第08講向量基本定理及坐標(biāo)表示（十二大題型）（原卷版）

第08講向量基本定理及坐標(biāo)表示【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：平面向量基本定理1、平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使，稱為的線性組合．①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的．這說明如果且，那么．③當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí)，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，在應(yīng)用時(shí)，構(gòu)成兩個(gè)基底的向量是不共線向量．2、如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個(gè)向量可以寫成任意兩個(gè)不共線的向量的線性組合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問題時(shí)，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過向量的運(yùn)算，達(dá)到解題的目的．（2）在解具體問題時(shí)，要適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示．選擇了不共線的兩個(gè)向量、，平面上的任何一個(gè)向量都可以用、唯一表示為=+，這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含有、的代數(shù)運(yùn)算．知識(shí)點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示1、正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知識(shí)點(diǎn)詮釋：如果基底的兩個(gè)基向量、互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實(shí)上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2、平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底，對(duì)于平面上的一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得=．這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作=，x叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)．把叫做向量的坐標(biāo)表示．給出了平面向量的直角坐標(biāo)表示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一有序數(shù)對(duì)唯一表示，從而建立了向量與實(shí)數(shù)的聯(lián)系，為向量運(yùn)算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）由向量的坐標(biāo)定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等，即且，其中，．（2）要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)別開來．相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同．比如，若，，則；若，，則，，顯然A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)各不相同．（3）在直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量．知識(shí)點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)語言加法與減法記，，實(shí)數(shù)與向量的乘積記，則2、如何進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)．但同時(shí)注意以下幾個(gè)問題：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)是有區(qū)別的，平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)才相等．（2）進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，先要分清向量坐標(biāo)與向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的關(guān)系．（3）要注意用坐標(biāo)求向量的模與用兩點(diǎn)間距離公式求有向線段的長度是一樣的．（4）要清楚向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)．知識(shí)點(diǎn)四：平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示1、平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量，則，即，或．知識(shí)點(diǎn)詮釋：若，則不能表示成因?yàn)榉帜赣锌赡転?．2、三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求每兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定，即已知，，若則A，B，C三點(diǎn)共線．知識(shí)點(diǎn)五：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1、已知兩個(gè)非零向量，，2、設(shè)，則或3、如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）．知識(shí)點(diǎn)六：向量在幾何中的應(yīng)用（1）證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的充要條件（2）證明垂直問題，常用垂直的充要條件（3）求夾角問題，利用（4）求線段的長度，可以利用或【典型例題】題型一：平面向量基本定理的理解【例1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【變式11】（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)?？计谀┰O(shè)是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【變式12】（2024·山東·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和題型二：用基底表示向量【例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，為邊上的中線，，則（

）A． B．C． D．【變式21】（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，P是線段BD上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【變式22】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，和相交于點(diǎn)．記，，則（

）A． B．C． D．【變式23】（2024·陜西·高一校聯(lián)考期末）如圖，在中，設(shè)，，，，則（

）A． B．C． D．題型三：平面向量的坐標(biāo)表示【例3】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，設(shè)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，用這組標(biāo)準(zhǔn)正交基分別表示向量，，，，并求出它們的坐標(biāo)．【變式31】（2024·全國·高一課堂例題）設(shè)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，已知，，．若，求在基下的坐標(biāo)．【變式32】（2024·全國·高一課堂例題）如圖，設(shè)，，，P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的4個(gè)點(diǎn)，且，．求在基下的坐標(biāo)．【變式33】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量，，，求，并用標(biāo)準(zhǔn)正交基表示.題型四：平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例4】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，求，，的坐標(biāo)．【變式41】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量、的坐標(biāo)，求、的坐標(biāo)．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．題型五：平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例5】（2024·湖北恩施·高一利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）過，的直線與x軸交于點(diǎn)P，設(shè)，則【變式51】（2024·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？计谀┮阎苯亲鴺?biāo)平面上兩點(diǎn)、，若滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【變式52】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)在的延長線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【變式53】（2024·山東淄博·高一?？计谀┮阎蛄?，，，且，則.題型六：向量共線的判定【例6】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列各組三點(diǎn)是否共線：(1)，，；(2)，，；(3)，，.【變式61】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知、、三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，判斷向量與是否共線．【變式62】（2024·全國·高一課堂例題）設(shè)，是平面內(nèi)的一組基底，，，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線．題型七：利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)【例7】（2024·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谀┤粝蛄?，，且，則實(shí)數(shù)x的值為．【變式71】（2024·貴州貴陽·高一貴陽市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，三點(diǎn)、、共線，則．【變式72】（2024·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）向量，，，，若，則.題型八：定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及應(yīng)用【例8】（2024·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）已知，，點(diǎn)P是線段MN的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)M，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【變式81】（2024·湖北·高一宜昌市夷陵中學(xué)校聯(lián)考期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，當(dāng)P是線段靠近的一個(gè)四等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【變式82】（2024·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)校考期末）已知兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.題型九：數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【例9】（2024·廣東陽江·高一廣東兩陽中學(xué)校考期末）已知，，若，則x等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【變式91】（2024·江西萍鄉(xiāng)·高一萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)校考期末）已知平面向量，，，若∥，則（

