則運(yùn)算法則若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1);(2);(3).36.設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則，且;若的值域?yàn)?則，且.對于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).37.對數(shù)換底不等式及其推廣若,,,,則函數(shù) (1)當(dāng)時(shí),在和上為增函數(shù).，(2)當(dāng)時(shí),在和上為減函數(shù).推論:設(shè)，，，且，則（1）.（2）.38.平均增長率的問題如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時(shí)間的總產(chǎn)值，有.39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系(數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；其前n項(xiàng)和公式為.41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；其前n項(xiàng)的和公式為或.42.等比差數(shù)列:的通項(xiàng)公式為；其前n項(xiàng)和公式為.43.分期付款(按揭貸款)每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).44．常見三角不等式（1）若，則.(2)若，則.(3).三角函數(shù)45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，=，.46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))47.和角與差角公式;;.(平方正弦公式);.=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定,).48.二倍角公式...49.三倍角公式...50.三角函數(shù)的周期公式函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期.51.正弦定理

.52.余弦定理;;.53.面積定理（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.(3).54.三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有.55.簡單的三角方程的通解...特別地,有...56.最簡單的三角不等式及其解集......平面向量57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么(1)結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)a·b=b·a（交換律）;(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．60．向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0).53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a·b=|a||b|cosθ．61.a·b的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a=,b=，則a+b=.(2)設(shè)a=,b=，則a-b=.(3)設(shè)A，B,則.(4)設(shè)a=，則a=.(5)設(shè)a=,b=，則a·b=.63.兩向量的夾角公式(a=,b=).64.平面兩點(diǎn)間的距離公式=(A，B).65.向量的平行與垂直設(shè)a=,b=，且b0，則A||bb=λa.ab(a0)a·b=0.66.線段的定比分公式

設(shè)，，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則（）.67.三角形的重心坐標(biāo)公式△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是.68.點(diǎn)的平移公式.注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形上的對應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為.69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論（1）點(diǎn)按向量a=平移后得到點(diǎn).(2)函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.(3)圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.(5)向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.70.三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對邊長分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.（5）為的的旁心.不等式71.常用不等式：（1）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號)．（2）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號)．（3）（4）.72.極值定理已知都是正數(shù)，則有（1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值；（2）若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值.推廣已知，則有（1）若積是定值,則當(dāng)最大時(shí),最大；當(dāng)最小時(shí),最小.（2）若和是定值,則當(dāng)最大時(shí),最?。划?dāng)最小時(shí),最大.73.一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.；.74.含有絕對值的不等式當(dāng)a>0時(shí)，有.或.75.無理不等式（1）.（2）.（3）.76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當(dāng)時(shí),;.(2)當(dāng)時(shí),;77.斜率公式（、）.直線與方程78.直線的五種方程（1）點(diǎn)斜式(直線過點(diǎn)，且斜率為)．（2）斜截式(b為直線在y軸上的截距).（3）兩點(diǎn)式()(、()).(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式(其中A、B不同時(shí)為0).79.兩條直線的平行和垂直(1)若，①;②.(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,①；②；80.夾角公式(1).(，,)(2).(,,).直線時(shí)，直線l1與l2的夾角是.81.到的角公式(1).(，,)(2).(,,).直線時(shí)，直線l1到l2的角是.82．四種常用直線系方程(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù);經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)．(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點(diǎn)的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)．(3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．(4)垂直直線系方程：與直線(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．83.點(diǎn)到直線的距離(點(diǎn),直線：).84.或所表示的平面區(qū)域設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是：若，當(dāng)與同號時(shí)，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號時(shí)，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.若，當(dāng)與同號時(shí)，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)與異號時(shí)，表示直線的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左.85.或所表示的平面區(qū)域設(shè)曲線（），則或所表示的平面區(qū)域是：所表示的平面區(qū)域上下兩部分；所表示的平面區(qū)域上下兩部分.圓與方程86.圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）圓的一般方程(＞0).（3）圓的參數(shù)方程.（4）圓的直徑式方程(圓的直徑的端點(diǎn)是、).87.圓系方程(1)過點(diǎn),的圓系方程是,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)．(2)過直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．(3)過圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種若，則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).89.