2024屆陜西省西安市高新一中、交大附中、師大附中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆陜西省西安市高新一中、交大附中、師大附中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)f(x)＝axA．193 B．163 C．133．如圖，，分別是邊長為4的等邊的中線，圓是的內(nèi)切圓，線段與圓交于點(diǎn).在中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．4．已知四個命題：①如果向量與共線，則或；②是的充分不必要條件；③命題：，的否定是：，；④“指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”此三段論大前提錯誤，但推理形式是正確的.以上命題正確的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知點(diǎn)，則點(diǎn)軌跡方程是（）A． B．C． D．6．若集合，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．7．在鈍角中，角的對邊分別是，若，則的面積為A． B． C． D．8．已知，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知向量，，若∥，則A． B． C． D．10．設(shè)集合，分別從集合A和B中隨機(jī)抽取數(shù)x和y，確定平面上的一個點(diǎn)，記“點(diǎn)滿足條件”為事件C，則（）A． B． C． D．11．函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在區(qū)間是()A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，5）12．中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知,則A=A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．14．設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布如下：則的值為__________．15．如果實(shí)數(shù)滿足線性約束條件，則的最小值等于．16．一個直三棱柱的每條棱長都是，且每個頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，，函數(shù)，在中，，，點(diǎn)在邊上，且．（1）求的長；（2）求的面積．18．（12分）觀察下列等式：；；；；……（1）照此規(guī)律，歸納猜想第個等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，，分別是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）函數(shù)(為實(shí)數(shù)).(1)若，求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)在上的最小值及相應(yīng)的的值；(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知橢圓：的一個焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上.（1）求橢圓的方程；（2）若直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，問軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.22．（10分）甲，乙二人進(jìn)行乒乓球比賽，已知每一局比賽甲勝乙的概率是，假設(shè)每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(Ⅰ)比賽采用三局兩勝制，即先獲得兩局勝利的一方為獲勝方，這時比賽結(jié)束．求在一場比賽中甲獲得比賽勝利的概率；(Ⅱ)比賽采用三局兩勝制，設(shè)隨機(jī)變量為甲在一場比賽中獲勝的局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值；(Ⅲ)有以下兩種比賽方案：方案一，比賽采用五局三勝制；方案二，比賽采用七局四勝制.問哪個方案對甲更有利.（只要求直接寫出結(jié)果）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

對任意的，恒成立對任意的，恒成立，對任意的，恒成立，參變分離得到恒成立，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求出在上的最小值即可．【題目詳解】解：對任意的，，即恒成立對任意的，恒成立，對任意的，恒成立，恒成立，又由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，，，即．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，恒成立問題的基本處理方法，屬于中檔題．2、D【解題分析】

由題，求導(dǎo)，將x=-1代入可得答案.【題目詳解】函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=3ax解得a=10故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

利用等邊三角形中心的性質(zhì)，求得內(nèi)切圓的半徑和陰影部分面積，再根據(jù)幾何概型計(jì)算公式計(jì)算出所求的概率.【題目詳解】在中，，，因?yàn)椋?，即圓的半徑為，由此可得圖中陰影部分的面積等于，的面積為，故所求概率.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識.屬于中檔題.4、B【解題分析】

由向量共線定理可判斷①；由充分必要條件的定義可判斷②；由特稱命題的否定為全稱命題，可判斷③；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷④．【題目詳解】①，如果向量與共線，可得xy，不一定或，故①錯誤；②，|x|≤3?﹣3≤x≤3，x≤3不能推得|x|≤3，但|x|≤3能推得x≤3，x≤3是|x|≤3的必要不充分條件，故②錯誤；③，命題p：?x0∈（0，2），的否定是￢p：?x∈（0，2），x2﹣2x﹣3≥0，故③錯誤；④，“指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)”由于a＞1時，y＝ax為增函數(shù)，0＜a＜1時，y＝ax為減函數(shù)，此三段論大前提錯誤，但推理形式是正確的，故④正確．其中正確個數(shù)為1．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假判斷，主要是向量共線定理和充分必要條件的判斷、命題的否定和三段論，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】由雙曲線的定義可知：點(diǎn)位于以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上，且，故其軌跡方程為，應(yīng)選答案A。6、C【解題分析】

