非簡并態(tài)微擾論

第五章微擾理論量子力學(xué)中能夠精確求解的情形是有限的，大部分問題不能求得精確解，因此發(fā)展近似方法求解就成為量子力學(xué)的一個(gè)重要課題。是在簡單問題的精確解基礎(chǔ)上，將復(fù)雜的哈密頓量分解成可精確求解部分和微擾部分，然后通過一定的近似技巧求出微擾修正。兩部分之和就是復(fù)雜問題的近似解。微擾理論的分類：根據(jù)哈密頓量是否顯含時(shí)間分為定態(tài)微擾理論和含時(shí)微擾理論。定態(tài)微擾理論有簡并情況的定態(tài)微擾理論和非簡并定態(tài)微擾理論。含時(shí)微擾理論一般是和體系狀態(tài)或能級(jí)躍遷有關(guān)，如光吸收與發(fā)射。1第一節(jié)非簡并定態(tài)微擾理論一、非簡并定態(tài)微擾理論體系哈密頓量不顯含時(shí)間，能夠分解成兩部分：主要部分和微擾部分，且主要部分的解是已知的或是容易直接求解，微擾部分和主要部分相比很小。即：而哈密頓量

的本征值和本征函數(shù)分別為和，即：與相比，發(fā)生了一定程度的移動(dòng)，一般與能級(jí)間隔相比移動(dòng)較小，其原因就是因?yàn)槎嗔说淖饔谩?為了明顯的表示微擾小的程度，我將微擾哈密頓量寫成：其中λ是一個(gè)很小的實(shí)數(shù)，它只作為微擾級(jí)別的標(biāo)志。相應(yīng)的把哈密頓量的本征值和本征函數(shù)展開成為λ和無微擾本征值和本征函數(shù)的函數(shù)，即：這時(shí)我們稱無微擾的本征值和本征函數(shù)為微擾作用下的零級(jí)近似本征值和本征函數(shù)，而和的一級(jí)修正。下面將本征能量和本征波函數(shù)展開式代入到含微擾作用的薛定諤方程，則得到方程展開式：3λ同次冪的系數(shù)應(yīng)該相等，從而可以得到以下系列方程組：(1)(2)(3)方程(1)正是無微擾的薛定諤方程，方程(2)是確定一級(jí)修正的方程，由方程并利用一級(jí)修正可確定二級(jí)修正。對(duì)于方程(2)，若是方程的解，則也是方程的解。？？4(2)假設(shè)所討論的第n能級(jí)為非簡并能級(jí)，則對(duì)應(yīng)的波函數(shù)只有一個(gè)，設(shè)該本征波函數(shù)已歸一化。下面由方程(2)確定本征能量和本征值的一級(jí)修正。設(shè)λ=1，所以將再換成。上式兩同時(shí)左乘并對(duì)全空間積分得：根據(jù)哈密頓量厄密算符的性質(zhì)，方程左邊為：5所以得能量的一級(jí)修正為：為求波函數(shù)的一級(jí)修正，將一級(jí)修正波函數(shù)按零級(jí)近似波函數(shù)展開為：由于對(duì)于方程(2)，若是方程的解，則也是方程的解。所以上面的展開式完全可以不包括第n項(xiàng)。即：求和號(hào)上的一撇表示求和不包含第n項(xiàng)。將展開式代入(2)式得：6即：上式兩同時(shí)左乘并對(duì)全空間積分得：即：所以得：所以波函數(shù)的一級(jí)修正為：對(duì)第(3)式利用同樣的方式，可以求得能量二級(jí)修正為：7這樣得到能量準(zhǔn)確到二級(jí)修正為：二、非簡并定態(tài)微擾理論適用的條件微擾理論適用的條件就是以上兩式的級(jí)數(shù)收斂，由于不知道一般項(xiàng)的表達(dá)式，所以對(duì)于現(xiàn)有已知的項(xiàng)要求：可見微擾理論的成立不僅與微擾矩陣元有關(guān)，而且還與能級(jí)間隔有關(guān)，所以對(duì)于同一體系的不同能級(jí)，微擾理論成立的條件不一定一樣的。？？8三、例題一電荷為e的線性諧振子，受恒定弱電場E

作用，電場沿正x方向，用微擾法求體系的定態(tài)能量（到二級(jí)近似）和波函數(shù)（到一級(jí)近似）。解：體系的哈密頓算符為：弱電場引起的附加能量可以看作微擾，因此哈密頓量可以分解為：體系是在線性諧振子的基礎(chǔ)上加上微擾，所以其零級(jí)近似為線性諧振子的本征值和本征能量。9所以直接利用公式計(jì)算微擾修正，則第n個(gè)能級(jí)的一級(jí)修正為：再計(jì)算能量的二級(jí)修正，由于所以先計(jì)算微擾矩陣元：10即：能量二級(jí)修正的求和中只有m=n-1和m=n+1兩項(xiàng)，即：能級(jí)移動(dòng)與n無關(guān)。11類似的可以計(jì)算出波函數(shù)的一級(jí)修正為：對(duì)于n=0上面的求和計(jì)算中應(yīng)去掉第n-1項(xiàng)，諧振子能級(jí)間隔都相等，在偶極電場中，電場的附加能量對(duì)各能級(jí)都是相等的。這說明在偶極電場中能級(jí)間隔仍然相等，仍具有諧振子的特點(diǎn)。這一點(diǎn)通過對(duì)哈密算符配方，很容易看出。12可見加入電場后，能級(jí)低了，而平衡點(diǎn)也向右移動(dòng)了。勢能曲線如下頁圖所示。13例2.設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：（1）設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級(jí)近似；（2）求H的精確本征值；（3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。解：（1）c<<1，可取0級(jí)和微擾Hamilton量分別為：H0是對(duì)角矩陣，是HamiltonH0在自身表象中的形式，而且能級(jí)是非簡并的。所以能量的0級(jí)近似為：14E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非簡并微擾公式得能量一級(jí)修正（此處每一能級(jí)都要修正?。?5能量二級(jí)修正為：準(zhǔn)確到二級(jí)近似的能量為：16設(shè)H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(2)精確解：與近似解比較：17可知，微擾論二級(jí)近似結(jié)果與精確解展開式不計(jì)c4及以后高階項(xiàng)的結(jié)果相同。比較（1）和（2）之解(3)將準(zhǔn)確解按c(<<1)展開：﹟18總結(jié)：非簡