高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 矩陣與變換課堂過關(guān) 理（選修4-2）-人教版高三選修4-2數(shù)學(xué)試題

選修4－2矩陣與變換第1課時線性變換、二階矩陣及其乘法(對應(yīng)學(xué)生用書(理)185～187頁)掌握恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換等常見的線性變換的幾何表示及其幾何意義．掌握恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換等常見的線性變換的幾何表示及其幾何意義，并能應(yīng)用這幾種常見的線性變換進(jìn)行解題．1.已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(x＋2y,x＋3y,x－y,x＋y)))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(34,ab))，若A＝B，求ax＋by的值．解：∵A＝B，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3，,x＋3y＝4，,x－y＝a，,x＋y＝b，))∴x＝1，y＝1，a＝0，b＝2，則ax＋by＝0＋2＝2.2.點(－1，k)在伸壓變換矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(m,0,0,1)))之下的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(－2，－4)，求m、k的值．解：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(m,0,0,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－1,k)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－2,－4)))，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m＝－2，,k＝－4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,k＝－4.))3.已知變換T是將平面內(nèi)圖形投影到直線y＝2x上的變換，求它所對應(yīng)的矩陣．解：將平面內(nèi)圖形投影到直線y＝2x上，即是將圖形上任意一點(x，y)通過矩陣M作用變換為(x，2x)，則有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,0,b,0)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x,y)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x,2x)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))∴T＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,2,0))).4.求曲線y＝eq\r(x)在矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,1,1,0)))作用下變換所得的圖形對應(yīng)的曲線方程．解：設(shè)點(x，y)是曲線y＝eq\r(x)上任意一點，在矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,1,1,0)))的作用下點變換成(x′，y′)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,1,1,0)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x,y)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x′,y′)))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝y(tǒng)，,y′＝x.))因為點(x，y)在曲線y＝eq\r(x)上，所以x′＝eq\r(y′)，即x＝eq\r(y).5.(2014·無錫期末)求使等式eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0－1))成立的矩陣M.解：設(shè)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,2c,2d)))，∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,2c,2d)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,－b,2c,－2d))).∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,－b,2c,－2d)))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝a，,2＝－b，,3＝2c，,4＝－2d，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝\f(3,2)，,d＝－2.))∴M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,－2,\f(3,2),－2))).1.二階矩陣與平面向量(1)矩陣的概念在數(shù)學(xué)中，把形如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,3))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,15))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，3，4,2，0，－1))這樣的矩形數(shù)字(或字母)陣列稱為矩陣，其中，同一橫排中按原來次序排列的一行數(shù)(或字母)叫做矩陣的行，同一豎排中按原來次序排列的一列數(shù)(或字母)叫做矩陣的列，而組成矩陣的每一個數(shù)(或字母)稱為矩陣的元素．(2)二階矩陣與平面列向量的乘法①[a11a12]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11,b21))＝[a11×b11＋a12×b21]；②eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11×x0＋a12×y0,a21×x0＋a22×y0)).2.幾種常見的平面變換(1)當(dāng)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))時，則對應(yīng)的變換是恒等變換．(2)由矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(k,0,0,1)))或M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,k)))(k>0)確定的變換TM稱為(垂直)伸壓變換．(3)反射變換是軸對稱變換、中心對稱變換的總稱．(4)當(dāng)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(cosθ,－sinθ,sinθ,cosθ)))時，對應(yīng)的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，即把平面圖形(或點)逆時針旋轉(zhuǎn)θ角度．(5)將一個平面圖投影到某條直線(或某個點)的變換稱為投影變換．(6)由矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,k,0,1)))或eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,k,1)))確定的變換稱為切變變換．3.線性變換的基本性質(zhì)(1)設(shè)向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，則λα＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(λx,λy)).(2)設(shè)向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1,y1))，β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2,y2))，則α＋β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1＋x2,y1＋y2)).(3)A是一個二階矩陣，α、β是平面上任意兩個向量，λ是任一實數(shù)，則A(λα)＝λAα，A(α＋β)＝Aα＋Aβ.(4)二階矩陣對應(yīng)的變換(線性變換)把平面上的直線變成直線(或一點)．4.二階矩陣的乘法(1)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1b1,c1d1))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2b2,c2d2))，則AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1a2＋b1c2a1b2＋b1d2,c1a2＋d1c2c1b2＋d1d2))(2)矩陣乘法滿足結(jié)合律(AB)C＝A(BC)．[備課札記]