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種:;;.其中.90.兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，;;;;.91.圓的切線方程(1)已知圓．①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是.當(dāng)圓外時(shí),表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．③斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．(2)已知圓．①過圓上的點(diǎn)的切線方程為;②斜率為的圓的切線方程為.橢圓與方程92.橢圓的參數(shù)方程是.93.橢圓焦半徑公式，.94．橢圓的的內(nèi)外部（1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.（2）點(diǎn)在橢圓的外部.95.橢圓的切線方程(1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）橢圓與直線相切的條件是.雙曲線96.雙曲線的焦半徑公式，.97.雙曲線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）.99.雙曲線的切線方程(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）雙曲線與直線相切的條件是.拋物線100.拋物線的焦半徑公式拋物線焦半徑.過焦點(diǎn)弦長.101.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或P，其中.102.二次函數(shù)的圖象是拋物線：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）準(zhǔn)線方程是.103.拋物線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線的外部.(2)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線的外部.(3)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線的外部.(4)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線的外部.104.拋物線的切線方程(1)拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）拋物線與直線相切的條件是.105.兩個(gè)常見的曲線系方程(1)過曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是(為參數(shù)).(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓;當(dāng)時(shí),表示雙曲線.106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式或（弦端點(diǎn)A，由方程消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）.107.圓錐曲線的兩類對稱問題（1）曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的曲線是.（2）曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是.108.“四線”一方程對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.數(shù)學(xué)思考途徑109．證明直線與直線的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.110．證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.111．證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.112．證明直線與直線的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.113．證明直線與平面垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.114．證明平面與平面的垂直的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律：a＋b=b＋a．(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所表示的向量.定理117.共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．三點(diǎn)共線.、共線且不共線且不共線.118.共面向量定理向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的存在實(shí)數(shù)對,使．推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使，或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對，使.119.對空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足（），則當(dāng)時(shí)，對于空間任一點(diǎn)，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)時(shí)，若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面．四點(diǎn)共面與、共面（平面ABC）.120.空間向量基本定理如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影，作B點(diǎn)在上的射影，則〈a，e〉=a·e122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝，b＝則(1)a＋b＝；(2)a－b＝；(3)λa＝(λ∈R)；(4)a·b＝；123.設(shè)A，B，則=.124．空間的線線平行或垂直設(shè)，，則；.125.夾角公式設(shè)a＝，b＝，則cos〈a，b〉=.推論，此即三維柯西不等式.126.四面體的對棱所成的角四面體中,與所成的角為,則.127．異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）128.直線與平面所成角(為平面的法向量).129.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則.特別地,當(dāng)時(shí),有.130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個(gè)內(nèi)角，則.特別地,當(dāng)時(shí),有.131.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.132.三余弦定理設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則.133.三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有;(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立).134.空間兩點(diǎn)間的距離公式若A，B，則=.135.點(diǎn)到直線距離(點(diǎn)在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).136.異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).137.點(diǎn)到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式..（）.(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，,,).139.三個(gè)向量和的平方公式140.長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.141.面積射影定理.(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則①.②.143．作截面的依據(jù)三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.144．棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比．146.球的半徑是R，則其體積,其表面積．147.球的組合體(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)球與正四面體的組合體:棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.148．柱體、錐體的體積（是柱體的底面積、是柱體的高）.（是錐體的底面積、是錐體的高）.149.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）.150.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）.151.排列數(shù)公式==.(，∈N*，且)．注:規(guī)定.152.排列恒等式(1）;（2）;（3）;（4）;（5）.(6).153.組合數(shù)公式===(∈N*，，且).154.