高考數(shù)學大一輪復習 第四章 平面向量第四章平面向量-人教版高三數(shù)學試題

第四章平面向量第四章平面向量第一節(jié)平面向量的基本概念及線性運算[考情展望]1.在平面幾何圖形中考查向量運算的平行四邊形法則及三角形法則.2.以四種命題及充分必要條件為知識載體，考查向量的有關概念.3.借助共線向量定理探求點線關系或求參數(shù)的值．一、向量的有關概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)．2．零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．3．單位向量：長度等于1個單位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行．5．相等向量：長度相等且方向相同的向量．6．相反向量：長度相等且方向相反的向量．二、向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則b＋a法則(1)交換律：a＋b＝a＋(b＋c)．(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝平行四邊形減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb向量加減法運算的兩個關鍵點：加法的三角形法則關鍵是“首尾相接，指向終點”，并可推廣為多個向量相加的“多邊形法則”；減法的三角形法則關鍵是“起點重合，指向被減向量”．三、平面向量共線定理向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa.巧用系數(shù)判共線eq\o(OA,\s\up12(→))＝λeq\o(OB,\s\up12(→))＋μeq\o(OC,\s\up12(→))(λ，μ∈R)，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1；反之，也成立．1．化簡eq\o(OP,\s\up12(→))－eq\o(QP,\s\up12(→))＋eq\o(MS,\s\up12(→))＋eq\o(QM,\s\up12(→))的結(jié)果為()A.eq\o(OM,\s\up12(→))B.eq\o(SM,\s\up12(→))C.eq\o(PS,\s\up12(→))D.eq\o(OS,\s\up12(→))【答案】D2．下列給出的命題正確的是()A．零向量是唯一沒有方向的向量B．平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個C．a(chǎn)與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量D．相等的向量必是共線向量【答案】D3．設a，b為不共線向量，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝－5a－3b，則下列關系式中正確的是()A.eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→)) B.eq\o(AD,\s\up12(→))＝2eq\o(BC,\s\up12(→))C.eq\o(AD,\s\up12(→))＝－eq\o(BC,\s\up12(→)) D.eq\o(AD,\s\up12(→))＝－2eq\o(BC,\s\up12(→))【答案】B4．(2014·福建高考)設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up12(→)) B．2eq\o(OM,\s\up12(→))C．3eq\o(OM,\s\up12(→)) D．4eq\o(OM,\s\up12(→))【答案】D5．設a、b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|【答案】C6．(2013·四川高考)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝λeq\o(AO,\s\up12(→))，則λ＝.【答案】2考向一[071]平面向量的有關概念給出下列四個命題：①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②若eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形；③若a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞b；④λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中假命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【答案】D規(guī)律方法11.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認為④是正確的；(2)充分利用反例進行否定是對向量的有關概念題進行判定的行之有效的方法．2．準確理解向量的基本概念是解決這類題目的關鍵：(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性；(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點無關．3．“向量”和“有向線段”是兩個不同的概念，向量只有兩個要素：大小、方向；而有向線段有三個要素：起點、方向、長度．對點訓練給出下列四個命題：①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若a＝b，b＝c，則a＝c；③若a∥b，b∥c，則a∥c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【答案】C考向二[072]平面向量的線性運算(1)在△ABC中，若D是AB邊上一點，且eq\o(AD,\s\up12(→))＝2eq\o(DB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋λeq\o(CB,\s\up12(→))，則λ＝()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)(2)若O是△ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且2eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝0，那么()A.eq\o(AO,\s\up12(→))＝eq\o(OD,\s\up12(→)) B.eq\o(AO,\s\up12(→))＝2eq\o(OD,\s\up12(→))C.eq\o(AO,\s\up12(→))＝3eq\o(OD,\s\up12(→)) D．2eq\o(AO,\s\up12(→))＝eq\o(OD,\s\up12(→))【答案】(1)A(2)A規(guī)律方法21.解答本例(1)的關鍵是利用向量的加法與減法把eq\o(CD,\s\up12(→))用eq\o(CA,\s\up12(→))、eq\o(CB,\s\up12(→))表示出來．解答本例(2)的關鍵是eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝2eq\o(OD,\s\up12(→)).2．進行向量的線性運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來解．對點訓練(1)(2014·課標全國卷Ⅰ)設D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則eq\o(EB,\s\up12(→))＋eq\o(FC,\s\up12(→))＝()A.eq\o(BC,\s\up12(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))C.eq\o(AD,\s\up12(→))D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up12(→))(2)(2015·南京質(zhì)檢)已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿足eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(BP,\s\up12(→))＋eq\o(CP,\s\up12(→))＝0，eq\o(AP,\s\up12(→))＝λeq\o(PD,\s\up12(→))，則實數(shù)λ的值為．