高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何課堂過關(guān) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第九章平面解析幾何第1課時直線的傾斜角與斜率eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(對應(yīng)學(xué)生用書（文）111～112頁,（理）116～117頁))了解確定直線位置的幾何要素(兩個定點(diǎn)、一個定點(diǎn)和斜率).對直線的傾斜角、斜率的概念要理解，能牢記過兩點(diǎn)的斜率公式并掌握斜率公式的推導(dǎo)，了解直線的傾斜角的范圍．理解直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系，能根據(jù)直線的傾斜角求出直線的斜率．①在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.②理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計算公式．1.(原創(chuàng))設(shè)m為常數(shù)，則過點(diǎn)A(2，－1)，B(2，m)的直線的傾斜角是________．答案：90°解析：因?yàn)檫^點(diǎn)A(2，－1)，B(2，m)的直線x＝2垂直于x軸，故其傾斜角為eq\f(π,2).2.(必修2P80第1題改編)過點(diǎn)M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為________．答案：1解析：由1＝eq\f(4－m,m＋2)，得m＋2＝4－m，m＝1.3.(原創(chuàng))若過點(diǎn)P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直線的傾斜角α為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：－2＜a＜1解析：tanα＝eq\f(2a－（1＋a）,3－（1－a）)＝eq\f(a－1,2＋a).由eq\f(a－1,2＋a)＜0，得－2＜a＜1.4.(必修2P70練習(xí)4改編)已知A(－1，2eq\r(3))，B(0，eq\r(3)a)，C(a，0)三點(diǎn)共線，則此三點(diǎn)所在直線的傾斜角α＝________．答案：eq\f(2π,3)解析：若a＝0，則B，C重合，不合題意，從而由A，B，C三點(diǎn)共線得kAB＝kBC，即eq\f(\r(3)a－2\r(3),0＋1)＝eq\f(0－\r(3)a,a－0)，解得a＝1.從而B(0，eq\r(3))，此三點(diǎn)所在直線的斜率為kAB＝eq\f(\r(3)－2\r(3),0＋1)＝－eq\r(3)，即tanα＝－eq\r(3)，而α∈[0，π)，所以α＝eq\f(2π,3).5.設(shè)直線l的傾斜角為α，且eq\f(π,4)≤α≤eq\f(5π,6)，則直線l的斜率k的取值范圍是______________．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)解析：由k＝tanα關(guān)系圖(如下)知k∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)．1.直線傾斜角的定義在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至和直線重合時，所轉(zhuǎn)的最小正角記為α，那么α就叫做直線的傾斜角，并規(guī)定：與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0；直線的傾斜角α的取值范圍為[0，π)．2.直線斜率的定義傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率．直線的斜率常用k表示，即k＝tanα.由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，傾斜角不同的直線其斜率也不同．3.過兩點(diǎn)的斜率公式過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線，當(dāng)x1≠x2時，斜率公式k＝tanα＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，該公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān)；當(dāng)x1＝x2時，直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°.題型1直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系,1)如果三條直線l1，l2，l3的傾斜角分別為α1，α2，α3，其中l(wèi)1：x－y＝0，l2：x＋2y＝0，l3：x＋3y＝0，則α1，α2，α3從小到大的排列順序?yàn)開___________．答案：α1＜α2＜α3解析：由tanα1＝k1＝1>0，所以α1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).tanα2＝k2＝－eq\f(1,2)<0，所以α2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α2>α1.tanα3＝k3＝－eq\f(1,3)<0，所以α3∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α3>α1，而－eq\f(1,2)<－eq\f(1,3)，正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞增，所以α3>α2.綜上，α1<α2<α3.eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)如果下圖中的三條直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則k1、k2、k3從小到大的排列順序?yàn)開___________．答案：k1<k3<k2解析：設(shè)三條直線的傾斜角分別為α1，α2，α3.由題圖知，k1<0，k2>0，k3>0，另外，tanα2＝k2>0，α2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα3＝k3>0，α3∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而α3<α2，正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，所以，k3<k2.綜上，k1<k3<k2.題型2求直線的傾斜角和斜率,2)已知點(diǎn)M(－4，3)，N(2，15)，若直線l的傾斜角是直線MN的傾斜角的一半，求直線l的斜率．解：設(shè)直線l的傾斜角是θ，則直線MN的傾斜角為2θ，由已知得tan2θ＝kMN＝eq\f(15－3,2＋4)＝2，即eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝2，所以tan2θ＋tanθ－1＝0，解得tanθ＝eq\f(－1＋\r(5),2)或tanθ＝eq\f(－1－\r(5),2)，由tan2θ＝2>0知，2θ必為銳角，從而θ為銳角，故tanθ＝eq\f(－1＋\r(5),2).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知點(diǎn)A(－eq\r(3)，1)，點(diǎn)B在y軸上，直線AB的傾斜角為eq\f(2π,3)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．解：B點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為(0，y)，再利用k＝tanθ以及兩點(diǎn)求斜率公式tan120°＝eq\f(y－1,0＋\r(3))，得y＝－2，所以B的坐標(biāo)為(0，－2)．題型3求直線的傾斜角和斜率的取值范圍,3)(2014·蘇州調(diào)研)經(jīng)過P(0，－1)作直線l，若直線l與連結(jié)A(1，－2)、B(2，1)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k和傾斜角α的取值范圍分別為________，________．答案：[－1，1]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))解析：如圖所示，結(jié)合圖形：為使l與線段AB總有公共點(diǎn)，則kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0時，傾斜角α為鈍角，k＝0時，α＝0，k>0時，α為銳角．又kPA＝eq\f(－2－（－1）,1－0)＝－1，kPB＝eq\f(－1－1,0－2)＝1，∴－1≤k≤1.又當(dāng)0≤k≤1時，0≤α≤eq\f(π,4)；當(dāng)－1≤k<0時，eq\f(3π,4)≤α<π.故傾斜角α的取值范圍為α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)直線l經(jīng)過A(2，1)、B(1，m2)(m∈R)兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是________．