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1)=;(2)+=.注:規(guī)定.155.組合恒等式（1）;（2）;（3）;（4）=;（5）.(6).(7).(8).(9).(10).156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系.158．分配問題（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個(gè)物件等分給個(gè)人，各得件，其分配方法數(shù)共有.（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個(gè)物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有.（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有.（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個(gè)物體分給個(gè)人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有.（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有.（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個(gè)物體分給甲、乙、丙，……等個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…時(shí)，則無論，，…，等個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有.159．“錯(cuò)位問題”及其推廣貝努利裝錯(cuò)箋問題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為.推廣:個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為.160．不定方程的解的個(gè)數(shù)(1)方程（）的正整數(shù)解有個(gè).(2)方程（）的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).(3)方程（）滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).(4)方程（）滿足條件(,)的正整數(shù)解有個(gè).161.二項(xiàng)式定理;二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.162.等可能性事件的概率.163.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．164.個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．165.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).166.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．167.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率168.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)（1）;（2）.172.標(biāo)準(zhǔn)差=.173.方差的性質(zhì)(1)；(2）若～，則.(3)若服從幾何分布,且，則.176.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù).177.對于，取值小于x的概率..178.回歸直線方程，其中.179.相關(guān)系數(shù).|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小.180.特殊數(shù)列的極限（1）.（2）.（3）（無窮等比數(shù)列()的和）.181.函數(shù)的極限定理.182.函數(shù)的夾逼性定理如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的附近滿足：（1）;（2）（常數(shù)）,則.本定理對于單側(cè)極限和的情況仍然成立.183.幾個(gè)常用極限（1），（）；（2），.184.兩個(gè)重要的極限（1）；（2）(e=2.718281845…).185.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則若，，則(1)；(2);(3).186.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則若，則(1)；(2)；(3)(4)(c是常數(shù)).187.在處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商）.188.瞬時(shí)速度.189.瞬時(shí)加速度.190.在的導(dǎo)數(shù).191.函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是.192.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)（C為常數(shù)）.(2).(3).(4).(5)；.(6);.193.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）.（2）.（3）.194.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的對應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，且，或?qū)懽?195.常用的近似計(jì)算公式（當(dāng)充小時(shí)）(1);；(2)；；(3)；(4)；(5)（為弧度）；(6)（為弧度）；(7)（為弧度）196.判別是極大（?。┲档姆椒ó?dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.197.復(fù)數(shù)的相等.（）198.復(fù)數(shù)的模（或絕對值）==.199.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則(1);(2);(3);(4).復(fù)數(shù)200.復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律對于任何，有交換律:.結(jié)合律:.分配律:.201.復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式（，）.202.向量的垂直非零復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則的實(shí)部為零為純虛數(shù)(λ為非零實(shí)數(shù)).203.實(shí)系數(shù)一元二次方程的解實(shí)系數(shù)一元二次方程，①若,則;②若,則;③若，它在實(shí)數(shù)集內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根；在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根.高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。中元素各表示什么？注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。3.注意下列性質(zhì)：（3）德摩根定律：4.你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）的取值范圍。6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。）原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。7.對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？（一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。）8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？（定義域、對應(yīng)法則、值域）9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？義域是_____________。11.求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？12.反函數(shù)存在的條件是什么？（一一對應(yīng)函數(shù)）求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱；②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負(fù)）如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？∴……）15.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？值是（）A.0 B.1 C.2 D.3∴a的最大值為3）16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）注意如下結(jié)論：（1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？函數(shù)，T是一個(gè)周期。）如：18.你掌握常用的圖象變換了嗎？