【答案】(1)C(2)－2考向三[073]共線向量定理的應用設兩個非零向量e1和e2不共線．(1)如果eq\o(AB,\s\up12(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up12(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up12(→))＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點共線．(2)如果eq\o(AB,\s\up12(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up12(→))＝2e1－3e2，eq\o(AF,\s\up12(→))＝3e1－ke2，且A、C、F三點共線，求k的值．【嘗試解答】(1)eq\o(AB,\s\up12(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up12(→))＝3e1＋2e2，∴eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝4e1＋e2，又eq\o(CD,\s\up12(→))＝－8e1－2e2，所以eq\o(CD,\s\up12(→))＝－2eq\o(AC,\s\up12(→))，∴eq\o(AC,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))共線，又∵eq\o(AC,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))有公共點C，∴A、C、D三點共線．(2)∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up12(→))＝2e1－3e2，∴eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝3e1－2e2.∵A、C、F三點共線，∴eq\o(AC,\s\up12(→))∥eq\o(AF,\s\up12(→))，從而存在實數(shù)λ，使得eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(AF,\s\up12(→)).∴3e1－2e2＝3λe1－λke2，又e1，e2是不共線的非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝3λ，,－2＝－λk，))因此k＝2.所以實數(shù)k的值為2.規(guī)律方法31.向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實數(shù)λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運用．2．證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．對點訓練(1)已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向(2)對于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】(1)D(2)A易錯易誤之八忽視零向量的特殊性致誤——————————[1個示范例]——————下列命題正確的是()A．向量a、b共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)λ，使b＝λaB．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中兩個等號不可能同時成立D．向量a、b不共線，則向量a＋b與向量a－b必不共線【解析】A不正確，當a＝b＝0時，有無數(shù)個實數(shù)λ滿足b＝λa.此處在求解時，常因忽視“共線向量定理中的條件a≠0”而致誤．B不正確，在△ABC中，eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0.此處在求解時，常因混淆向量與數(shù)量的關系致誤，0是向量，其模為0，而0是數(shù)量，沒有方向．C不正確，當b＝0時，不等式|a|≤|a|≤|a|顯然成立．此處在求解時，常受代數(shù)不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|的影響，而忽略了向量中0的作用導致錯誤．D正確．∵向量a與b不共線，∴a，b，a＋b與a－b均不為零向量．若a＋b與a－b平行，則存在實數(shù)λ，使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－1＝0，,1＋λ＝0，))λ無解，故假設不成立，即a＋b與a－b不平行，故選D.【防范措施】(1)共線向量定理中，b＝λa要求a≠0，否則λ值可能不存在．(2)向量的加減及數(shù)乘運算的結(jié)果，仍然是一個向量，而不是一個數(shù)．(3)應熟練掌握向量不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|等號成立的條件．————————[1個防錯練]———————下列說法不正確的有．①若a∥b，則a與b的方向相同或相反；②若λa＝0，則λ＝0；③相反向量必不相等；④若a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R，且λ≠0，則a∥b的充要條件是e2＝0.【解析】①不正確，如a＝0.②不正確，λa＝0，則λ＝0或a＝0.③不正確，0＝－0.④不正確，當e1∥e2時該命題也成立．【答案】①②③④課時限時檢測(二十五)平面向量的基本概念及線性運算(時間：60分鐘滿分：80分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1．若a＋c與b都是非零向量，則“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A2．已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b【答案】B3．如圖4－1－1，正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＋eq\o(EF,\s\up12(→))＝()圖4－1－1A．0 B.eq\o(BE,\s\up12(→))C.eq\o(AD,\s\up12(→)) D.eq\o(CF,\s\up12(→))【答案】D4．設a，b都是非零向量，下列四個條件中，一定能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的是()A．a(chǎn)＝－eq\f(1,3)b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)⊥b【答案】A5．設a，b是兩個非零向量()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥bB．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ，使得b＝λaD．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b|【答案】C6．已知△ABC和點M滿足eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→))＋eq\o(MC,\s\up12(→))＝0.若存在實數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝meq\o(AM,\s\up12(→))成立，則m＝()A．2B．3C．4D．5【答案】B二、填空題(每小題5分，共15分)7．如圖4－1－2所示，向量a－b＝(用e1，e2表示)．圖4－1－2【答案】e1－3e28．