答案：α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))解析：k＝tanα＝eq\f(m2－1,1－2)＝1－m2≤1，所以α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).1.(2014·山西聯(lián)考)直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))解析：設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)≤θ<π.2.已知點(diǎn)A(1，3)，B(－2，－1)，若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，則k的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))解析：由題意知直線l恒過定點(diǎn)P(2，1)，如圖．若l與線段AB相交，則kPA≤k≤kPB.∵kPA＝－2，kPB＝eq\f(1,2)，∴－2≤k≤eq\f(1,2).3.已知實(shí)數(shù)x、y滿足(x－2)2＋(y－1)2＝1，求z＝eq\f(y＋1,x)的最大值與最小值．解：eq\f(y＋1,x)表示過點(diǎn)A(0，－1)和圓(x－2)2＋(y－1)2＝1上的動點(diǎn)(x，y)的直線的斜率．如圖，當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時，直線的斜率分別取得最大值和最小值．設(shè)切線方程為y＝kx－1，即kx－y－1＝0，則eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4±\r(7),3).因此，zmax＝eq\f(4＋\r(7),3)，zmin＝eq\f(4－\r(7),3).4.如圖所示，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點(diǎn)P(1，0)作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y＝eq\f(1,2)x上時，求直線AB的斜率．解：由題意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－eq\f(\r(3),3)，所以射線OA的方程為y＝x(x≥0)，射線OB的方程為y＝－eq\f(\r(3),3)x(x≥0)．設(shè)A(m，m)，B(－eq\r(3)n，n)，所以AB的中點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2)))，由點(diǎn)C在y＝eq\f(1,2)x上，且A、P、B三點(diǎn)共線得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))解得m＝eq\r(3)，所以A(eq\r(3)，eq\r(3))．又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3),\r(3)－1)＝eq\f(3＋\r(3),2).1.已知x軸上的點(diǎn)P與點(diǎn)Q(－eq\r(3)，1)連線所成直線的傾斜角為30°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．答案：(－2eq\r(3)，0)解析：設(shè)P(x，0)，由題意kPQ＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(1,－\r(3)－x)＝eq\f(\r(3),3)，解得x＝－2eq\r(3)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2eq\r(3)，0)．2.有以下幾個命題：①直線的傾斜角越大，則斜率越大；②垂直于x軸的直線沒有方程；③若直線的斜率為a，則其傾斜角正切值一定為tana；④只要直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，則它一定可以用截距式方程式表示；⑤斜率存在的直線，其傾斜角一定不等于90°.其中正確的命題是________．(填序號)答案：⑤解析：根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，可知①不正確，⑤正確；x＝a(a∈R)是垂直于x軸的直線，所以②錯誤；直線傾斜角的正切值是斜率，所以③錯誤；不過原點(diǎn)但垂直于坐標(biāo)軸的直線不可以用截距式方程式表示，所以④錯誤；故答案為⑤.3.已知直線PQ的斜率為－eq\r(3)，將直線繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)60°所得的直線的斜率是________．答案：eq\r(3)解析：由kPQ＝－eq\r(3)得直線PQ的傾斜角為120°，將直線PQ繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)60°所得直線的傾斜角為60°，∴所得直線的斜率k＝tan60°＝eq\r(3).4.直線ax＋y＋1＝0與連結(jié)A(2，3)、B(－3，2)的線段相交，則a的取值范圍是________．答案：(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：直線ax＋y＋1＝0過定點(diǎn)C(0，－1)，當(dāng)直線處在AC與BC之間時，必與線段AB相交，即應(yīng)滿足－a≥eq\f(3＋1,2)或－a≤eq\f(2＋1,－3)，得a≤－2或a≥1.1.求斜率要熟記斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，該公式與兩點(diǎn)順序無關(guān)，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)(x1≠x2)時，根據(jù)該公式可求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率．當(dāng)x1＝x2，y1≠y2時，直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°.2.要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，傾斜角與斜率的關(guān)系是k＝tanα(α≠90°)，其中α為傾斜角，因此求傾斜角的取值范圍通常需從斜率的范圍入手，而求斜率的范圍則常需考慮傾斜角的取值范圍，但都需要利用正切函數(shù)的性質(zhì)，借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合，注意直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩種情況討論．由正切函數(shù)圖象可以看出當(dāng)α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，斜率k∈[0，＋∞)；當(dāng)α＝eq\f(π,2)時，斜率不存在；當(dāng)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，斜率k∈(－∞，0)．請使用課時訓(xùn)練(B)第1課時(見活頁)．第2課時直線的方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(對應(yīng)學(xué)生用書（文）113～115頁,（理）118～120頁))掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式)的特點(diǎn)與適用范圍；能根據(jù)問題的具體條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角笾本€的方程；了解直線方程的斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系．①在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.②掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系．1.把直線方程Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化成斜截式為________________，化成截距式為________________．答案：y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)eq\f(x,－\f(C,A))＋eq\f(y,－\f(C,B))＝1解析：因?yàn)锳BC≠0，即A≠0，B≠0，C≠0，按斜截式、截距式的形式要求變形即可．斜截式為y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)，截距式為eq\f(x,－\f(C,A))＋eq\f(y,－\f(C,B))＝1.2.(必修2P77習(xí)題3改編)直線3x－4y＋12＝0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為________．答案：6解析：直線3x－4y＋12＝0在x軸上的截距為－4，在x軸上的截距為3，因此它與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為eq\f(1,2)×|－4|×3＝6.3.