上海市2022年中考數(shù)學試卷(解析版)

上海市2022年中考數(shù)學試卷

一.選擇題

1.8的相反數(shù)是（）

A--8B.8C.-D.--

88

2.下列運算正確的是……()

A.。2+〃3=〃6B.(ab)2按C.(〃+b)2=a2+b2D.(a+b)(a-b)=?2-b2

3.已知反比例函數(shù)產上（原0）,且在各自象限內，y隨x的增大而增大，則下列點可能在這個函數(shù)圖象上的

x

為（）

A.（2,3）B.（-2,3）C.（3,0）D.（-3,0）

4.我們在外賣平臺點單時會有點餐用的錢和外賣費6元，我們計算了點單的總額和不計算外賣費的總額的數(shù)

據(jù)，則兩種情況計算出的數(shù)據(jù)一樣的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

5.下列說法正確的是（）

A.命題一定有逆命題B.所有的定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題D.假命題的逆命題一定是假命題

6.有一個正“邊形旋轉90?后與自身重合，則〃為（）

A-6B.9C.12D.15

二.填空題

7.計算：3a-2a=.

8.已知/'（x）=3x,則/（I）=.

9.解方程組_的結果為___.

[X2-/=3

10.已知x-2gx+"=。有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是.

11.甲、乙、丙三人參加活動，兩個人一組，則分到甲和乙的概率為.

12.某公司5月份的營業(yè)額為25萬，7月份的營業(yè)額為36萬，己知5、6月的增長率相同，則增長率為.

13.為了解學生的閱讀情況，對某校六年級部分學生的閱讀情況展開調查，并列出了相應的頻數(shù)分布直方圖（如

圖所示）（每組數(shù)據(jù)含最小值，不含最大值）（0-1小時4人，1-2小時10人，2-3小時14人，3-4小時16人,

4-5小時6人），若共有200名學生，則該學校六年級學生閱讀時間不低于3小時的人數(shù)是—

14.已知直線產丘+8過第一象限且函數(shù)值隨著x的增大而減小，請列舉出來這樣的一條直線:

15.如圖所示，在〃ABCD中，AC,8。交于點O,防=3,豆m=工則歷=

16.如圖所示,小區(qū)內有個圓形花壇。，點C在弦AB上,AC=11,8C=21,OC=13,則這個花壇的面積為.（結

果保留不）

ADDEAE

17.如圖，在△ABC中，NA=30。，ZB=90°,。為AB中點，E在線段AC上,——----貝IJni

ABBCAC

18.定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦

圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為.

三.解答題

1121

19.計算：|-^|-(-P+-r^-122

3樞-1

3x>x-4

20.解關于x的不等式組,4+x

----->x+2

I3

21.一個一次函數(shù)的截距為1,且經(jīng)過點A(2,3).

(1)求這個一次函數(shù)的解析式；

(2)點A,B在某個反比例函數(shù)上，點B橫坐標為6,將點B向上平移2個單位得到點C,求cosZABC的值.

22.我們經(jīng)常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿A8的長.

圖1圖2

(1)如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部?米的點D處，測角儀高為〃米，從C點測得A點

的仰角為a，求燈桿A8的高度.(用含a,b,a的代數(shù)式表示)

(2)我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現(xiàn)將一高度為2

米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長C4為1米，再將木桿沿著8c方向移動1.8米至OE的位置，此時

測得其影長。尸為3米，求燈桿AB的高度

23.如圖所示，在等腰三角形A8C中,AB=AC,點E,F在線段BC上，點Q在線段上，且CF=BE,AE7=AQAB

求證：

(1)ZCAE-ZBAF；

(2)CFFQ=AFBQ

24.已知：^=^^+以+二經(jīng)過點金(_2,一1),5(0,-3).

(1)求函數(shù)解析式;

2）平移拋物線使得新頂點為尸（冽/）（/?>0）.

①倘若之跡=3,且在x=上的右側，兩拋物線都上升，求上的取值范圍；

②F在原拋物線上，新拋物線與y軸交于。，NB尸。=120"時，求F點坐標.

25.平行四邊形558,若F為中點，AP交BD于點、E，連接C3.