若|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝5，則|eq\o(BC,\s\up12(→))|的取值范圍是．【答案】[3,13]9．已知向量a，b是兩個非零向量，則在下列四個條件中，能使a、b共線的條件是(將正確的序號填在橫線上)．①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e②存在相異實數(shù)λ、μ，使λa＋μb＝0；③xa＋yb＝0(實數(shù)x，y滿足x＋y＝0)．【答案】①②三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)設a，b是不共線的兩個非零向量．(1)若eq\o(OA,\s\up12(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up12(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝a－3b，求證：A、B、C三點共線．(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數(shù)k(3)若eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝2a－3b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝2a－kb，且A、C、D三點共線，求k的值．【解】(1)證明eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝a＋2b，eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝－a－2b.所以eq\o(AC,\s\up12(→))＝－eq\o(AB,\s\up12(→))，又因為A為公共點，所以A、B、C三點共線．(2)設8a＋kb＝λ(ka＋2b則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＝λk，,k＝2λ))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝4，,λ＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－4，,λ＝－2，))所以實數(shù)k的值為±4.(3)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b，因為A、C、D三點共線，所以eq\o(AC,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))共線．從而存在實數(shù)λ使eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(CD,\s\up12(→))，即3a－2b＝λ(2a－kb)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(4,3)，所以k＝eq\f(4,3).11．(12分)如圖4－1－3所示，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up12(→))，P是BN上的一點，若eq\o(AP,\s\up12(→))＝meq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up12(→))，求實數(shù)m的值．圖4－1－3【解】如題圖所示，eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BP,\s\up12(→))，∵P為BN上一點，則eq\o(BP,\s\up12(→))＝keq\o(BN,\s\up12(→))，∴eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋keq\o(BN,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋k(eq\o(AN,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))又eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up12(→))，即eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up12(→))，因此eq\o(AP,\s\up12(→))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(k,4)eq\o(AC,\s\up12(→))，所以1－k＝m，且eq\f(k,4)＝eq\f(2,11)，解得k＝eq\f(8,11)，則m＝1－k＝eq\f(3,11).12．(13分)設O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up12(→)),|\o(AB,\s\up12(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up12(→)),|\o(AC,\s\up12(→))|))，λ∈[0，＋∞)．求點P的軌跡，并判斷點P的軌跡通過下述哪一個定點：①△ABC的外心；②△ABC的內(nèi)心；③△ABC的重心；④△ABC的垂心．【解】如圖，記eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up12(→)),|\o(AB,\s\up12(→))|)，eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up12(→)),|\o(AC,\s\up12(→))|)，則eq\o(AM,\s\up12(→))，eq\o(AN,\s\up12(→))都是單位向量，∴|eq\o(AM,\s\up12(→))|＝|eq\o(AN,\s\up12(→))|，eq\o(AQ,\s\up12(→))＝eq\o(AM,\s\up12(→))＋eq\o(AN,\s\up12(→))，則四邊形AMQN是菱形，∴AQ平分∠BAC，∵eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(AP,\s\up12(→))，由條件知eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋λeq\o(AQ,\s\up12(→))，∴eq\o(AP,\s\up12(→))＝λeq\o(AQ,\s\up12(→))(λ∈[0，＋∞))，∴點P的軌跡是射線AQ，且AQ通過△ABC的內(nèi)心．第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示[考情展望]1.考查用平面向量的坐標運算進行向量的線性運算.2.考查應用平面向量基本定理進行向量的線性運算.3.以向量的坐標運算及共線向量定理為載體，考查學生分析問題和解決問題的能力．一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底．二、平面向量的坐標運算及向量平行的坐標表示1．平面向量的坐標運算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up12(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝eq\r(|x2－x12＋y2－y12|).(3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)．2．向量平行的坐標表示(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件為x1y2－x2y1＝0.(2)三點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件為(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.共線向量的坐標表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2－x2y1＝0.1．