下列四個命題：①過點(diǎn)P(1，－2)的直線可設(shè)為y＋2＝k(x－1)；②若直線在兩軸上的截距相等，則其方程可設(shè)為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1(a≠0)；③經(jīng)過兩點(diǎn)P(a，2)，Q(b，1)的直線的斜率k＝eq\f(1,a－b)；④如果AC<0，BC>0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過第二象限．其中正確的是_____________．(填序號)答案：④4.(必修2P74練習(xí)3改編)過點(diǎn)M(3，－4)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為________．答案：y＝－eq\f(4,3)x或x－y－7＝0解析：①當(dāng)直線過原點(diǎn)時，直線方程為y＝－eq\f(4,3)x；②當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，即x－y＝a.代入點(diǎn)(3，－4)，∴a＝7，即直線方程為x－y－7＝0.5.(必修2P73練習(xí)3改編)若一直線經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)，且在y軸上的截距與直線2x＋y＋1＝0在y軸上的截距相等，則該直線的方程是________．答案：3x－y－1＝0解析：直線2x＋y＋1＝0在y軸上的截距為－1，由題意，所求直線過點(diǎn)(0，－1)，又所求直線過點(diǎn)P(1，2)，故由兩點(diǎn)式得直線方程為eq\f(y＋1,x－0)＝eq\f(2＋1,1－0)，即3x－y－1＝0.1.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用2.過P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程(1)若x1＝x2，且y1≠y2時，直線垂直于x軸，方程為x＝x1．(2)若x1≠x2，且y1＝y(tǒng)2時，直線垂直于y軸，方程為y＝y(tǒng)1．(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2時，直線即為y軸，方程為x＝0．(4)若x1≠x2，且y1＝y(tǒng)2＝0時，直線即為x軸，方程為y＝0．(5)直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系如下表：α0°(0°，90°)90°(90°，180°)k0(0，＋∞)不存在(－∞，0)3.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，)))此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．[備課札記]

題型1求直線方程,1)(必修2P115復(fù)習(xí)題5、6改編)已知直線l過點(diǎn)P(5，2)，分別求滿足下列條件的直線方程．(1)直線l在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍；(2)直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為eq\f(5,2).解：(1)當(dāng)直線l過原點(diǎn)時，l的斜率為eq\f(2,5)，∴直線方程為y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0；當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時，設(shè)方程為eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，將x＝5，y＝2代入得a＝eq\f(9,2)，∴直線方程為x＋2y－9＝0.綜上：l的方程為2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.(2)顯然兩直線與x軸不垂直．∵直線l經(jīng)過點(diǎn)P(5，2)，∴可設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－5)(k≠0)，則直線在x軸上的截距為5－eq\f(2,k)，在y軸上的截距為2－5k，由題意，得eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5－\f(2,k)))·|2－5k|＝eq\f(5,2)，即(5k－2)2＝5|k|.當(dāng)k>0時，原方程可化為(5k－2)2＝5k，解得k＝eq\f(1,5)或k＝eq\f(4,5)；當(dāng)k<0時，原方程可化為(5k－2)2＝－5k，此方程無實(shí)數(shù)解；故直線l的方程為y－2＝eq\f(1,5)(x－5)或y－2＝eq\f(4,5)(x－5)，即x－5y＋5＝0或4x－5y－10＝0.eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)(2014·常州模擬)過點(diǎn)P(－2，3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為________．答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝0解析：分兩種情況：(1)直線l過原點(diǎn)時，l的斜率為－eq\f(3,2)，∴直線方程為y＝－eq\f(3,2)x；(2)l不過原點(diǎn)時，設(shè)方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，將x＝－2，y＝3代入得a＝1，∴直線方程為x＋y＝1.綜上：l的方程為x＋y－1＝0或2y＋3x＝0.題型2含參直線方程問題,2)(2014·銀川改編)設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求l的方程；(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)求證：無論a為何實(shí)數(shù)值，直線l恒過一定點(diǎn)M.(1)解：當(dāng)直線過原點(diǎn)時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，∴a＝2，方程即為3x＋y＝0.當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時，截距存在且均不為0，∴eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1.∴a＝0，方程即為x＋y＋2＝0.綜上，l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)解：將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（a＋1）>0，,a－2≤0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（a＋1）＝0，,a－2≤0，))∴a≤－1.綜上可知a的取值范圍是(－∞，－1]．(3)證明：∵(x－1)a＋(x＋y＋2)＝0，∴由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3.))故直線l恒過定點(diǎn)M(1，－3)．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)直線l過點(diǎn)M(2，1)，且分別交x軸、y軸的正半軸于點(diǎn)A、B.點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)當(dāng)△ABO的面積最小時，求直線l的方程；(2)當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MA))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MB))最小時，求直線l的方程．解：(1)如圖，設(shè)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OA))＝a，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OB))＝b，△ABO的面積為S，則S＝eq\f(1,2)ab，并且直線l的截距式方程是eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由直線通過點(diǎn)(2，1)，得eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以eq\f(a,2)＝eq\f(1,1－\f(1,b))＝eq\f(b,b－1).因?yàn)锳點(diǎn)和B點(diǎn)在x軸、y軸的正半軸上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得S＝eq\f(a,2)×b＝eq\f(b,b－1)×b＝eq\f(b2－1＋1,b－1)＝b＋1＋eq\f(1,b－1)＝b－1＋eq\f(1,b－1)＋2≥2＋2＝4.當(dāng)且僅當(dāng)b－1＝eq\f(1,b－1)，即b＝2時，面積S取最小值4，這時a＝4，直線的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1.即直線l的方程為x＋2y－4＝0.