題型1二階矩陣的運(yùn)算,1)已知eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,12))B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－43,4－1))，求矩陣B.解：設(shè)B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,12))B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,a＋2c,b＋2d)))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝3，,a＋2c＝4，,b＋2d＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝3，,c＝4，,d＝－2.))故B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－43,4－2)).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,12))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－43,4－2))且α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,4))，試判斷(AB)α與A(Bα)的關(guān)系．解：AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－43,4－1))，∴(AB)α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－43,4－1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,4))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,8))，A(Bα)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,12))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－43,4－2))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,4))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,12))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,4))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,8)).∴(AB)α＝A(Bα)．題型2求變換前后的曲線方程,2)(2014·南京、鹽城期末)已知曲線C：xy＝1，若矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)\f(\r(2),2)))對應(yīng)的變換將曲線C變?yōu)榍€C′，求曲線C′的方程．解：設(shè)曲線C上一點(x′，y′)對應(yīng)于曲線C′上一點(x，y)，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)\f(\r(2),2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，所以eq\f(\r(2),2)x′－eq\f(\r(2),2)y′＝x，eq\f(\r(2),2)x′＋eq\f(\r(2),2)y′＝y(tǒng).所以x′＝eq\f(x＋y,\r(2))，y′＝eq\f(y－x,\r(2))，所以x′y′＝eq\f(x＋y,\r(2))·eq\f(y－x,\r(2))＝1，所以曲線C′的方程為y2－x2＝2.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)0,01))，矩陣MN對應(yīng)的變換把曲線y＝eq\f(1,2)sineq\f(1,2)x變?yōu)榍€C，求曲線C的方程．解：MN＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(1,2),0,0,1)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(1,2),0,0,2)))，設(shè)P(x，y)是所求曲線C上的任意一點，它是曲線y＝sinx上點P0(x0，y0)在矩陣MN變換下的對應(yīng)點，則有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(1,2),0,0,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)x0，,y＝2y0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝\f(1,2)y.))又點P(x0，y0)在曲線y＝eq\f(1,2)sineq\f(1,2)x上，故y0＝eq\f(1,2)sineq\f(1,2)x0，從而eq\f(1,2)y＝eq\f(1,2)sinx.所求曲線C的方程為y＝sinx.題型3根據(jù)變換前后的曲線方程求矩陣,3)二階矩陣M對應(yīng)變換將(1，－1)與(－2，1)分別變換成(5，7)與(－3，6)．(1)求矩陣M；(2)若直線l在此變換下所變換成的直線的解析式l′：11x－3y－68＝0，求直線l的方程．解：(1)不妨設(shè)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))，則由題意得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,－1)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5,7))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－2,1)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－3,6)))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－7，,c＝－13，,d＝－20，))故M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－2,－7,－13,－20))).(2)取直線l上的任一點(x，y)，其在M作用下變換成對應(yīng)點(x′，y′)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－2,－7,－13,－20)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2x－7y,－13x－20y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝－2x－7y，,y′＝－13x－20y，))代入11x－3y－68＝0，得x－y－4＝0，即l的方程為x－y－4＝0.eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)(2014·蘇州期末)已知a、b∈R，若M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1a,b3))所對應(yīng)的變換TM把直線2x－y＝3變換成自身，試求實數(shù)a、b.解：設(shè)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1a,b3))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝－x＋ay，,y′＝bx＋3y.))∵2x′－y′＝3，∴2(－x＋ay)－(bx＋3y)＝3.即(－2－b)x＋(2a－3)y＝3.此直線即為2x－y＝3，∴－2－b＝2，2a－3＝－1，解得a＝1，b＝－4.題型4平面變換的綜合應(yīng)用,4)已知M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,1)))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,\f(1,2))))，向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,4)).(1)驗證：(MN)α＝M(Nα)；(2)驗證這兩個矩陣不滿足MN＝NM.解：(1)因為MN＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,\f(1,2))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,\f(1,2),0,\f(1,2))))，所以(MN)α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,\f(1,2),0,\f(1,2))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,4))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5,2)).因為Nα＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,\f(1,2))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,4))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,2))，所以M(Nα)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5,2))，所以(MN)α＝M(Nα)．(2)因為MN＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,\f(1,2),0,\f(1,2))))，NM＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,\f(1,2))))，所以這兩個矩陣不滿足MN＝NM.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點坐標(biāo)為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3)).求△ABC在矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,－1,1,0)))作用下變換所得到的圖形的面積．解：因為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,－1,1,0)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,0))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,－1,1,0)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,－1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,－1,1,0)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,3))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3,0))，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3))在矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10))作用下變換所得到的三個頂點坐標(biāo)分別為A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，B′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－1))，C′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，0)).