下列各組向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(eq\f(1,2)，－eq\f(3,4))，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是()A．①B．①③C．②③D．①②③【答案】A2．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，則2b－a的坐標是()A．(3，－4) B．(－3,4)C．(3,4) D．(－3，－4)【答案】D3．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，則y等于()A．5B．10C.eq\f(32,5)D．15【答案】B4．(2014·福建高考)在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)【答案】B5．(2013·廣東高考)設a是已知的平面向量且a≠0.關于向量a的分解，有如下四個命題：①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c；②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc；③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μc；④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B6．(2013·北京高考)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖4－2－1所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝.圖4－2－1【答案】4

考向一[074]平面向量基本定理及其應用(1)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點．若eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(AE,\s\up12(→))＋μeq\o(AF,\s\up12(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝.圖4－2－2(2)如圖4－2－2，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設eq\o(AD,\s\up12(→))＝a，eq\o(AB,\s\up12(→))＝b，若eq\o(AB,\s\up12(→))＝2eq\o(DC,\s\up12(→))，則eq\o(AO,\s\up12(→))＝(用向量a和b表示)．【答案】(1)eq\f(4,3)(2)eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b規(guī)律方法11.解答本例(1)的關鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關于λ，μ的方程組．2．(1)利用平面向量基本定理表示向量時，要選擇一組恰當?shù)幕讈肀硎酒渌蛄?，即用特殊向量表示一般向量．常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問題．(2)利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用三角形法則進行向量的加減運算，在解題時，注意方程思想的運用．對點訓練(2013·江蘇高考)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up12(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up12(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up12(→))(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為．【答案】eq\f(1,2)考向二[075]平面向量的坐標運算已知O(0,0)，A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，eq\o(CA,\s\up12(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up12(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up12(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求M、N的坐標及向量eq\o(MN,\s\up12(→))的坐標．【嘗試解答】a＝eq\o(AB,\s\up12(→))＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)，b＝eq\o(BC,\s\up12(→))＝(－3－3，－4－(－1))＝(－6，－3)，c＝eq\o(CA,\s\up12(→))＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1,8)．(1)3a＋b－3＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)由a＝mb＋nc，得(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n,8＝(－6m＋n，－3m＋8∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)∵eq\o(CM,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up12(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up12(→))＝eq\o(ON,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up12(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴eq\o(MN,\s\up12(→))＝(9，－18)．規(guī)律方法21.向量的坐標運算主要是利用向量加減、數(shù)乘運算的法則進行．若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標，注意方程思想的應用．2．平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言——“坐標語言”，實質(zhì)是“形”化為“數(shù)”．向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來．對點訓練(1)(2014·廣東高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，則b－a＝()A．(－2,1) B．(2，－1)C．(2,0) D．(4,3)(2)(2014·北京高考)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則2a－bA．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)【答案】(1)B(2)A