(2)如上圖，設(shè)∠BAO＝θ，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MA))＝eq\f(1,sinθ)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MB))＝eq\f(2,cosθ)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MA))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MB))＝eq\f(1,sinθ)·eq\f(2,cosθ)＝eq\f(4,sin2θ)，當(dāng)θ＝45°時，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MA))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MB))有最小值4，此時直線斜率為－1，∴直線l的方程為x＋y－3＝0.題型3直線方程的綜合應(yīng)用,3)設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．(1)當(dāng)a＝1時，直線l分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)．若動點(diǎn)P(m，n)在線段AB上，求mn的最大值；(2)若a>－1，直線l與x、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，求△OMN面積取最大值時，直線l的方程．解：(1)當(dāng)a＝1時，直線l的方程為2x＋y－3＝0，可化為eq\f(2x,3)＋eq\f(y,3)＝1.由動點(diǎn)P(m，n)在線段AB上可知0≤m≤eq\f(3,2)，0≤n≤3，且eq\f(2m,3)＋eq\f(n,3)＝1，∴1≥2eq\r(\f(2m,3)·\f(n,3))，∴mn≤eq\f(9,8).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2m,3)＝eq\f(n,3)時等號成立，可解得m＝eq\f(3,4)，n＝eq\f(3,2)，故mn的最大值為eq\f(9,8).(2)由直線方程可求得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋a,a＋1)，0))、N(0，2＋a)，又a>－1，故S△OMN＝eq\f(1,2)×eq\f(2＋a,a＋1)×(2＋a)＝eq\f(1,2)×eq\f(（a＋1）2＋2（a＋1）＋1,a＋1)＝eq\f(1,2)×[(a＋1)＋eq\f(1,a＋1)＋2]≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(（a＋1）×\f(1,a＋1))＋2))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝eq\f(1,a＋1)，即a＝0或a＝－2(舍去)時等號成立．此時直線l的方程為x＋y－2＝0.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)直線l經(jīng)過點(diǎn)(3，2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．解：(解法1：借助點(diǎn)斜式求解)由于直線l在兩軸上有截距，因此直線不與x、y軸垂直，斜率存在，且k≠0.設(shè)直線方程為y－2＝k(x－3)，令x＝0，則y＝－3k＋2；令y＝0，則x＝3－eq\f(2,k).由題設(shè)可得－3k＋2＝3－eq\f(2,k)，解得k＝－1或k＝eq\f(2,3).故l的方程為y－2＝－(x－3)或y－2＝eq\f(2,3)(x－3)．即直線l的方程為x＋y－5＝0或2x－3y＝0.(解法2：利用截距式求解)由題設(shè)，設(shè)直線l在x、y軸的截距均為a.若a＝0，則l過點(diǎn)(0，0)．又過點(diǎn)(3，2)，∴l(xiāng)的方程為y＝eq\f(2,3)x，即l：2x－3y＝0.若a≠0，則設(shè)l為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1.由l過點(diǎn)(3，2)，知eq\f(3,a)＋eq\f(2,a)＝1，故a＝5.∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0.綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.1.(2014·海淀模擬改編)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3，3)，則其斜率的取值范圍是________．答案：k>eq\f(1,2)或k<－1解析：設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，直線在x軸上的截距為1－eq\f(2,k)，令－3<1－eq\f(2,k)<3，解不等式可得k>eq\f(1,2)或k<－1.(也可以利用數(shù)形結(jié)合)2.(2014·長春調(diào)研改編)一次函數(shù)y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的圖象同時經(jīng)過第一、三、四象限的必要不充分條件是________．(填序號)①m>1，且n<1；②mn<0；③m>0，且n<0；④m<0，且n<0.答案：②解析：因?yàn)閥＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)經(jīng)過第一、三、四象限，故－eq\f(m,n)>0，且eq\f(1,n)<0，即m>0，且n<0，但此為充要條件，因此，其必要不充分條件為mn<0，故選填②.3.直線l經(jīng)過點(diǎn)P(－5，－4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，則直線l的方程為________．答案：8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0解析：設(shè)所求直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵直線l過點(diǎn)P(－5，－4)，∴eq\f(－5,a)＋eq\f(－4,b)＝1，即4a＋5b＝－ab.又由已知有eq\f(1,2)|a|·|b|＝5，即|ab|＝10，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4a＋5b＝－ab，,|ab|＝10，)))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(5,2)，,b＝4)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2.)))故所求直線l的方程為eq\f(x,－\f(5,2))＋eq\f(y,4)＝1或eq\f(x,5)＋eq\f(y,－2)＝1.即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.4.(2014·銀川聯(lián)考)已知直線x＋2y＝2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，若動點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為________．答案：eq\f(1,2)解析：由題意知A(2，0)，B(0，1)，所以線段AB的方程可表示為eq\f(x,2)＋y＝1，x∈[0，2]，又動點(diǎn)P(a，b)在線段AB上，所以eq\f(a,2)＋b＝1，a∈[0，2]，又eq\f(a,2)＋b≥2eq\r(\f(ab,2))，所以1≥2eq\r(\f(ab,2))，解得0≤ab≤eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,2)＝b＝eq\f(1,2)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))時，ab取得最大值eq\f(1,2).5.已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程；(2)BC邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程．解：(1)平行于BC邊的中位線就是AB、AC中點(diǎn)的連線．因?yàn)榫€段AB、AC中點(diǎn)坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))，所以這條直線的方程為eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x＋\f(1,2),\f(7,2)＋\f(1,2))，整理得一般式方程為6x－8y－13＝0，截距式方程為eq\f(x,\f(13,6))－eq\f(y,\f(13,8))＝1.(2)因?yàn)锽C邊上的中點(diǎn)為(2，3)，所以BC邊上的中線所在直線的方程為eq\f(y＋4,3＋4)＝eq\f(x－1,2－1)，即一般式方程為7x－y－11＝0，截距式方程為eq\f(x,\f(11,7))－eq\f(y,11)＝1.6.(原創(chuàng))若直線l的方程為(2m2－m－1)x＋(m2－m)y＋4m－1＝0，(1)參數(shù)m的取值集合；(2)若直線l的斜率不存在，試確定直線l在x軸上的截距；(3)若直線l在y軸上的截距等于直線4x－y－2＝0的斜率，求直線l的方程．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m2－m－1＝0，,m2－m＝0，))解得m＝1，故參數(shù)m的取值集合為{m|m≠1}．