故S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′C′|yB′|＝eq\f(3,2).1.在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點坐標(biāo)O(0，0)、A(2，0)、B(1，eq\r(2))，求△OAB在矩陣MN的作用下變換所得到的圖形的面積，其中矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,－1)))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,\f(\r(2),2),0,\f(\r(2),2)))).解：由題設(shè)得MN＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,\f(\r(2),2),0,－\f(\r(2),2))))，∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,\f(\r(2),2),0,－\f(\r(2),2))))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,0))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,\f(\r(2),2),0,－\f(\r(2),2))))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,0))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,\f(\r(2),2),0,－\f(\r(2),2))))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,\r(2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2,－1))).可知O、A、B三點在矩陣MN作用下變換所得的點分別為O′(0，0)、A′(2，0)、B′(2，－1)．可得△O′A′B′的面積為1.2.已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,1,1,0)))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,－1,1,0)))，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線2x－y＋1＝0在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下得到的曲線F，求曲線F的方程．解：由題設(shè)得MN＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,1,1,0)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,－1,1,0)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,－1))).設(shè)(x，y)是直線2x－y＋1＝0上任意一點，點(x，y)在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下變?yōu)?x′，y′)，則有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,－1)))eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))))＝eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))))，即eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x,－y)))))＝eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x′，,y＝－y′.))因為點(x，y)在直線2x－y＋1＝0上，從而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0.所以曲線F的方程為2x＋y＋1＝0.3.(2014·常州期末)已知直線l：ax－y＝0在矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,12))對應(yīng)的變換作用下得到直線l′，若直線l′過點(1，1)，求實數(shù)a的值．解：設(shè)P(x，y)為直線l上任意一點，在矩陣A對應(yīng)的變換下變?yōu)橹本€l′上的點P′(x′，y′)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,12))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，化簡，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2x′＋y′，,y＝x′))代入ax－y＝0，整理，得－(2a＋1)x′＋ay′＝0.將點(1，1)代入上述方程，解得a＝－1.4.變換T1是逆時針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,2)的旋轉(zhuǎn)變換，對應(yīng)的變換矩陣是M1；變換T2對應(yīng)的變換矩陣是M2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,01)).(1)求點P(2，1)在變換T1作用下的點P′的坐標(biāo)；(2)求函數(shù)y＝x2的圖象依次在T1、T2變換的作用下所得曲線的方程．解：(1)M1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10))，M1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2))，所以點P(2，1)在T1作用下的點P′的坐標(biāo)是(－1，2)．(2)M＝M2M1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,10))，設(shè)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))是變換后圖象上任一點，與之對應(yīng)的變換前的點是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))，則Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，也就是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝x，,x0＝y(tǒng)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝y(tǒng)，,y0＝y(tǒng)－x.))所以，所求曲線的方程是y－x＝y(tǒng)2.1.如圖所示，四邊形ABCD和四邊形AB′C′D分別是矩形和平行四邊形，其中各點的坐標(biāo)分別為A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求將四邊形ABCD變成四邊形AB′C′D的變換矩陣M.解：該變換為切變變換．設(shè)矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,k,1)))，由圖知，Ceq\o(→,\s\up7(M))C′，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,k,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3,－2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,3)).所以3k－2＝3，解得k＝eq\f(5,3).所以，M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,\f(5,3),1))).2.已知在一個二階矩陣M的變換作用下，點A(1，2)變成了點A′(4，5)，點B(3，－1)變成了點B′(5，1)．(1)求矩陣M；(2)若在矩陣M的變換作用下，點C(x，0)變成了點C′(4，y)，求x，y.解：(1)設(shè)該二階矩陣為M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，由題意得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4,5))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5,1))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝4，,c＋2d＝5，,3a－b＝5，,3c－d＝1，))解得a＝2，b＝1，c＝1，d＝2，故M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12)).(2)因為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x,x)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4,y))，解得x＝2，y＝2.3.(2014·蘇北三市期末)設(shè)矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a0,0b))(其中a＞0，b＞0)，若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對應(yīng)的變換作用下得到曲線C′：eq\f(x2,4)＋y2＝1，求a＋b的值．