考向三[076]平面向量共線的坐標表示(1)設向量a，b滿足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為．(2)向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，tanα))，b＝(cosα，1)，且a∥b，則cos2α＝()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(7,9)D.eq\f(7,9)【答案】(1)(－4，－2)(2)D規(guī)律方法31.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，則b＝λa.2．向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解．對點訓練(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2(2)已知向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up12(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up12(→))＝(5－m，－3－m)，若點A、B、C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是．【答案】(1)B(2)m≠eq\f(1,2)思想方法之十二待定系數(shù)法在向量運算中的應用根據(jù)向量之間的關系，利用待定系數(shù)法列出一個含有待定系數(shù)的恒等式，然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)求出各待定系數(shù)的值或消去這些待定系數(shù)，找出原來那些系數(shù)之間的關系，從而使問題得到解決．——————————[1個示范例]——————如圖4－2－3所示，在△OAB中，eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up12(→))，圖4－2－3eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up12(→))，AD與BC交于點M，設eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，利用a和b表示向量eq\o(OM,\s\up12(→)).【解】設eq\o(OM,\s\up12(→))＝ma＋nb，則eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)b－a.因為A、M、D三點共線，所以存在實數(shù)λ，使eq\o(AM,\s\up12(→))＝λeq\o(AD,\s\up12(→))，即(m－1)a＋nb＝－λa＋eq\f(λ,2)b.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＝－λ，,n＝\f(λ,2)，))消去λ，得m＋2n＝1，①同理eq\o(CM,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＝ma＋nb－eq\f(1,4)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb，eq\o(CB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＝b－eq\f(1,4)a，因為C、M、B三點共線，所以存在實數(shù)t，使eq\o(CM,\s\up12(→))＝teq\o(CB,\s\up12(→))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,4)a)).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)＝－\f(1,4)t，,n＝t，))消去t，得4m＋n＝1，②聯(lián)立①②，得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,7)，所以eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b.,————————[1個對點練]———————如圖4－2－4所示，M是△ABC內(nèi)一點，且滿足條件eq\o(AM,\s\up12(→))＋2eq\o(BM,\s\up12(→))＋3eq\o(CM,\s\up12(→))＝0，延長CM交AB于N，令eq\o(CM,\s\up12(→))＝a，試用a表示eq\o(CN,\s\up12(→)).圖4－2－4【解】因為eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\o(AN,\s\up12(→))＋eq\o(NM,\s\up12(→))，eq\o(BM,\s\up12(→))＝eq\o(BN,\s\up12(→))＋eq\o(NM,\s\up12(→))，所以由eq\o(AM,\s\up12(→))＋2eq\o(BM,\s\up12(→))＋3eq\o(CM,\s\up12(→))＝0，得(eq\o(AN,\s\up12(→))＋eq\o(NM,\s\up12(→)))＋2(eq\o(BN,\s\up12(→))＋eq\o(NM,\s\up12(→)))＋3eq\o(CM,\s\up12(→))＝0，所以eq\o(AN,\s\up12(→))＋3eq\o(NM,\s\up12(→))＋2eq\o(BN,\s\up12(→))＋3eq\o(CM,\s\up12(→))＝0.又因為A，N，B三點共線，C，M，N三點共線，由平面向量基本定理，設eq\o(AN,\s\up12(→))＝λeq\o(BN,\s\up12(→))，eq\o(CM,\s\up12(→))＝μeq\o(NM,\s\up12(→))，所以λeq\o(BN,\s\up12(→))＋3eq\o(NM,\s\up12(→))＋2eq\o(BN,\s\up12(→))＋3μeq\o(NM,\s\up12(→))＝0.所以(λ＋2)eq\o(BN,\s\up12(→))＋(3＋3μ)eq\o(NM,\s\up12(→))＝0.由于eq\o(BN,\s\up12(→))和eq\o(NM,\s\up12(→))不共線，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2＝0，,3＋3μ＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－1.))所以eq\o(CM,\s\up12(→))＝－eq\o(NM,\s\up12(→))＝eq\o(MN,\s\up12(→))，eq\o(CN,\s\up12(→))＝eq\o(CM,\s\up12(→))＋eq\o(MN,\s\up12(→))＝2eq\o(CM,\s\up12(→))＝2a.課時限時檢測(二十六)平面向量基本定理及坐標表示(時間：60分鐘滿分：80分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1．若向量eq\o(BA,\s\up12(→))＝(2,3)，eq\o(CA,\s\up12(→))＝(4,7)，則eq\o(BC,\s\up12(→))＝()A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)【答案】A2．(2013·陜西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，則實數(shù)m等于()A．－eq\r(2) B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．0【答案】C3．已知向量m＝(2,0)，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2))).在△ABC中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝2m＋2n，eq\o(AC,\s\up12(→))＝2m－6n，D是BC邊的中點，則|eq\o(AD,\s\up12(→))|等于()A．2B．4C．6D．8【答案】A4．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up12(→))，則x的取值范圍()A．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．(－1,0)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))【答案】C5．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)【答案】D6．△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a，b，c，設向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)【答案】B二、填空題(每小題5分，共15分)7．