(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m2－m－1≠0，,m2－m＝0，))解得m＝0，故直線方程為－x－1＝0，即x＝－1，故直線l在x軸上的截距為－1.(3)直線l在y軸上的截距存在時，截距為eq\f(1－4m,m2－m)，又直線4x－y－2＝0的斜率為4，所以eq\f(1－4m,m2－m)＝4，解得m＝±eq\f(1,2)，所以直線l的方程為4x＋y－4＝0或y＝4.1.直線x＋a2y－a＝0(a>0，a是常數(shù))，當(dāng)此直線在x、y軸上的截距和最小時，a＝________．答案：1解析：方程可化為eq\f(x,a)＋eq\f(y,\f(1,a))＝1，因?yàn)閍>0，所以截距之和t＝a＋eq\f(1,a)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(1,a)，即a＝1時取等號．2.(原創(chuàng))如果AC<0且eq\f(B,C)>0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過第________象限．答案：二解析：由已知條件知A，B，C均不為0，直線Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－eq\f(C,A)>0，直線一定過一、四象限，又直線在y軸上的截距－eq\f(C,B)<0，故直線一定過三、四象限，故直線不通過第二象限．3.在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)(x，y)為整點(diǎn)．下列命題中正確的是________．(填序號)．①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)；②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y＝kx＋b不經(jīng)過任何整點(diǎn)；③直線l經(jīng)過無窮多個整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點(diǎn)；④直線y＝kx＋b經(jīng)過無窮多個整點(diǎn)的充要條件是：k與b都是有理數(shù)；⑤存在恰經(jīng)過一個整點(diǎn)的直線．答案：①③⑤解析：①正確．比如直線y＝eq\r(2)x＋eq\r(3)，不與坐標(biāo)軸平行，且當(dāng)x取整數(shù)時，y始終是一個無理數(shù)，即不經(jīng)過任何整點(diǎn)．②錯誤．直線y＝eq\r(3)x－eq\r(3)中k與b都是無理數(shù)，但直線經(jīng)過整點(diǎn)(1，0)．③正確．當(dāng)直線經(jīng)過兩個整點(diǎn)時，它經(jīng)過無數(shù)多個整點(diǎn)．④錯誤．當(dāng)k＝0，b＝eq\f(1,3)時，直線y＝eq\f(1,3)不通過任何整點(diǎn)．⑤正確．比如直線y＝eq\r(3)x－eq\r(3)只經(jīng)過一個整點(diǎn)(1，0)．4.不論m取何值，直線(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒過定點(diǎn)________．答案：(－2，3)解析：把直線方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0，整理得(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3.))5.對直線l上任一點(diǎn)(x，y)，點(diǎn)(4x＋2y，x＋3y)仍在此直線上，求直線方程．解：設(shè)直線方程Ax＋By＋C＝0，∴A(4x＋2y)＋B(x＋3y)＋C＝0，整理得(4A＋B)x＋(2A＋3B)y＋C＝0，∴上式也是l的方程，當(dāng)C≠0時，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝4A＋B，,B＝2A＋3B，))∴A＝B＝0，此時直線不存在；當(dāng)C＝0時，兩方程表示的直線均過原點(diǎn)，應(yīng)有斜率相等，故－eq\f(A,B)＝－eq\f(4A＋B,2A＋3B)，∴A＝B或B＝－2A，∴所求直線方程為x＋y＝0或x－2y＝0.1.在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件．用斜截式及點(diǎn)斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線．故在解題時，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；而選用兩點(diǎn)式時不要忽視與坐標(biāo)軸垂直的情況．2.解決直線方程的綜合問題時，除靈活選擇方程的形式外，還要注意題目中的隱含條件，若與最值或范圍相關(guān)的問題可考慮構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求最值．請使用課時訓(xùn)練(A)第2課時(見活頁)．[備課札記]

第3課時直線與直線的位置關(guān)系eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(對應(yīng)學(xué)生用書（文）116～118頁,（理）121～123頁))能熟練掌握兩條直線平行和垂直的條件并靈活運(yùn)用，把研究兩條直線的平行或垂直問題，轉(zhuǎn)化為研究兩條直線斜率的關(guān)系問題；能判斷兩直線是否相交并求出交點(diǎn)坐標(biāo)，體會兩直線相交與二元一次方程組的關(guān)系；理解兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)，并能應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式證明幾何問題；點(diǎn)到直線距離公式的理解與應(yīng)用．①能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直.②能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo).③掌握兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．1.(必修2P93練習(xí)1改編)已知點(diǎn)(a，2)(a＞0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于________．答案：eq\r(2)－1解析：由題意知eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，∴|a＋1|＝eq\r(2)，又a＞0，∴a＝eq\r(2)－1.2.(必修2P85習(xí)題7改編)已知直線l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，則l1∥l2的充要條件是a＝________．答案：－1解析：由l1∥l2得a(a－2)－3＝0且2a－6(a－2)≠0，解得a＝－1.3.經(jīng)過點(diǎn)(－2，3)，且與直線2x＋y－5＝0平行的直線方程為________．答案：2x＋y＋1＝0解析：由題意，所求直線的斜率與直線2x＋y－5＝0的斜率相同為－2，又過點(diǎn)(－2，3)，所以直線方程為y－3＝－2(x＋2)，即2x＋y＋1＝0.4.(必修2P85習(xí)題3改編)已知直線l過兩條直線3x＋2y－1＝0和2x－3y＋8＝0的交點(diǎn)，且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則l的方程是________．答案：3x＋2y－1＝0解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,2x－3y＋8＝0，))得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，2)，又由題意知，直線l的斜率是－eq\f(3,2)，因此直線l的方程為y－2＝－eq\f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.5.(必修2P106習(xí)題18改編)已知直線l：y＝3x＋3，那么直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對稱的直線方程為____________．答案：7x＋y＋22＝0解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,3x－y＋3＝0，)))得交點(diǎn)坐標(biāo)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2))).又直線x－y－2＝0上的點(diǎn)Q(2，0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為Q′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5)，\f(9,5)))，故所求直線(即PQ′)的方程為eq\f(y＋\f(9,2),－\f(9,5)－\f(9,2))＝eq\f(x＋\f(5,2),\f(17,5)－\f(5,2))，即7x＋y＋22＝0.1.兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0(A2B2≠0時，eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2))垂直k1＝－eq\f(1,k2)或k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0(當(dāng)B1B2≠0時，eq\f(A1,B1)·eq\f(A2,B2)＝－1)平行k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0,B2C1－B1C2≠0)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0,A2C1－A1C2≠0)))(當(dāng)A2B2C2≠0，記為eq\f(A1,B1)＝eq\f(A2,B2)≠eq\f(C1,C2))重合k1＝k2且b1＝b2A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)(當(dāng)A2B2C2≠0，記為eq\f(A1,B1)＝eq\f(A2,B2)＝eq\f(C1,C2))2.兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時兩條直線平行；反之，亦成立．若方程組有無數(shù)個解，則兩直線方程表示的直線重合．3.幾種距離(1)兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式：d(A，B)＝AB＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x1，y1)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax1＋By1＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線間的距離兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).[備課札記]

題型1兩直線的平行與垂直,1)兩條直線l1：(m＋3)x＋2y＝5－3m，l2：4x＋(5＋m)y＝16，分別求滿足下列條件的m的值．(1)l1與l2相交；(2)l1與l2平行；(3)l1與l2重合；(4)l1與l2垂直．解：可先從平行的條件eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)(化為a1b2＝a2b1)著手．由eq\f(m＋3,4)＝eq\f(2,5＋m)，得m2＋8m＋7＝0，解得m1＝－1，m2＝－7.由eq\f(m＋3,4)＝eq\f(5－3m,16)，得m＝－1.(1)當(dāng)m≠－1且m≠－7時，eq\f(a1,a2)≠eq\f(b1,b2)，l1與l2相交．(2)當(dāng)m＝－7時，eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)≠eq\f(c1,c2).l1∥l2.(3)當(dāng)m＝－1時，eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)，l1與l2重合．(4)當(dāng)a1a2＋b1b2＝0，即(m＋3)·4＋2·(5＋m)＝0，即m＝－eq\f(11,3)時，l1⊥l2.eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；(2)l1⊥l2時，求a的值．解：(1)(解法1)當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a≠1且a≠0時，兩直線可化為l1：y＝－eq\f(a,2)x－3，l2：y＝eq\f(1,1－a)x－(a＋1)，l1∥l2eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－（a＋1），))解得a＝－1，綜上可知，a＝－1時，l1∥l2，否則l1與l2不平行．(解法2)由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l(xiāng)1∥l2eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a－1）－1×2＝0，,a（a2－1）－1×6≠0))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,a（a2－1）≠6))a＝－1，故當(dāng)a＝－1時，l1∥l2，否則l1與l2不平行．(2)(解法1)當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直，故a＝1不成立；當(dāng)a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；當(dāng)a≠1且a≠0時，l1：y＝－eq\f(a,2)x－3，l2：y＝eq\f(1,1－a)x－(a＋1)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))·eq\f(1,1－a)＝－1a＝eq\f(2,3).(解法2)由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0a＝eq\f(2,3).題型2兩直線的交點(diǎn),2)(2014·江蘇聯(lián)考)已知點(diǎn)A(3，3)，B(5，2)到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交點(diǎn)，求直線l的方程．解：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,x＋y－3＝0，))得交點(diǎn)P(1，2)．①若點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，則l∥AB.而kAB＝eq\f(3－2,3－5)＝－eq\f(1,2)，由點(diǎn)斜式得直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.②若點(diǎn)A、B在直線l的異側(cè)，則直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(5,2)))，由兩點(diǎn)式得直線l的方程為eq\f(y－2,x－1)＝eq\f(\f(5,2)－2,4－1)，即x－6y＋11＝0.綜上所述，直線l的方程為x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3，1)，且被兩平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段之長為5，求直線l的方程．解：(解法1)若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時與l1、l2的交點(diǎn)分別為A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得的線段AB的長eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－4＋9))＝5，符合題意．若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)＋1.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－3）＋1,x＋y＋1＝0))，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)，－\f(4k－1,k＋1)))，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－3）＋1,x＋y＋6＝0))，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－7,k＋1)，－\f(9k－1,k＋1))).由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝5，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)－\f(3k－7,k＋1)))eq\s\up12(2)＋(－eq\f(4k－1,k＋1)＋eq\f(9k－1,k＋1))2＝52.解之，得k＝0，即所求的直線方程為y＝1.綜上可知，所求l的方程為x＝3或y＝1.(解法2)由題意，直線l1、l2之間的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－6)),\r(2))＝eq\f(5\r(2),2)，且直線l被平行直線l1、l2所截得的線段AB的長為5(如圖)．設(shè)直線l與直線l1的夾角為θ，則sinθ＝eq\f(\f(5,2)\r(2),5)＝eq\f(\r(2),2)，故θ＝45°.由直線l1：x＋y＋1＝0的傾斜角為135°，知直線l的傾斜角為0°或90°.又直線l過點(diǎn)P(3，1)，故直線l的方程為x＝3或y＝1.(解法3)設(shè)直線l與l1、l2分別相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0.兩式相減，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5.①又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25，②聯(lián)立①②，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1－x2＝5，,y1－y2＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1－x2＝0，,y1－y2＝5，))由上可知，直線l的傾斜角分別為0°或90°.