解：設(shè)曲線C：x2＋y2＝1上任意一點P(x，y)在矩陣M所對應(yīng)的變換作用下得到點P1(x1，y1)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a0,0b))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1,y1))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＝x1，,by＝y(tǒng)1.))又點P1(x1，y1)在曲線C′：eq\f(x2,4)＋y2＝1上，所以eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋yeq\o\al(2,1)＝1，則eq\f(a2x2,4)＋b2y2＝1為曲線C的方程．又曲線C的方程為x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1.因為a＞0，b＞0，所以a＋b＝3.4.二階矩陣M對應(yīng)的變換將點(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(－1，－1)與(0，－2)．(1)求矩陣M；(2)設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m：x－y＝4，求l的方程．解：(1)設(shè)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))，則有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,－1)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,－1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,b,c,d)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－2,1)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0,－2)))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,c－d＝－1，))且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a＋b＝0，,－2c＋d＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，,c＝3，,d＝4，))所以M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,3,4))).(2)因為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,3,4)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋2y,3x＋4y))且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，即x＋y＋2＝0，即直線l的方程為x＋y＋2＝0.幾種特殊的變換反射變換：M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,－1)))：點的變換為(x，y)→(x，－y)，變換前后關(guān)于x軸對稱；M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,0,0,1)))：點的變換為(x，y)→(－x，y)，變換前后關(guān)于y軸對稱；M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,0,0,－1)))：點的變換為(x，y)→(－x，－y)，變換前后關(guān)于原點對稱；M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,1,1,0)))：點的變換為(x，y)→(y，x)，變換前后關(guān)于直線y＝x對稱．投影變換：M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,0)))：將坐標(biāo)平面上的點垂直投影到x軸上，點的變換為(x，y)→(x，0)；M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,0,0,1)))：將坐標(biāo)平面上的點垂直投影到y(tǒng)軸上，點的變換為(x，y)→(0，y)；M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,1,0)))：將坐標(biāo)平面上的點垂直于x軸方向投影到y(tǒng)＝x上，點的變換為(x，y)→(x，x)；M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,1,0,1)))：將坐標(biāo)平面上的點平行于x軸方向投影到y(tǒng)＝x上，點的變換為(x，y)→(y，y)；M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(1,2),\f(1,2),\f(1,2),\f(1,2))))：將坐標(biāo)平面上的點垂直于y＝x方向投影到y(tǒng)＝x上，點的變換為(x，y)→eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)，\f(x＋y,2))).請使用課時訓(xùn)練(A)第1課時(見活頁)．

第2課時逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量(對應(yīng)學(xué)生用書(理)188～190頁)①掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件，并能進(jìn)行矩陣的運(yùn)算.②求二階矩陣的特征值和特征向量，利用特征值和特征向量進(jìn)行矩陣運(yùn)算．①理解逆矩陣的意義，掌握二階矩陣存在逆矩陣的條件，并能進(jìn)行矩陣的運(yùn)算.②會求二階矩陣的特征值和特征向量，會利用矩陣求解方程組．會利用特征值和特征向量進(jìn)行矩陣運(yùn)算．1.已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10))，求(AB)－1.解：∵AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,20))，設(shè)(AB)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，∴(AB)(AB)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01)).∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,20))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－c－d,2a2b)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01)).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－c＝1，,－d＝0，,2a＝0，,2b＝1，))故a＝0，b＝eq\f(1,2)，c＝－1，d＝0.即(AB)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,\f(1,2),－1,0))).2.已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,2,7,3)))，若矩陣M的逆矩陣M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(b,－2,－7,a)))，求a、b的值．解：由題意，知MM－1＝E，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,2,7,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(b,－2,－7,a)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(ab－14,0,7b－21,3a－14)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,0,1)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab－14＝1，,7b－21＝0，,3a－14＝1，))解得a＝5，b＝3.3.求矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,2,－1,2)))的特征多項式．解：f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－1,－2,1,λ－2)))＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4.(選修42P73習(xí)題第1題改編)求矩陣M＝[eq\a\vs4\ac\hs10\co2(1,6,－2,－6)]的特征值．解：矩陣M的特征多項式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－1,－6,2,λ＋6)))＝(λ＋2)(λ＋3)，令f(λ)＝0，得M的特征值為λ1＝－2，λ2＝－3.5.已知二階矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，矩陣A屬于特征值λ1＝－1的一個特征向量為α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))，屬于特征值λ2＝4的一個特征向量為α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,2)).求矩陣A.解：由特征值、特征向量定義可知，Aα1＝λ1α1，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝－1×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,c－d＝1.))同理可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＝12，,3c＋2d＝8，))解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.因此矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,21)).1.