若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值為．【答案】eq\f(1,2)8．在△ABC中，若點D是邊AB上靠近點B的三等分點，若eq\o(CB,\s\up12(→))＝a，eq\o(CA,\s\up12(→))＝b，則eq\o(CD,\s\up12(→))等于．【答案】eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b9．已知A(－3,0)，B(0，eq\r(3))，O為坐標原點，C在第二象限，且∠AOC＝30°，eq\o(OC,\s\up12(→))＝λeq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))，則實數(shù)λ的值為．【答案】1三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)設坐標平面上有三點A，B，C，i，j分別是坐標平面上x軸、y軸正方向上的單位向量，若向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝i－2j，eq\o(BC,\s\up12(→))＝i＋mj，那么是否存在實數(shù)m，使A，B，C三點共線．【解】法一假設滿足條件的m存在，由A，B，C三點共線，得eq\o(AB,\s\up12(→))∥eq\o(BC,\s\up12(→))，∴存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(BC,\s\up12(→))，即i－2j＝λ(i＋mj)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λm＝－2，))∴m＝－2.∴當m＝－2時，A，B，C三點共線．法二假設滿足條件的m存在，根據(jù)題意可知i＝(1,0)，j＝(0,1)．∴eq\o(AB,\s\up12(→))＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，eq\o(BC,\s\up12(→))＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A，B，C三點共線，得eq\o(AB,\s\up12(→))∥eq\o(BC,\s\up12(→))，故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2.∴當m＝－2時，A，B，C三點共線．11．(12分)已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋teq\o(AB,\s\up12(→))(t∈R)，問：(1)t為何值時，點P在x軸上？點P在二、四象限角平分線上？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由．【解】(1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，∴eq\o(OA,\s\up12(→))＝(1,2)，eq\o(AB,\s\up12(→))＝(3,3)，eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋teq\o(AB,\s\up12(→))＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x軸上，只需2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若P在第二、四象限角平分線上，則1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－eq\f(1,2).(2)eq\o(OA,\s\up12(→))＝(1,2)，eq\o(PB,\s\up12(→))＝(3－3t,3－3t)，若OABP是平行四邊形，則eq\o(OA,\s\up12(→))＝eq\o(PB,\s\up12(→))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－3t＝1，,3－3t＝2，))此方程組無解．所以四邊形OABP不可能為平行四邊形．12．(13分)如圖4－2－5，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動點，且P，G，Q三點共線．圖4－2－5(1)設eq\o(PG,\s\up12(→))＝λeq\o(PQ,\s\up12(→))，將eq\o(OG,\s\up12(→))用λ，eq\o(OP,\s\up12(→))，eq\o(OQ,\s\up12(→))表示；(2)設eq\o(OP,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OQ,\s\up12(→))＝y(tǒng)eq\o(OB,\s\up12(→))，證明：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)是定值．【解】(1)eq\o(OG,\s\up12(→))＝eq\o(OP,\s\up12(→))＋eq\o(PG,\s\up12(→))＝eq\o(OP,\s\up12(→))＋λeq\o(PQ,\s\up12(→))＝eq\o(OP,\s\up12(→))＋λ(eq\o(OQ,\s\up12(→))－eq\o(OP,\s\up12(→)))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up12(→))＋λeq\o(OQ,\s\up12(→)).(2)證明一方面，由(1)，得eq\o(OG,\s\up12(→))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up12(→))＋λeq\o(OQ,\s\up12(→))＝(1－λ)xeq\o(OA,\s\up12(→))＋λyeq\o(OB,\s\up12(→))；①另一方面，∵G是△OAB的重心，∴eq\o(OG,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up12(→)).②而eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))不共線，∴由①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λx＝\f(1,3)，,λy＝\f(1,3).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＝3－3λ，,\f(1,y)＝3λ.))∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3(定值)．第三節(jié)平面向量的數(shù)量積[考情展望]1.以客觀題的形式考查平面向量數(shù)量積的計算，向量垂直條件與數(shù)量積的性質(zhì).2.以平面向量數(shù)量積為工具，與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯命題，主要考查運算能力及數(shù)形結(jié)合思想．一、平面向量的數(shù)量積1．數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a||b|cosθ，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2．向量的投影：設θ為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cosθ；向量b在a方向上的投影是|b|cosθ.3．數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．二、平面向量數(shù)量積的運算律1．交換律：a·b＝b·a；2．數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；3．