故所求直線方程為x＝3或y＝1.題型3點(diǎn)到直線及兩平行直線之間的距離,3)已知三條直線：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1與l2間的距離是eq\f(7\r(5),10).(1)求a的值；(2)能否找到一點(diǎn)P，使P同時滿足下列三個條件：①點(diǎn)P在第一象限；②點(diǎn)P到l1的距離是點(diǎn)P到l2的距離的eq\f(1,2)；③點(diǎn)P到l1的距離與點(diǎn)P到l3的距離之比是eq\r(2)∶eq\r(5).若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由．解：(1)直線l2：2x－y－eq\f(1,2)＝0，所以兩條平行線l1與l2間的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))),\r(22＋（－1）2))＝eq\f(7\r(5),10)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2))),\r(5))＝eq\f(7\r(5),10)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))＝eq\f(7,2).又a＞0，解得a＝3.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，若P點(diǎn)滿足條件②，則P點(diǎn)在與l1，l2平行的直線l′：2x－y＋c＝0上，且eq\f(|c－3|,\r(5))＝eq\f(1,2)eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2))),\r(5))，即c＝eq\f(13,2)或eq\f(11,6)，所以2x0－y0＋eq\f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq\f(11,6)＝0；若P點(diǎn)滿足條件③，由點(diǎn)到直線的距離公式，有eq\f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq\f(\r(2)|x0＋y0－1|,\r(5)×\r(2))，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；由于P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．聯(lián)立方程2x0－y0＋eq\f(13,2)＝0和x0－2y0＋4＝0，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)；))(舍去)聯(lián)立方程2x0－y0＋eq\f(11,6)＝0和x0－2y0＋4＝0，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18).))所以存在Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(37,18)))同時滿足三個條件．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知點(diǎn)P1(2，3)、P2(－4，5)和A(－1，2)，求過點(diǎn)A且與點(diǎn)P1、P2距離相等的直線方程．解：(解法1)設(shè)所求直線方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由點(diǎn)P1、P2到直線的距離相等得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2k－3＋k＋2)),\r(k2＋1))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－4k－5＋k＋2)),\r(k2＋1)).化簡得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3k－1))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3k－3))，則有3k－1＝－3k－3或3k－1＝3k＋3，解得k＝－eq\f(1,3)或方程無解．方程無解表明這樣的k不存在，但過點(diǎn)A，所以直線方程為x＝－1，它與P1、P2的距離都是3.∴所求直線方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)或x＝－1.(解法2)設(shè)所求直線為l，由于l過點(diǎn)A且與P1、P2距離相等，所以l有兩種情況，如下圖：①當(dāng)P1、P2在l的同側(cè)時，有l(wèi)∥P1P2，此時可求得l的方程為y－2＝eq\f(5－3,－4－2)(x＋1)，即y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)；②當(dāng)P1、P2在l的異側(cè)時，l必過P1、P2的中點(diǎn)(－1，4)，此時l的方程為x＝－1.∴所求直線的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)或x＝－1.題型4對稱問題,4)已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．解：(1)設(shè)A′(x，y)，再由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線m上任取一點(diǎn)，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)必在m′上．設(shè)對稱點(diǎn)為M′(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.))解得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3)．∵m′經(jīng)過點(diǎn)N(4，3)，∴由兩點(diǎn)式得直線方程為9x－46y＋102＝0.(3)設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)．∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于________．答案：eq\f(4,3)解析：以AB、AC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，得△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))，設(shè)AP＝x，從而P(x，0)，x∈(0，4)，由光的幾何性質(zhì)可知點(diǎn)P關(guān)于直線BC、AC的對稱點(diǎn)P1(4，4－x)，P2(－x，0)與△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))共線，所以eq\f(\f(4,3),\f(4,3)＋x)＝eq\f(\f(4,3)－（4－x）,\f(4,3)－4)，求得x＝eq\f(4,3).題型5三角形中的直線問題,5)直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，且A、B的坐標(biāo)分別為A(－4，2)、B(3，1)，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)并判斷△ABC的形狀．解：由題意畫出草圖(如圖所示)．設(shè)點(diǎn)A(－4，2)關(guān)于直線l：y＝2x的對稱點(diǎn)為A′(a，b)，則A′必在直線BC上．以下先求A′(a，b)．由對稱性可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(b－2,a＋4)＝－\f(1,2)，,\f(b＋2,2)＝2·\f(a－4,2)，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－2，)))∴A′(4，－2)．∴直線BC的方程為eq\f(y－1,－2－1)＝eq\f(x－3,4－3)，即3x＋y－10＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,3x＋y－10＝0，)))得C(2，4)．∴kAC＝eq\f(1,3)，kBC＝－3，∴AC⊥BC.∴△ABC是直角三角形．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知△ABC的頂點(diǎn)為A(3，－1)，AB邊上的中線所在的直線方程為6x＋10y－59＝0，∠B的平分線所在的直線方程為x－4y＋10＝0，求BC邊所在的直線方程．解：設(shè)B(4y1－10，y1)，由AB的中點(diǎn)在6x＋10y－59＝0上，可得6·eq\f(4y1－7,2)＋10·eq\f(y1－1,2)－59＝0，解得y1＝5，所以B為(10，5)．設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x－4y＋10＝0的對稱點(diǎn)為A′(x′，y′)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x′＋3,2)－4·\f(y′－1,2)＋10＝0，,\f(y′＋1,x′－3)·\f(1,4)＝－1))A′(1，7)．故BC邊所在的直線方程為2x＋9y－65＝0.1.