D

BPC

（1）若月￡=B，

①證明上88為菱形；

②若3=5，月￡=3,求的長.

（2）以A為圓心，工下為半徑，8為圓心，曲為半徑作圓，兩圓另一交點記為點尸，且理=&￡.若

求絲的值.

尸在直線CW上,

BC

2022年上海市中考數(shù)學試卷

一.選擇題

1.8的相反數(shù)是（）

A.-8B.8C.-D.--

88

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進行解答即可得.

【詳解】解：8的相反數(shù)是-8,

故選A.

【點睛】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關鍵.

2.下列運算正確的是……()

A.B.(.ah)2=ah2C.(,a+h)2=a2+h2D.(a+h)(a-b)=a2-b2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)整式加法判定A；運用積的乘方計算關判定B：運用完全平方公式計算并判定C：運用平方差公

式計算并判定D.

【詳解】解：A.m+涼沒有同類項不能合并，故此選項不符合題意；

B.(ab)2="2〃，故此選項不符合題意；

C.(a+b)』。2+2必+建，故此選項不符合題意

?(〃+/?)(a-b)=672-b1,故此選項符合題意

故選：D.

【點睛】本題考查整理式加法，積的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟練掌握積的乘方運算法則、完全平

方公式、平方差公式是解題的關鍵.

3.已知反比例函數(shù)產匕(原0),且在各自象限內，y隨x的增大而增大，則下列點可能在這個函數(shù)圖象上的

x

為()

A.(2,3)B.(-2,3)C.(3,0)1).(-3,0)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)性質求出K0,再根據(jù)七孫，逐項判定即可.

【詳解】解：???反比例函數(shù)y=上(厚0),且在各自象限內，y隨x的增大而增大，，

X

A、：2x3>(),.?.點(2,3)不可能在這個函數(shù)圖象上，故此選項不符合題意；

B、?.-2x3<0,.?.點(2,3)可能在這個函數(shù)圖象上，故此選項符合題意；

C、???3x0=0,.?.點(2,3)不可能在這個函數(shù)圖象上，故此選項不符合題意；

D、???-3x0=0,.?.點(2,3)不可能在這個函數(shù)圖象上，故此選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握反比例函數(shù)的性質是解題的

關鍵.

4.我們在外賣平臺點單時會有點餐用的錢和外賣費6元，我們計算了點單的總額和不計算外賣費的總額的數(shù)

據(jù)，則兩種情況計算出的數(shù)據(jù)一樣的是（）

A.平均數(shù)B,中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)和方差的特點，這組數(shù)據(jù)都加上6得到一組新的數(shù)據(jù)，方差不變，平均數(shù)，

中位數(shù)改變，眾數(shù)改變，即可得出答案.

【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)都加上6得到一組新的數(shù)據(jù)，

則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)改變，眾數(shù)改變，中位數(shù)改變，但是方差不變：

故選：D.

【點睛】本題主要考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義.理解求解一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方

差時的內在規(guī)律，掌握“新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)之間在這四個統(tǒng)計量上的內在規(guī)律”是解本題的關鍵.

5.下列說法正確的是（）

A.命題一定有逆命題B.所有的定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題D.假命題的逆命題一定是假命題

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)命題的定義和定理及其逆定理之間的關系，分別舉出反例，再進行判斷，即可得出答案.

【詳解】解：A、命題一定有逆命題，故此選項符合題意；

B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對應角相等沒有逆定理，故此選項不符合題意；

C、真命題的逆命題不一定是真命題，如：對頂角相等的逆命題是：相等的兩個角是對頂角，它是假命題而不

是真命題，故此選項不符合題意；

D、假命題的逆命題定不一定是假命題，如：相等的兩個角是對頂角的逆命題是：對頂角相等，它是真命題,

故此選項不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查了命題與定理，掌握好命題的真假及互逆命題的概念是解題的關鍵.把一個命題的條件和結

論互換就得到它的逆命題，所有的命題都有逆命題；正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題.

6.有一個正〃邊形旋轉90?后與自身重合，則"為（）

A.6B.9C.12D.15

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)選項求出每個選項對應的正多邊形的中心角度數(shù)，與90,一致或有倍數(shù)關系的則符合題意.