逆變換與逆矩陣(1)對于二階矩陣A、B，若有AB＝BA＝E，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣．(2)若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)－1＝B－1A－1(3)利用行列式解二元一次方程組．2.特征值與特征向量(1)設(shè)A是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)λ，存在一個非零向量α，使Aα＝λα，那么λ稱為A的一個特征值，而α稱為A的屬于特征值λ的一個特征向量．(2)從幾何上看，特征向量的方向經(jīng)變換矩陣A的作用后，保持在同一條直線上，這時特征向量或者方向不變(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特別地，當(dāng)λ＝0時，特征向量就變換成零向量.題型1求逆矩陣與逆變換,1)若點A(2，2)在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cosα－sinα,sinαcosα))對應(yīng)變換的作用下得到的點為B(－2，2)，求矩陣M的逆矩陣．解：由題意知，Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,2))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cosα－2sinα,2sinα＋2cosα))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,2))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα－sinα＝－1，,sinα＋cosα＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα＝0，,sinα＝1.))所以M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10)).(解法1)由M－1M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，解得M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,－10)).(解法2)矩陣M的行列式det(M)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－1,10))＝1≠0，所以M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(0,1,－1,0))).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－3,1,－1)))所對應(yīng)的線性變換把點A(x，y)變成點A′(13，5)，試求M的逆矩陣及點A的坐標(biāo)．解：依題意，由M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－3,1,－1)))，得|M|＝1，則M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,3,－1,2))).從而由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,－3,1,－1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(13,5)))，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－1,3,－1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(13,5)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1×13＋3×5,－1×13＋2×5))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2,－3)))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3，))∴A點坐標(biāo)為(2，－3)．題型2求特征值與特征向量,2)已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,a,2,1)))，其中a∈R，若點P(1，－2)在矩陣M的變換下得到點P′(－4，0)．(1)求實數(shù)a的值；(2)求矩陣M的特征值及其對應(yīng)的特征向量．解：(1)由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,a,2,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,－2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－4,0)))，得2－2a＝－4a＝3.(2)由(1)知M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,3,2,1)))，則矩陣M的特征多項式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－2,－3,－2,λ－1)))＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩陣M的特征值為－1與4.當(dāng)λ＝－1時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ－2）x－3y＝0，,－2x＋（λ－1）y＝0))x＋y＝0，∴矩陣M的屬于特征值－1的一個特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,－1)))；當(dāng)λ＝4時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（λ－2）x－3y＝0，,－2x＋（λ－1）y＝0))2x－3y＝0.∴矩陣M的屬于特征值4的一個特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3,2))).eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)(2014·鎮(zhèn)江期末)已知矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x3,21))的一個特征值為4，求另一個特征值及其對應(yīng)的一個特征向量．解：矩陣的特征多項式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－x,－3,－2,λ－1)))＝(λ－1)(λ－x)－6.因為λ1＝4是方程f(λ)＝0的一個根，所以x＝2.由(λ－1)(λ－2)－6＝0，得λ2＝－1.設(shè)λ2＝－1對應(yīng)的一個特征向量為α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋3y＝0，,2x＋2y＝0，))得x＝－y，令x＝1，則y＝－1，則矩陣的另一個特征值為－1，對應(yīng)的一個特征向量為α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1)).題型3根據(jù)特征值或特征向量求矩陣,3)矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,2)))有特征向量為e1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，e2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0)).(1)求e1和e2對應(yīng)的特征值；(2)對向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4,1))，記作α＝e1＋3e2，利用這一表達(dá)式間接計算M4α，M10α.解：(1)設(shè)向量e1、e2對應(yīng)的特征值分別為λ1、λ2，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝λ1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,1,0,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))＝λ2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))，故λ1＝2，λ2＝1，即向量e1，e2對應(yīng)的特征值分別是2，1.(2)因為α＝e1＋3e2，所以M4α＝M4(e1＋3e2)＝M4e1＋3M4e2＝λeq\o\al(4,1)e1＋3λeq\o\al(4,2)e2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(19,16))，M10α＝M10(e1＋3e2)＝M10e1＋3M10e2＝λeq\o\al(10,1)e1＋3λeq\o\al(10,2)e2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(210＋3,210))).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,－1)))有特征向量e1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(1,0)))，e2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1))，相應(yīng)的特征值為λ1，λ2.(1)求矩陣M的逆矩陣M－1及λ1，λ2；(2)對任意向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，求M100α.解：(1)由矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,－1)))變換的意義知M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(\f(1,2),0,0,－1)))，又Me1＝λ1e1，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,－1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))＝λ1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))，故λ1＝2，同理Me2＝λ2e2，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,0,0,－1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0,1)))＝λ2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0,1)))，故λ2＝－1.