分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立)|x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))1．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，則(b·c)a等于()A．(26，－78) B．(－28，－42)C．－52 D．－78【答案】A 2．已知向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)【答案】C3．已知向量a，b和實數(shù)λ，下列選項中錯誤的是()A．|a|＝eq\r(a·a) B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|【答案】B4．已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－bA．0 B．2eq\r(2)C．4 D．8【答案】B5．(2013·湖北高考)已知點A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量eq\o(AB,\s\up12(→))在eq\o(CD,\s\up12(→))方向上的投影為()A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2) D．－eq\f(3\r(15),2)【答案】A6．(2013·課標全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，則t＝.【答案】2考向一[077]平面向量數(shù)量積的運算(1)(2012·浙江高考)在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝.(2)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則eq\o(DE,\s\up12(→))·eq\o(CB,\s\up12(→))的值為；eq\o(DE,\s\up12(→))·eq\o(DC,\s\up12(→))的最大值為．【答案】(1)－16(2)11規(guī)律方法11.平面向量的數(shù)量積的運算有兩種形式，一是依據(jù)長度與夾角，二是利用坐標來計算．2．要有“基底”意識，關鍵用基向量表示題目中所求相關向量，如本例(1)中用eq\o(AM,\s\up12(→))、eq\o(MB,\s\up12(→))表示eq\o(AB,\s\up12(→))、eq\o(AC,\s\up12(→))等．注意向量夾角的大小，以及夾角θ＝0°，90°，180°三種特殊情形．對點訓練(1)(2013·江西高考)設e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為eq\f(π,3)，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，則向量a在b方向上的投影為．(2)在邊長為1的正三角形ABC中，設eq\o(BC,\s\up12(→))＝2eq\o(BD,\s\up12(→))，eq\o(CA,\s\up12(→))＝3eq\o(CE,\s\up12(→))，則eq\o(AD,\s\up12(→))·eq\o(BE,\s\up12(→))＝.【答案】(1)eq\f(5,2)(2)－eq\f(1,4)考向二[078]平面向量的夾角與垂直(1)(2013·安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為．(2)(2013·山東高考)已知向量eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(AC,\s\up12(→))的夾角為120°，且|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))，且eq\o(AP,\s\up12(→))⊥eq\o(BC,\s\up12(→))，則實數(shù)λ的值為．【答案】(1)－eq\f(1,3)(2)eq\f(7,12)規(guī)律方法21.當a，b以非坐標形式給出時，求〈a，b〉的關鍵是借助已知條件求出|a|、|b|與a·b的關系．2．(1)非零向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0.(2)本例(2)中常見的錯誤是不會借助向量減法法則把eq\o(BC,\s\up12(→))表示成eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))，導致求解受阻．對點訓練(1)(2014·重慶高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實數(shù)kA．－eq\f(9,2)B．0C．3D.eq\f(15,2)(2)(2015·青島質(zhì)檢)已知向量eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(AC,\s\up12(→))的夾角為120°，且|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))，且eq\o(AP,\s\up12(→))⊥eq\o(BC,\s\up12(→))，則實數(shù)λ的值是．【答案】(1)C(2)eq\f(7,12)考向三[079]平面向量的模及其應用(1)設x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝()A.eq\r(5)B.eq\r(10)C．2eq\r(5)D．10【答案】B(2)已知eq\o(OP,\s\up12(→))＝(cosθ，sinθ)，eq\o(OQ,\s\up12(→))＝(1＋sinθ，1＋cosθ)，其中0≤θ≤π，求|eq\o(PQ,\s\up12(→))|的取值范圍及|eq\o(PQ,\s\up12(→))|取得最大值時θ的值．【嘗試解答】∵eq\o(PQ,\s\up12(→))＝eq\o(OQ,\s\up12(→))－eq\o(OP,\s\up12(→))＝(1＋sinθ－cosθ，1＋cosθ－sinθ)，∴|Peq\o(Q,\s\up12(→))|2＝(1＋sinθ－cosθ)2＋(1＋cosθ－sinθ)2＝4－4sinθcosθ＝4－2sin2θ.∵0≤θ≤π，∴－1≤sin2θ≤1，∴|eq\o(PQ,\s\up12(→))|2∈[2,6]，∴|eq\o(PQ,\s\up12(→))|∈[eq\r(2)，eq\r(6)]．當sin2θ＝－1，即θ＝eq\f(3π,4)時，|eq\o(PQ,\s\up12(→))|取得最大值．規(guī)律方法31.x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)共線的充要條件，而后者是它們垂直的充要條件．2．求解向量的長度問題一般可以從兩個方面考慮：(1)利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解；(2)利用公式|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2把長度問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算問題解決．對點訓練(1)(2014·江西高考)已知單位向量e1，e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝.(2)(2014·四川高考)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝()A．－2B．－1C．1D．2【答案】(1)3(2)D易錯易誤之九忽略向量共線條件致誤——————————[1個示范例]——————(2014·廣州模擬)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍為．【解析】∵a與a＋λb均為非零向量，且夾角為銳角，∴a·(a＋λb)＞0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0，∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－eq\f(5,3)，當a與a＋λb共線時，存在實數(shù)m，使a＋λb＝ma，此處在求解時，常因忽略“a與a＋λb共線”的情形致誤，出現(xiàn)錯誤的原因是誤認為a·b＞0與〈a，b〉為銳角等價．