由題意首先求得集合B，然后逐一考查所給選項(xiàng)是否正確即可．【題目詳解】求解二次不等式可得：，則．據(jù)此可知：，選項(xiàng)A錯誤；，選項(xiàng)B錯誤；且集合A是集合B的子集，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯誤．本題選擇C選項(xiàng)，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關(guān)系的判斷等知識，熟記集合的基本運(yùn)算方法是解答的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力．7、A【解題分析】

根據(jù)已知求出b的值，再求三角形的面積.【題目詳解】在中，，由余弦定理得：，即，解得：或.∵是鈍角三角形，∴（此時為直角三角形舍去）.∴的面積為.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦定理解三角形和三角形的面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

由題意可構(gòu)造函數(shù)，由在上恒成立，分離參數(shù)并構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性并求得最小值，即可求出的取值范圍.【題目詳解】由，得恒成立，令，即，，則在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，等價于，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，即故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式恒成立問題的解法，考查導(dǎo)數(shù)和構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.9、D【解題分析】

根據(jù)∥得到，解方程即得x的值.【題目詳解】根據(jù)∥得到.故答案為D【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)如果=,=，則||的充要條件是.10、A【解題分析】

求出從集合A和B中隨機(jī)各取一個數(shù)x，y的基本事件總數(shù)，和滿足點(diǎn)P（x，y）滿足條件x2+y2≤16的基本事件個數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案．【題目詳解】∵集合A＝B＝{1，2，3，4，5，6}，分別從集合A和B中隨機(jī)各取一個數(shù)x，y，確定平面上的一個點(diǎn)P（x，y），共有6×6＝36種不同情況，其中P（x，y）滿足條件x2+y2≤16的有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8個，∴C的概率P（C），故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)是古典概型概率計(jì)算公式，考查了列舉法計(jì)算基本事件的個數(shù)，其中熟練掌握利用古典概型概率計(jì)算公式求概率的步驟，是解答的關(guān)鍵．11、C【解題分析】

試題分析：設(shè)的零點(diǎn)在區(qū)間與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在區(qū)間是，故選C．考點(diǎn)：曲線的交點(diǎn)．【方法點(diǎn)晴】本題考曲線的交點(diǎn)，涉及數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，以及邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、綜合程度高，屬于較難題型．12、C【解題分析】試題分析：由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故選C.【考點(diǎn)】余弦定理【名師點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，是高考?？贾R內(nèi)容.本題難度較小，解答此類問題，注重邊角的相互轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵，本題能較好地考查考生分析問題、解決問題的能力及基本計(jì)算能力等.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：利用換元法簡化不等式，令t=2x﹣2﹣x，t∈[，]，22x+2﹣2x=t2+2，整理可得a≥﹣（t+），t∈[，]根據(jù)函數(shù)y=t+的單調(diào)性求出最大值即可．詳解：a（2x﹣2﹣x）+≥0在x∈[1，2]時恒成立，令t=2x﹣2﹣x，t∈[，]，∴22x+2﹣2x=t2+2，∴a≥﹣（t+），t∈[，]，顯然當(dāng)t=是，右式取得最大值為﹣，∴a≥﹣．故答案為[﹣，+∞）．點(diǎn)睛：考查了換元法的應(yīng)用和恒成立問題的轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用．恒成立的問題的解決方法：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）.14、【解題分析】分析：離散型隨機(jī)變量的概率之和為1詳解：解得：。點(diǎn)睛：離散型隨機(jī)變量的概率之和為1，是分布列的性質(zhì)。15、【解題分析】試題分析：作出約束條件表示的可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），再作直線，上下平移直線，當(dāng)過點(diǎn)時，取得最小值.考點(diǎn)：簡單的線性規(guī)劃.16、【解題分析】

