湖南省天壹名校聯(lián)盟2024屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

湖南省天壹名校聯(lián)盟2024屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線與曲線相切，則的最小值為（）A． B． C． D．2．某地區(qū)空氣質(zhì)量檢測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.9，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.75，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量也為優(yōu)良的概率為（）A． B． C． D．3．已知空間向量，，則（）A． B． C． D．4．設函數(shù)，若a=),，則（）A． B． C． D．5．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲次，正面向上的次數(shù)為，則（）A． B．C． D．6．已知，則下列不等式正確的是（）A． B．C． D．7．展開式中的系數(shù)為（）A．15 B．20 C．30 D．358．把邊長為的正方形沿對角線折起，使得平面⊥平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則側視圖的面積為()A． B．C． D．9．的二項式系數(shù)之和為（）．A． B． C． D．10．設奇函數(shù)的最小正周期為，則（）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增11．已知函數(shù)f(x)=x2-x-6，在區(qū)間[-6,4]內(nèi)任取一點xA．13 B．25 C．112．一個質(zhì)量均勻的正四面體型的骰子，其四個面上分別標有數(shù)字，若連續(xù)投擲三次，取三次面向下的數(shù)字分別作為三角形的邊長，則其能構成鈍角三角形的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的外接圓半徑為1，，點在線段上，且，則面積的最大值為______.14．已知向量，，．若，則__________．15．中，，則的最大值為____________.16．若則的值為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題：方程有實數(shù)解，命題：，.（1）若是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）某儀器經(jīng)過檢驗合格才能出廠，初檢合格率為；若初檢不合格，則需要進行調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后再次對其進行檢驗；若仍不合格，作為廢品處理，再檢合格率為.每臺儀器各項費用如表：項目生產(chǎn)成本檢驗費/次調(diào)試費出廠價金額（元）（1）求每臺儀器能出廠的概率；（2）求生產(chǎn)一臺儀器所獲得的利潤為元的概率（注：利潤=出廠價-生產(chǎn)成本-檢驗費-調(diào)試費）；（3）假設每臺儀器是否合格相互獨立，記為生產(chǎn)兩臺儀器所獲得的利潤，求的分布列和數(shù)學期望.19．（12分）（1）化簡求值：（2）化簡求值：+20．（12分）如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6.(1)求證:BD⊥平面PAC;(2)求二面角P-BD-A的大小.21．（12分）某技術人員在某基地培育了一種植物,一年后,該技術人員從中隨機抽取了部分這種植物的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進行統(tǒng)計,繪制了如下頻率分布直方圖,已知抽取的樣本植物高度在內(nèi)的植物有8株,在內(nèi)的植物有2株.(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的,的值;(Ⅱ)在選取的樣本中,從高度在內(nèi)的植物中隨機抽取3株,設隨機變量表示所抽取的3株高度在內(nèi)的株數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望;(Ⅲ)據(jù)市場調(diào)研,高度在內(nèi)的該植物最受市場追捧.老王準備前往該基地隨機購買該植物50株.現(xiàn)有兩種購買方案,方案一:按照該植物的不同高度來付費,其中高度在內(nèi)的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照該植物的株數(shù)來付費,每株6元.請你根據(jù)該基地該植物樣本的統(tǒng)計分析結果為決策依據(jù),預測老王采取哪種付費方式更便宜?22．（10分）已知函數(shù).（1）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設．是否存在直線（）與函數(shù)的圖象相切？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：由直線與曲線相切，可以表示出的值，然后用導數(shù)求出的最小值詳解：由題意可得，設切點坐標為，，則則，令，時，，遞減時，，遞增的最小值為故選點睛：本題主要考查了運用導數(shù)的幾何意義來求相切情況，在解答多元問題時，要將其轉化為單元問題，本題在求解中轉化為關于變量的最值，利用導數(shù)即可求出最小值。2、A【解題分析】

設“某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”是事件，“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”是事件，根據(jù)條件概率的計算公式，即可得出結果.【題目詳解】設“某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”是事件，“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”是事件，由題意可得，，所以某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量也為優(yōu)良的概率為.故選A【題目點撥】本題主要考查條件概率，熟記條件概率的計算公式即可，屬于常考題型.3、D【解題分析】