）A． B． C． D．【變式92】（2024·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則（

）A．11 B．7 C．3 D．【變式93】（2024·重慶·高一西南大學(xué)附中校考期末）在矩形中，，，點(diǎn)是AB中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上，若，則（

）A． B． C． D．題型十：平面向量的?！纠?0】（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知向量，，，若，（

）A． B． C． D．【變式101】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知向量，且，則等于（

）A．5 B． C． D．【變式102】（2024·云南昆明·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量，，，則（

）A． B． C． D．10題型十一：平面向量的夾角、垂直問題【例11】（2024·河北邢臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍為【變式111】（2024·云南昆明·高一校考階段練習(xí)）設(shè)x，，向量，，，且，，則向量與的夾角大小為．【變式112】（2024·陜西榆林·高一?？计谀┮阎蛄?(1)求；(2)設(shè)的夾角為，求的值；(3)若向量與互相垂直，求的值.【變式113】（2024·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）已知向量，，，且，(1)求與；(2)若，，求向量，夾角的大小.【變式114】（2024·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，，，且，，設(shè)與交于點(diǎn)．(1)求；(2)求．題型十二：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用【例12】（2024·浙江臺(tái)州·高一溫嶺中學(xué)?？计谀┮阎沁呴L為2的正六邊形內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式121】（2024·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學(xué)?？计谀┮阎?，是邊（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．(1)若點(diǎn)為與的交點(diǎn)，請(qǐng)用表示；(2)若點(diǎn)使得，求的取值范圍．【變式122】（2024·天津·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角B的大?。?2)若，且，，求的面積；(3)如圖，平面四邊形ABCP中，，，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，CP上運(yùn)動(dòng)，且，，求的取值范圍.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·遼寧·高一沈陽二中校聯(lián)考期末）已知，，若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·新疆阿克蘇·高一?？计谀┮阎蛄?，，則（

）A． B．5 C． D．44．（2024·西藏林芝·高一?？计谀┮阎蛄?，，則等于（

）A． B． C． D．5．（2024·四川資陽·高一統(tǒng)考期中）已知，，，則（

）A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線6．（2024·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（

）A． B． C． D．7．（2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．（2024·天津·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）在平行四邊形中，點(diǎn)為對(duì)角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)向量，，則（

）A． B．C． D．與的夾角為10．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．在上的投影向量為 D．若∥，則11．（2024·山東青島·高一青島二中?？计谀┮阎矫嫦蛄浚瑒t下列說法正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或D．若向量與非零向量共線，則12．（2024·浙江臺(tái)州·高一溫嶺中學(xué)?？计谀┮阎呴L為2的正方形ABCD中，點(diǎn)在四條邊上移動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)， B．當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，C．當(dāng)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，是定值 D．當(dāng)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，是定值三、填空題13．（2024·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知中，D為的中點(diǎn)，，若，則.14．（2024·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P滿足，若，則的值是．15．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高一赤峰紅旗中學(xué)松山分校校聯(lián)考期末）如圖，平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，線段上有點(diǎn)滿足，線段上有點(diǎn)滿足，設(shè)，，已知，則．16．（2024·天津·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，且均為靠近的四等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則.四、解答題17．（2024·新疆喀什·高一?？计谀┮阎?，，，分別求下列