注意如下“翻折”變換：19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？的雙曲線。應(yīng)用：①“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。③求區(qū)間定（動(dòng)），對稱軸動(dòng)（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。由圖象記性質(zhì)?。ㄗ⒁獾讛?shù)的限定！）利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？20.你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？21.如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）如求下列函數(shù)的最值：23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點(diǎn)、對稱軸嗎？（x，y）作圖象。27.在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí)要注意兩個(gè)方面——先求出某一個(gè)三角函數(shù)值，再判定角的范圍。28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時(shí)，你注意（到）運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？（平移變換、伸縮變換）平移公式：圖象？30.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。A.正值或負(fù)值 B.負(fù)值 C.非負(fù)值 D.正值31.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎？理解公式之間的聯(lián)系：應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。（化簡要求：項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。）具體方法：（2）名的變換：化弦或化切（3）次數(shù)的變換：升、降冪公式（4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。32.正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）33.用反三角函數(shù)表示角時(shí)要注意角的范圍。34.不等式的性質(zhì)有哪些？答案：C35.利用均值不等式：值？（一正、二定、三相等）注意如下結(jié)論：36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）并注意簡單放縮法的應(yīng)用。（移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。）38.用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始39.解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論40.對含有兩個(gè)絕對值的不等式如何去解？（找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。）證明：（按不等號方向放縮）42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“△”問題）43.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)0的二次函數(shù)）項(xiàng)，即：44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)46.你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？例如：（1）求差（商）法解：［練習(xí)］（2）疊乘法解：（3）等差型遞推公式［練習(xí)］（4）等比型遞推公式［練習(xí)］（5）倒數(shù)法47.你熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法嗎？例如：（1）裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項(xiàng)。解：［練習(xí)］（2）錯(cuò)位相減法：（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。［練習(xí)］48.你知道儲蓄、貸款問題嗎？△零存整取儲蓄（單利）本利和計(jì)算模型：若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：△若按復(fù)利，如貸款問題——按揭貸款的每期還款計(jì)算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類）若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復(fù)利），那么每期應(yīng)還x元，滿足p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)49.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。（2）排列：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一（3）組合：從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素并組成一組，叫做從n個(gè)不50.解排列與組合問題的規(guī)律是：相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果。如：學(xué)號為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是（）A.24 B.15 C.12 D.10解析：可分成兩類：（2）中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等相同兩數(shù)分別取90，91，92，對應(yīng)的排列可以數(shù)出來，分別有3，4，3種，∴有10種?！喙灿?＋10＝15（種）情況51.二項(xiàng)式定理

性質(zhì)：（3）最值：n為偶數(shù)時(shí)，n＋1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第表示）52.你對隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉嗎？的和（并）。（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時(shí)發(fā)生”叫做A、B互斥。（6）對立事件（互逆事件）：（7）獨(dú)立事件：A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。53.對某一事件概率的求法：分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即（5）如果在一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。（1）從中任取2件都是次品；（2）從中任取5件恰有2件次品；（3）從中有放回地任取3件至少有2件次品；解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”（4）從中依次取5件恰有2件次品。解析：∵一件一件抽取（有順序）分清（1）、（2）是組合問題，（3）是可重復(fù)排列問題，（4）是無重復(fù)排列問題。54.抽樣方法主要有：簡單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的特征是從總體中逐個(gè)抽??；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個(gè)；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。55.對總體分布的估計(jì)——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計(jì)總體的期望和方差。要熟悉樣本頻率直方圖的作法：（2）決定組距和組數(shù)；（3）決定分點(diǎn)；（4）列頻率分布表；（5）畫頻率直方圖。如：從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機(jī)抽樣，則組成此參賽隊(duì)的概率為____________。56.你對向量的有關(guān)概念清楚嗎？（1）向量——既有大小又有方向的量。在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動(dòng)而不改變。（6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。規(guī)定零向量與任意向量平行。（7）向量的加、減法如圖：（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）的一組基底。（9）向量的坐標(biāo)表示表示。57.平面向量的數(shù)量積數(shù)量積的幾何意義：（2）數(shù)量積的運(yùn)算法則［練習(xí)］答案：答案：2答案：58.線段的定比分點(diǎn)※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？59.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：線面平行的判定：線面平行的性質(zhì)：三垂線定理（及逆定理）：