先求，再求模．【題目詳解】∵，，∴，∴．故選：D．【題目點撥】本題考查空間向量模的坐標運算，掌握空間向量模的坐標運算公式是解題基礎．4、D【解題分析】

把化成,利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到最后根據(jù)的單調(diào)性可得的大小關系.【題目詳解】因為且,故,又在上為增函數(shù),所以即.故選:.【題目點撥】本題考查對數(shù)的大小比較,可通過尋找合適的單調(diào)函數(shù)來構建大小關系,如果底數(shù)不統(tǒng)一,可以利用對數(shù)的運算性質(zhì)統(tǒng)一底數(shù),不同類型的數(shù)比較大小,應找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關系的傳遞,難度較易.5、D【解題分析】分析：將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù)，由此能求出正面向上的次數(shù)的分布列詳解：將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù).故選D.點睛：本題考查離散型隨機變量的分布列的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意二項分布的合理運用．6、C【解題分析】

考慮到中不等號方向，先研究C，D中是否有一個正確。構造函數(shù)是增函數(shù)，可得當時，有,所以作差，，對可分類，和【題目詳解】令，顯然單調(diào)遞增，所以當時，有,所以另一方面因為所以，當時，，當時，（由遞增可得），∴，C正確。故選：C?！绢}目點撥】本題考查判斷不等式是否成立，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。對于不等式是否成立，有時可用排除法，即用特例，說明不等式不成立，從而排除此選項，一直到只剩下一個正確選項為止。象本題中有兩個選項結論幾乎相反（或就是相反結論時），可考慮先判斷這兩個不等式中是否有一個為真。如果這兩個都為假，再考慮兩個選項。7、C【解題分析】

利用多項式乘法將式子展開,根據(jù)二項式定理展開式的通項即可求得的系數(shù).【題目詳解】根據(jù)二項式定理展開式通項為則展開式的通項為則展開式中的項為則展開式中的系數(shù)為故選:C【題目點撥】本題考查了二項定理展開式的應用,指定項系數(shù)的求法,屬于基礎題.8、C【解題分析】取BD的中點E，連結CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱錐的側視圖，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面積S=××=，故選C.9、B【解題分析】由題意得二項式系數(shù)和為．選．10、B【解題分析】分析：利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡，根號函數(shù)的周期和奇偶性即可得到結論．詳解：，

∵函數(shù)的周期是，，

∵）是奇函數(shù)，

即∴當時，即則在單調(diào)遞減，

故選：B．點睛：本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式是解決本題的關鍵．11、C【解題分析】

先求出x<0,則【題目詳解】由f(x)≥0得(x-3)(x+2)?0，故x≥3或x≤-2，由-6≤x0≤4，故-6≤x0≤-2或【題目點撥】本題主要考查幾何概型的相關計算，難度一般.12、C【解題分析】

三次投擲總共有64種,只有長度為或223的三邊能構成鈍角三角形,由此計算可得答案.【題目詳解】解：由題可知：三次投擲互不關聯(lián)，所以一共有種情況：能構成鏈角三角形的三邊長度只能是：或者是所以由長度為的三邊構成鈍角三角形一共有：種：由三邊構成鈍角三角形一共有：種：能構成鈍角三角形的概率為.故選:C.【題目點撥】本題考查了古典概型的概率求法,分類計數(shù)原理,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由所以可知為直徑，設，求導得到面積的最大值.【題目詳解】由所以可知為直徑，所以，設，則，在中，有，，所以的面積，.方法一：（導數(shù)法），所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，的面積的最大值為.方法二：（均值不等式），因為.當且僅當，即時等號成立，即.【題目點撥】本題考查了面積的最大值問題，引入?yún)?shù)是解題的關鍵.14、.【解題分析】分析：先計算出，再利用向量平行的坐標表示求的值.詳解：由題得，因為，所以（-1）×（-3）-4=0,所以=.故答案為.點睛：（1）本題主要考查向量的運算和平行向量的坐標表示，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)設=,=，則||.15、【解題分析】分析：先求出，再利用正弦定理求出，再利用三角變換和基本不等式求其最大值.詳解：由題得,由正弦定理得所以的最大值為.故答案為：點睛：（1）本題主要考查平面向量的數(shù)量積，考查正弦定理和三角變換，考查基本不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的解題關鍵有兩點，其一是求出，其二是化簡得到，再利用基本不等式求最大值.16、【解題分析】

