2024屆北京市對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測試試題含解析

2024屆北京市對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某農(nóng)場給某種農(nóng)作物的施肥量x(單位：噸)與其產(chǎn)量y(單位：噸)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：由于表中的數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程為y=9.4x+a.，當(dāng)施肥量x=6時(shí)，該農(nóng)作物的預(yù)報(bào)產(chǎn)量是(A．72.0 B．67.7 C．65.5 D．63.62．在空間中，給出下列說法：①平行于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線；②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是平行平面；③若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則；④過平面的一條斜線，有且只有一個(gè)平面與平面垂直.其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③3．從不同品牌的4臺“快譯通”和不同品牌的5臺錄音機(jī)中任意抽取3臺,其中至少有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺,則不同的取法共有()A．140種 B．84種 C．70種 D．35種4．設(shè)p、q是兩個(gè)命題，若是真命題，那么（）A．p是真命題且q是假命題 B．p是真命題且q是真命題C．p是假命題且q是真命題 D．p是假命題且q是假命題5．角的終邊與單位圓交于點(diǎn),則（）A． B．- C． D．6．函數(shù)f（x）=，則不等式f（x）＞2的解集為（）A． B．（，-2）∪（，2）C．（1，2）∪（，+∞） D．（，+∞）7．已知a，b∈R，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（）A．270 B．150 C．80 D．709．在下面的四個(gè)圖象中，其中一個(gè)圖象是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則等于（）A． B． C．或 D．10．已知是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．11．下列說法中，正確說法的個(gè)數(shù)是（）①在用列聯(lián)表分析兩個(gè)分類變量與之間的關(guān)系時(shí)，隨機(jī)變量的觀測值越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和0.3③已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若，，，則A．0 B．1 C．2 D．312．下圖是某公司10個(gè)銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位：臺)的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22，30)內(nèi)的概率為()A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，．則函數(shù)f（x）的最小正周期_______14．如圖，在長方形ABCD-中，設(shè)AD=A=1，AB=2，則·等于____________15．某人從處向正東方向走千米，然后向南偏西的方向走3千米，此時(shí)他離點(diǎn)的距離為千米，那么___________千米.16．若的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為-121，則n=___________。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）完成下列證明：（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求證：.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.19．（12分）知函數(shù)，，與在交點(diǎn)處的切線相互垂直.(1)求的解析式；(2)已知,若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)在處有極值，求的值及的單調(diào)區(qū)間.21．（12分）某校從參加高二年級期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生，已知這名學(xué)生的歷史成績均不低于60分（滿分為100分）．現(xiàn)將這名學(xué)生的歷史成績分為四組：，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，其中歷史成績在內(nèi)的有28名學(xué)生，將歷史成績在內(nèi)定義為“優(yōu)秀”，在內(nèi)定義為“良好”．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值及樣本容量；（Ⅱ）根據(jù)歷史成績是否優(yōu)秀，利用分層抽樣的方法從這名學(xué)生中抽取5名，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生的歷史成績均優(yōu)秀的概率；（Ⅲ）請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為歷史成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？男生女生合計(jì)優(yōu)秀良好20合計(jì)60參考公式及數(shù)據(jù)：（其中）.22．（10分）命題：方程有實(shí)數(shù)解，命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓．(1)若命題為真，求的取值范圍；(2)若命題為真，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)回歸直線方程過樣本的中心點(diǎn)(x,y)，先求出中心點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出【題目詳解】x=2+3+4+54=3.5,y=26+39+49+544=42，因?yàn)榛貧w直線方程過樣本的中心點(diǎn)(x【題目點(diǎn)撥】本題考查了回歸直線方程的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、B【解題分析】

說法①：可以根據(jù)線面平行的判定理判斷出本說法是否正確；說法②：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判定定理可以判斷出本說法是否正確；說法③：當(dāng)與相交時(shí)，是否在平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，進(jìn)行判斷；說法④：可以通過反證法進(jìn)行判斷.【題目詳解】①平行于同一個(gè)平面的兩條直線可能平行、相交或異面，不正確；易知②正確；③若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則與可能平行，也可能相交，不正確；易知④正確.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線線位置關(guān)系、面面位置關(guān)系的判斷，分類討論是解題的關(guān)鍵，反證法是經(jīng)常用到的方程.3、C【解題分析】分析：從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺，有兩種方法，一是2臺和1臺；二是1臺和2臺，分別求出取出的方法，即可求出所有的方法數(shù).詳解：由題意知本題是一個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺，快譯通2臺和錄音機(jī)1臺，取法有種；快譯通1臺和錄音機(jī)2臺，取法有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有種.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查分類和分步的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是看出符合條件的事件包含兩種情況，是一個(gè)中檔題目.4、C【解題分析】

先判斷出是假命題，從而判斷出p,q的真假即可.【題目詳解】若是真命題，則是假命題，則p,q均為假命題，故選D.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)復(fù)合命題的真值表的問題，在解題的過程中，首先需要利用是真命題，得到是假命題，根據(jù)“或”形式的復(fù)合命題真值表求得結(jié)果.5、D【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【題目詳解】由題意，角的終邊與單位圓交于點(diǎn),則，由三角函數(shù)的定義，可得，則，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，以及余弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中熟記三角函數(shù)的定義，以及余弦的倍角公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】當(dāng)時(shí)，有，又因?yàn)?，所以為增函?shù)，則有，故有；當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以有，解得，故有．綜上．故選C7、A【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】解：因?yàn)椋?，則等式成立，即充分性成立，若成立，即，所以解得或即必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