設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為，則球心為線段的中點(diǎn)，利用勾股定理求出球的半徑，由此能求出球的表面積．【題目詳解】∵一個直三棱柱的每條棱長都是，且每個頂點(diǎn)都在球的球面上，∴設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為，則球心為線段的中點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，則∴球的表面積.故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查球的表面積的求法，空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3；（2）.【解題分析】

（1）首先化簡得到，根據(jù)得到，再利用正弦定理即可求出的長度.（2）首先在中利用余弦定理求得，再利用面積公式即可求出.【題目詳解】（1）.因?yàn)?，，，所以?又因?yàn)椋?，在中，由正弦定理得：，解得?（2）因?yàn)?，所?在中，由余弦定理得：.整理得：，解得或（舍去）.所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同時考查了三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.18、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】分析：（1）第個等式為.(2)利用個數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.詳解：（1）第個等式為；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時，左邊，右邊,所以當(dāng)時，原等式成立.②假設(shè)當(dāng)時原等式成立，即,則當(dāng)時，,所以當(dāng)時，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想對任何都成立.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查歸納猜想和數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是證明n=k+1時，=.19、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）依據(jù)線面平行的判定定理，在面中尋找一條直線與平行，即可由線面平行的判定定理證出；(2)建系，分別求出平面，平面的法向量，根據(jù)二面角的計(jì)算公式即可求出二面角的余弦值．【題目詳解】（1）證明：如圖，取中點(diǎn)為，連結(jié)，則，所以與平行與且相等，所以四邊形是平行四邊形，所以平面，平面，所以平面.（2）令，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在菱形中，，所以，，在中，，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，所以，所以可取，又因平面的法向量，所以.由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行的判定定理應(yīng)用以及二面角的求法，常見求二面角的方法有定義法，三垂線法，坐標(biāo)法．20、（1）函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）見解析；（3）.【解題分析】試題分析：（1）當(dāng)時，在（0，+∞）上恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)；（2）求導(dǎo))，當(dāng)x∈[1，e]時，．分①，②，③，三種情況得到函數(shù)f（x）在[1，e]上是單調(diào)性，進(jìn)而得到[f（x）]min；（3）由題意可化簡得到，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求出最小值為．試題解析：(1)當(dāng)時，，其定義域?yàn)?，，?dāng)時，恒成立，故函數(shù)在上是增函數(shù).(2)，當(dāng)時，，①若，在上有(僅當(dāng)，時，)，故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時；②若，由，得，當(dāng)時，有，此時在區(qū)間上是減函數(shù)；當(dāng)時，有，此時，在區(qū)間上是增函數(shù)，故；③若，在上有(僅當(dāng)，時，)，故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時綜上可知，當(dāng)時，的最小值為1，相應(yīng)的的值為1；當(dāng)時，的最小值為，相應(yīng)的值為；當(dāng)時，的最小值為，相應(yīng)的的值為.(3)不等式可化為，因?yàn)?，所以，且等號不能同時取，所以，即，所以，令，則，當(dāng)時，，，從而(僅當(dāng)時取等號)，所以在上為增函數(shù)，所以的最小值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：不等式的存在問題即為不等式的有解問題，常用的方法有兩個：一是，分離變量法，將變量和參數(shù)移到不等式的兩邊，要就函數(shù)的圖像，找參數(shù)范圍即可；二是，含參討論法，此法是一般方法，也是高考的熱點(diǎn)問題，需要求導(dǎo)，討論參數(shù)的范圍，結(jié)合單調(diào)性處理.21、（1）（2）見解析【解題分析】

先求出c的值，再根據(jù)，又，即可得到橢圓的方程;假設(shè)y軸上存在點(diǎn)，是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)，，即可求出m的值，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)【題目詳解】由題意可得，點(diǎn)在C上，，又，解得，，橢圓C的方程為，假設(shè)y軸上存在點(diǎn)，是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為