由排列數(shù)和組合數(shù)展開可解得n=6.【題目詳解】由排列數(shù)和組合數(shù)可知，化簡得，所以n=6,經(jīng)檢驗符合，所以填6.【題目點撥】本題考查排列數(shù)組合數(shù)方程，一般用公式展開或用排列數(shù)組合公式化簡，求得n,注意n取正整數(shù)且有范圍限制。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）【解題分析】

（1）由方程有實數(shù)根則，可求出實數(shù)的取值范圍.

(2)為真命題,即從而得出的取值范圍,由（1）可得出為假命題時實數(shù)的取值范圍.即可得出答案.【題目詳解】解：（1）方程有實數(shù)解得，，解之得或；（2）為假命題，則，為真命題時，，，則故.故為假命題且為真命題時，.【題目點撥】本題考查命題為真時求參數(shù)的范圍和兩個命題同時滿足條件時，求參數(shù)的范圍，屬于基礎題.18、（1）；（2）（3）見解析【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）每臺儀器能出廠的對立事件為不能出廠，根據(jù)對立事件的概率可得結果；（Ⅱ）由表可知生產(chǎn)一臺儀器所獲得的利潤為元即初檢不合格再次檢測合格，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率可得結果；（Ⅲ）由題意可得可取，，，，，，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算出概率，可得分布列及期望.試題解析：（Ⅰ）記每臺儀器不能出廠為事件，則，所以每臺儀器能出廠的概率．（Ⅱ）生產(chǎn)一臺儀器利潤為1600的概率．（Ⅲ）可取，，，，，．，，，，，．的分布列為：380035003200500200．19、(1)1，(2)【解題分析】

（1）利用倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系式及誘導公式化簡求值；（2）利用同角三角函數(shù)基本關系式、誘導公式及三角函數(shù)的和差化積化簡求值．【題目詳解】（1）===；（2）+=+==（﹣）==．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查誘導公式及同角三角函數(shù)基本關系式的應用，是中檔題．20、(1)見解析;(2)60°.【解題分析】

（1）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD．∴BD⊥PA．∵tan∠ABD==，tan∠BAC==，∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．（2）連接PE，∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥PE，BD⊥AE．∴∠AEP為二面角P﹣BD﹣A的平面角．在Rt△AEB中，AE=ABsin∠ABD=，∴tan∠AEP=，∴∠AEP=60°，∴二面角P﹣BD﹣A的大小為60°．21、(Ⅰ),，；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)方案一付費更便宜.【解題分析】

(Ⅰ)由題目條件及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y．(Ⅱ)由題意可知，高度在[80，90）內(nèi)的株數(shù)為5，高度在[90，100]內(nèi)的株數(shù)為2，共7株．抽取的3株中高度在[80，90）內(nèi)的株數(shù)X的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)所得結論，分別計算按照方案一購買應付費和按照方案二購買應付費，比較結果即可得按照方案一付費更便宜.【題目詳解】(Ⅰ)由題意可知，樣本容量,，.(Ⅱ)由題意可知,高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)為5,高度在[90,100]內(nèi)的株數(shù)為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)X的可能取值為1,2,3,則，，,∴X的分布列為：X123P故.(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)所得結論，高度在內(nèi)的概率為，按照方案一購買應付費元，按照方案二購買應付費元，故按照方案一付費更便宜.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖、分布列和數(shù)學期望，考查能否根據(jù)頻率分布直方圖得出每一組的概率以及一組的數(shù)據(jù)計算總體，求隨機變量的分布列的主要步驟：①明確隨機變量的取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；②求每一個隨機變量取值的概率；③列成表格，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力，屬于中等題.