(2014·長沙模擬)已知過點(diǎn)A(－2，m)和點(diǎn)B(m，4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3.若l1∥l2，l2⊥l3，則實(shí)數(shù)m＋n＝________．答案：－10解析：∵l1∥l2，∴kAB＝eq\f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.∵l2⊥l3，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,n)))×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.2.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．答案：(2，4)解析：由題可知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)到四點(diǎn)距離之和最小，直線AC的方程為y－2＝2(x－1)，直線BD的方程為y－5＝－(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－2＝2（x－1），,y－5＝－（x－1），))得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)．3.與直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對稱的直線方程為________．答案：3x＋4y＋5＝0解析：與直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對稱的直線方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.4.m為何值時，直線l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0不能圍成三角形？解：先考慮三條直線中有兩條直線平行或重合的情況．①若m≠0，則k1＝－4，k2＝－m，k3＝eq\f(2,3m)，當(dāng)m＝4時，k1＝k2；當(dāng)m＝－eq\f(1,6)時，k1＝k3；而k2與k3不可能相等．②若m＝0，則l1：4x＋y－4＝0，l2：y＝0，l3：x－2＝0，此時三條直線能圍成三角形．∴當(dāng)m＝4或m＝－eq\f(1,6)時，三條直線不能圍成三角形．再考慮三條直線共點(diǎn)的情況，此時m≠0且m≠4且m≠－eq\f(1,6).將y＝－mx代入4x＋y－4＝0，得x＝eq\f(4,4－m)，即l1與l2交于點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,4－m)，－\f(4m,4－m)))，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入l3的方程得eq\f(8,4－m)＋eq\f(12m2,4－m)－4＝0，解得m＝－1或m＝eq\f(2,3).∴當(dāng)m＝－1或m＝eq\f(2,3)時，l1，l2，l3交于一點(diǎn)，不能圍成三角形．綜上所述，當(dāng)m為－1或－eq\f(1,6)或eq\f(2,3)或4時，三條直線不能圍成三角形．1.若動點(diǎn)A、B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為______．答案：3eq\r(2)解析：依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離，設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式得eq\f(|m＋7|,\r(2))＝eq\f(|m＋5|,\r(2))|m＋7|＝|m＋5|m＝－6，所以l的方程為x＋y－6＝0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得M到原點(diǎn)的距離的最小值為eq\f(|6|,\r(2))＝3eq\r(2).2.(2014·濟(jì)南模擬)已知兩條直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，則a＝________．答案：－1或2解析：若a＝0，兩直線方程分別為－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此時兩直線相交，不平行，所以a≠0；當(dāng)a≠0時，兩直線若平行，則有eq\f(a－1,1)＝eq\f(2,a)≠eq\f(1,3)，解得a＝－1或2.3.(2014·金華調(diào)研)當(dāng)0<k<eq\f(1,2)時，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在第________象限．答案：二解析：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k))得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,k－1)，\f(2k－1,k－1)))，因?yàn)?<k<eq\f(1,2)，所以eq\f(k,k－1)<0，eq\f(2k－1,k－1)>0，故交點(diǎn)在第二象限．4.已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C的平分線所在的直線方程為2x－3y＋6＝0，求三角形各邊所在直線的方程．解：設(shè)A點(diǎn)關(guān)于直線2x－3y＋6＝0的對稱點(diǎn)為A′(x1，y1)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\f(x1－1,2)－3·\f(y1＋5,2)＋6＝0，,\f(y1－5,x1＋1)＝－\f(3,2)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x1－3y1－5＝0，,3x1＋2y1－7＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(31,13)，,y1＝－\f(1,13)，))即A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(31,13)，－\f(1,13)))，同理，點(diǎn)B關(guān)于直線2x－3y＋6＝0的對稱點(diǎn)為B′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(36,13)，\f(41,13))).∵角平分線是角的兩邊的對稱軸，∴A′點(diǎn)在直線BC上．∴直線BC的方程為y＝eq\f(－\f(1,13)－（－1）,\f(31,13)－0)x－1，整理得12x－31y－31＝0.同理，直線AC的方程為y－5＝eq\f(5－\f(41,13),－1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(36,13))))(x＋1)，整理得24x－23y＋139＝0.直線AB的方程為y＝eq\f(5－（－1）,－1－0)x－1，整理得6x＋y＋1＝0.1.在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在，兩條直線都有斜率時，可根據(jù)斜率的關(guān)系作出判斷，無斜率時，要單獨(dú)考慮．2.在使用點(diǎn)到直線的距離公式或兩平行線間的距離公式時，直線方程必須先化為Ax＋By＋C＝0的形式，否則會出錯．3.對稱問題主要包括中心對稱和軸對稱(1)中心對稱①點(diǎn)P(x，y)關(guān)于O(a，b)的對稱點(diǎn)P′(x′，y′)滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))②直線關(guān)于點(diǎn)的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題來解決．(2)軸對稱①點(diǎn)A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點(diǎn)A′(m，n)，則有eq\f(n－b,m－a)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，A·eq\f(a＋m,2)＋B·eq\f(b＋n,2)＋C＝0.②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決．請使用課時訓(xùn)練(B)第3課時(見活頁)．[備課札記]

第4課時圓的方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(對應(yīng)學(xué)生用書（文）119～121頁,（理）124～126頁))了解確定圓的幾何要素(圓心、半徑、不在同一直線上的三個點(diǎn)等)；掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．能根據(jù)問題的條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角髨A的方程；理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的關(guān)系并會進(jìn)行互化．1.(必修2P100練習(xí)4改編)若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為________．答案：1解析：因?yàn)閳Ax2＋y2＋2x－4y＝0的圓心為(－1，2)，所以3×(－1)＋2＋a＝0，解得a＝