根據(jù)題意等比數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的性質(zhì)有，成等比數(shù)列，可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意等比數(shù)列的公比.由等比數(shù)列的性質(zhì)有，成等比數(shù)列所以有，則，所以，故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.9、D【解題分析】

先求導(dǎo)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定導(dǎo)函數(shù)圖像，再求解.【題目詳解】因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)，所以導(dǎo)函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線，所以導(dǎo)函數(shù)圖像是從左至右第三個(gè)，所以，又，即，所以，所以.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)及二次函數(shù)的性質(zhì).10、A【解題分析】

先由復(fù)數(shù)的除法，化簡z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所?故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以共軛復(fù)數(shù)的概念，熟記運(yùn)算法則與概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.11、D【解題分析】

對題目中的三個(gè)命題判斷正誤，即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：對于①，分類變量A與B的隨機(jī)變量K2越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大，①正確；對于②，以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，設(shè)z＝lny，由y＝cekx，兩邊取對數(shù)，可得lny＝ln（cekx）＝lnc+lnekx＝lnc+kx，令z＝lny，可得z＝lnc+kx，又z＝0.3x+4，∴l(xiāng)nc＝4，k＝0.3，c＝e4，②正確；對于③，根據(jù)回歸直線方程為y＝a+bx，，∴ab3﹣2×1＝1，∴③正確；綜上，正確的命題為①②③，共3個(gè)．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了回歸方程，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，隨機(jī)變量K2的概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】區(qū)間[22,31)內(nèi)的數(shù)據(jù)共有4個(gè)，總的數(shù)據(jù)共有11個(gè)，所以頻率為1．4,故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

首先根據(jù)二倍角公式先化簡以及輔助角公式化簡，再根據(jù)即可?！绢}目詳解】由題意得：，∴函數(shù)f（x）的最小正周期；【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡以及周期的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。14、1【解題分析】

選取為基底，把其它向量都用基底表示后計(jì)算．【題目詳解】由題意．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取基底，把向量用基底表示后再進(jìn)行計(jì)算．15、6【解題分析】

根據(jù)題意作出圖形，用正弦定理解出角，可得剛好構(gòu)成直角三角形，可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意作出圖形，如圖.設(shè)向正東方向走千米到處，然后向南偏西的方向走3千米到處.即,由正弦定理得：.所以又,所以.所以，則.所以.則.故答案為：6【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、5【解題分析】

令和，作和即可得到奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和，從而構(gòu)造出方程解得結(jié)果.【題目詳解】令得：令得：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為：，解得：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用問題，關(guān)鍵是采用賦值的方式快速得到系數(shù)和.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.【解題分析】

（Ⅰ）運(yùn)用分析法，兩邊平方，化簡配方即可得證；（Ⅱ）運(yùn)用變形和基本不等式，即可得證。【題目詳解】（I）要證：≥只需證：≥，即證：，即證：,即證：，即證：，這顯然成立，故.（II）依題意，因?yàn)?，故，故?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的證明的方法——分析法和綜合法，意在考查學(xué)生運(yùn)用分析法和使用基本不等式時(shí)涉及到的變形能力，化簡能力以及推理能力。18、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）【解題分析】

（1）將代入函數(shù)解析式，求出，利用導(dǎo)數(shù)值判斷的單調(diào)區(qū)間即可；（2）由題求得，對進(jìn)行分類討論，判斷在處取得極大值時(shí)的范圍即可.【題目詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，所以，令，解得，，，解得；，解得，；所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）由題意，，①當(dāng)時(shí)，，，解得；，解得，；所以在處取極大值；當(dāng)時(shí)，令，得，，②當(dāng)時(shí)，即，或時(shí)，，解得；，解得，；所以在處取極大值；③當(dāng)，即時(shí)，，解得，，解得，，或；所以在處取極大值；④當(dāng)，即時(shí)，，故不存在極值；⑤當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，解得，；，解得，，或；所以在處取極小值；綜上，當(dāng)在處取得極大值時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了分類討論的思想，屬于中檔題.19、(1)．(2)或．【解題分析】分析：（1）分別求出與在交點(diǎn)處切線的斜率，從而得到答案；（2）對求導(dǎo)，分類討論即可.詳解：(1)，，又，，與在交點(diǎn)處的切線相互垂直，,.又在上,，故.(2)由題知.①,即時(shí),令,得;令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,故存在使.又，，，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn),在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn),在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn),共個(gè)零點(diǎn),不符合題意,舍去.②時(shí),令,得，令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，又,,有兩個(gè)零點(diǎn),符合題意.③,即時(shí),令,得,令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn),若要有兩個(gè)零點(diǎn),必有,解得.④,即時(shí),令,得，令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增，,在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，又，∴在區(qū)間∴上不存在零點(diǎn),即只有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意.綜上所述,或.點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)或函數(shù)圖象交點(diǎn)問題的求解，一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點(diǎn)或圖象的交點(diǎn)情況，建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一．20、見解析.【解題分析】試題分析:由極值定義得，解得，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.試題解析:的定義域?yàn)椋?，由題意可得，解得：，從而，顯然在上是減函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故的單調(diào)增區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是21、（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)頻率之和為1即可求出a的值，由歷史成績在內(nèi)的有名學(xué)生即可求出的值；（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣具有按比例的性質(zhì)得出良好的有2人，優(yōu)秀有3人，通過列舉法求解概率；（Ⅲ）補(bǔ)充列聯(lián)表，算出，對比表格得出結(jié)論【題目詳解】（Ⅰ）由題可得，解得