即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋λ＝m,2＋λ＝2m))，∴λ＝0，即當λ＝0時，a與a＋λb共線．綜上可知，λ的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＞－\f(5,3)且λ≠0))))【防范措施】1.a，b的夾角為銳角并不等價于a·b＞0，a·b＞0等價于a與b夾角為銳角或0°.2．依據(jù)兩向量的夾角θ求向量坐標中的參數(shù)時，要注意θ＝0°或180°的情形．其中cos0°＝1＞0，cos180°＝－1＜0.————————[1個防錯練]———————已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是．【解析】由a·b＜0，即2λ－3＜0，解得λ＜eq\f(3,2).又當a∥b時，λ＝－6，故所求λ的范圍為λ＜eq\f(3,2)且λ≠－6.【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＜\f(3,2)且λ≠－6))))課時限時檢測(二十七)平面向量的數(shù)量積(時間：60分鐘滿分：80分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1．(2013·遼寧高考)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量eq\o(AB,\s\up12(→))同方向的單位向量為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))【答案】A2．(2013·大綱全國卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝()A．－4B．－3C．－2D．－1【答案】B3．若向量a,b，c滿足a∥b且a⊥c，則c·(a＋2b)＝()A．4 B．3C．2 D．0【答案】D4．已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，則|2a－b|＝(A．2B．4C．2eq\r(2) D．8【答案】A5．已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設點P，Q滿足eq\o(AP,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AQ,\s\up12(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up12(→))，λ∈R.若eq\o(BQ,\s\up12(→))·eq\o(CP,\s\up12(→))＝－eq\f(3,2)，則λ＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1±\r(2),2)C.eq\f(1±\r(10),2) D.eq\f(－3±2\r(2),2)【答案】A6．已知平面向量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(5,2)b))，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,5)D.eq\f(π,6)【答案】A二、填空題(每小題5分，共15分)7．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，則向量b－3a與向量a夾角的余弦值為【答案】－eq\f(2\r(5),5)8．已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則a＋b在a方向上的投影為．【答案】29．設i、j是平面直角坐標系(坐標原點為O)內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量，且eq\o(OA,\s\up12(→))＝－2i＋j，eq\o(OB,\s\up12(→))＝4i＋3j，則△OAB的面積等于．【答案】5三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(x,1)，(1)若(2a＋b)∥(a－b)，求x(2)若2a＋b與a－b的夾角是銳角，求x【解】(1)∵a＝(1,2)，b＝(x,1)，∴2a＋b＝(2＋x,a－b＝(1－x,1)．由(2a＋b)∥(a－b2＋x＝5－5x.解得x＝eq\f(1,2).(2)由題意可知(2a＋b)·(a－b)＞0且2a＋b與a－∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋x1－x＋5＞0，,x≠\f(1,2)，))∴eq\f(－1－\r(29),2)＜x＜eq\f(－1＋\r(29),2)且x≠eq\f(1,2).即所求x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－\r(29),2)，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(－1＋\r(29),2))).11．(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，eq\r(3))，點M滿足eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up12(→))，點P在線段BC上運動(包括端點)，如圖．圖4－3－1(1)求∠OCM的余弦值；(2)是否存在實數(shù)λ，使(eq\o(OA,\s\up12(→))－λeq\o(OP,\s\up12(→)))⊥eq\o(CM,\s\up12(→))，若存在，求出滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍，若不存在，請說明理由．【解】(1)由題意可得eq\o(OA,\s\up12(→))＝(6,0)，eq\o(OC,\s\up12(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up12(→))＝(3,0)，eq\o(CM,\s\up12(→))＝(2，－eq\r(3))，eq\o(CO,\s\up12(→))＝(－1，－eq\r(3))．∴cos∠OCM＝cos〈eq\o(CO,\s\up12(→))，eq\o(CM,\s\up12(→))〉＝eq\f(\o(CO,\s\up12(→))·\o(CM,\s\up12(→)),|\o(CO,\s\up12(→))||\o(CM,\s\up12(→))|)＝eq\f(\r(7),14).(2)設P(t，eq\r(3))，其中1≤t≤5，λeq\o(OP,\s\up12(→))＝(λt，eq\r(3)λ)，eq\o(OA,\s\up12(→))－λeq\o(OP,\s\up12(→))＝(6－λt，－eq\r(3)λ)，eq\o(CM,\s\up12(→))＝(2，－eq\r(3))，若(eq\o(OA,\s\up12(→))－λeq\o(OP,\s\up12(→)))⊥eq\o(CM,\s\up12(→))，則(eq\o(OA,\s\up12(→))－λeq\o(OP,\s\up12(→)))·eq\o(CM,\s\up12(→))＝0，即12－2λt＋3λ＝0?(2t－3)λ＝12，若t＝eq\f(3,2)，則λ不存在，若t≠eq\f(3,2)，則λ＝eq\f(12,2t－3)，∵t∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5))，故λ∈(－∞，－12)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，＋∞)).12．(13分)已知點A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)．(1)若|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|，求eq\f(sinθ＋2cosθ,sinθ－cosθ)的值；(2)若(eq\o(OA,\s\up12(→))＋2eq\o(OB,