(2)因為α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝xe1＋ye2，所以M100α＝M100(xe1＋y·e2)＝xM100e1＋yM100e2＝xλeq\o\al(100,1)e1＋yλ2100e2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2100x,y))).1.求矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12))的特征值及對應(yīng)的特征向量．解：特征多項式f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－2,－1,－1,λ－2)))＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3，由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3，將λ1＝1代入特征方程組，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－y＝0，,－x－y＝0，))x＋y＝0，可取eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))為屬于特征值λ1＝1的一個特征向量．同理，當(dāng)λ2＝3時，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,－x＋y＝0，))x－y＝0，所以可取eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))為屬于特征值λ2＝3的一個特征向量．綜上所述，矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12))有兩個特征值λ1＝1，λ2＝3；屬于特征值λ1＝1的一個特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))，屬于特征值λ2＝3的一個特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1)).2.已知矩陣A的逆矩陣A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－\f(1,4),\f(3,4),\f(1,2),－\f(1,2))))，求矩陣A的特征值．解：∵A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1∵A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－\f(1,4),\f(3,4),\f(1,2),－\f(1,2))))，∴A＝(A－1)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,3,2,1))).∴矩陣A的特征多項式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－2,－3,－2,λ－1)))＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩陣A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3.(2014·南通期末)設(shè)二階矩陣A、B滿足A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))，(BA)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，求B－1.解：設(shè)B－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，因為(BA)－1＝A－1B－1，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2c＝1，,b＋2d＝0，,3a＋4c＝0，,3b＋4d＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1，,c＝\f(3,2)，))d＝－eq\f(1,2)，所以B－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(－2,1,\f(3,2),－\f(1,2)))).4.設(shè)曲線2x2＋2xy＋y2＝1在矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,0,b,1)))(a>0)對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2＋y2＝1.(1)求實數(shù)a、b的值；(2)求A2的逆矩陣．解：(1)設(shè)曲線2x2＋2xy＋y2＝1上任一點P(x，y)在矩陣A對應(yīng)的變換下的象是P′(x′，y′)，由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a,0,b,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(ax,bx＋y)))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝ax，,y′＝bx＋y.))因為P′(x′，y′)在圓x2＋y2＝1上，所以(ax)2＋(bx＋y)2＝1，化簡可得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1，依題意可得a2＋b2＝2，2b＝2a＝1，b＝1或a＝－1，b＝1，而由a>0可得a＝b＝1.(2)由(1)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,1,1)))，得A2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,1,1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,1,1)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,2,1)))|A2|＝1，(A2)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(1,0,－2,1))).1.已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))，若點P(1，1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點P′(0，－8)．(1)求實數(shù)a的值；(2)求矩陣A的特征值．解：(1)由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－8))，得a＋1＝－8，所以a＝－9.(2)由(1)知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,－91))，則矩陣A的特征多項式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－11,9λ－1))＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩陣A的特征值為－2或4.2.已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2,1b))有一個屬于特征值1的特征向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－1)).(1)求矩陣A；(2)矩陣B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,01))，點O(0，0)，M(2，－1)，N(0，2)，求△OMN在矩陣AB的對應(yīng)變換作用下所得到的△O′M′N′的面積．解：(1)由已知得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2,1b))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－1))＝1·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－1))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－2＝2,2－b＝－1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，))故A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(22,13)).(2)AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(22,13))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,01))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,12)).∴(AB)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,12))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,0))，(AB)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,12))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4,0))，(AB)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,12))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,4))，即點O、M、N變成點O′(0，0)，M′(4，0)，N′(0，4)，△O′M′N′的面積為eq\f(1,2)×4×4＝8.3.(2014·南京、鹽城一模)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1a,－1b)