【詳解】如圖所示，計算出每個正多邊形的中心角，90?是30■的3倍，則可以旋轉得到.

觀察四個正多邊形的中心角，可以發(fā)現(xiàn)正12邊形旋轉90。后能與自身重合

故選C.

【點睛】本題考查正多邊形中心角與旋轉的知識,解決本題的關鍵是求出中心角的度數(shù)并與旋轉度數(shù)建立關系.

二.填空題

7,計算：3a-2a=.

【答案】a

【解析】

【詳解】根據(jù)同類項與合并同類項法則計算：3a-2a=(3-2)a=a

8.已知f(x)=3x,則，(1)=..

【答案】3

【解析】

【分析】直接代入求值即可.

【詳解】解：?；/(x)=3x,

(1)=3x1=3,

故答案為：3

【點睛】本題主要考查了求函數(shù)值，直接把自變量的值代入即可.

x+v=1

9.解方程組《22_的結果為

U2-/=3

x=2

【答案】4一

【解析】

【分析】利用平方差公式將②分解因式變形，繼而可得x-y=3④，聯(lián)立①④利用加減消元法，算出結果即

可.

x+y=l①

【詳解】解：

x2-y2=3②

由②，得：(x+y)(x-y)=3③，

將①代入③，得：lx(x—y}=3,即x-y=3④,

①+②，得：2x=4，

解得：x=2,

①-②，得：21y=-2,

解得：y=-l,

x+y=l

...方程組<22.的結果為，.

[X2-/=31y=T

【點睛】本題考查解二元二次方程組，與平方差公式分解因式，能夠熟練掌握平方差公式分解因式是解決本題

的關鍵.

10.己知X-2岔x+'"=°有兩個不相等的實數(shù)根，則根的取值范圍是.

【答案】，〃<3

【解析】

【分析】根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，則/>0,即(-2,)2-4加>0,求解即可.

【詳解】解：有兩個不相等的實數(shù)根，

."=(-24)2-4?0

解得：m<3,

故答案為:機<3.

【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握“當方程有兩個不相等的實數(shù)根，/>0；當方程有兩個

相等的實數(shù)根，4=0;當方程沒有實數(shù)根，/<0”是解題的關鍵.

11.甲、乙、丙三人參加活動，兩個人一組，則分到甲和乙的概率為.

【答案】-

3

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與分到甲和乙的情況，再利用概率公

式求解即可求得答案.

【詳解】解：畫樹形圖如下：

由樹形圖可知所有可能情況共6種，其中分到甲和乙的情況有2中，

所以分到甲和乙的概率為由=上,

63

故答案為：-

3

【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能

的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，注意概率=所求情況數(shù)與

總情況數(shù)之比.

12.某公司5月份的營業(yè)額為25萬，7月份的營業(yè)額為36萬，已知5、6月的增長率相同，則增長率為.

【答案】20%

【解析】

【分析】根據(jù)該公司5、6兩個月營業(yè)額的月均增長率為x結合5月、7月營業(yè)額即可得出關于x的一元二次

方程，解此方程即可得解.

【詳解】解：設該公司5、6兩個月營業(yè)額的月均增長率為x,根據(jù)題意得，

25（1+4=36

解得，Xj=0.2,=—2.2（舍去）

所以，增長率為20%

故答案為：20%

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程,根據(jù)數(shù)量關系列出關于x的一元二次方程是解題的關鍵.

13.為了解學生的閱讀情況，對某校六年級部分學生的閱讀情況展開調查，并列出了相應的頻數(shù)分布直方圖（如

圖所示）（每組數(shù)據(jù)含最小值，不含最大值）（0-1小時4人，1-2小時10人，2-3小時14人，3-4小時16人,

4-5小時6人），若共有200名學生，則該學校六年級學生閱讀時間不低于3小時的人數(shù)是.

【解析】

【分析】由200乘以樣本中不低于3小時的人數(shù)的百分比即可得到答案.

【詳解】解：該學校六年級學生閱讀時間不低于3小時的人數(shù)是

--竺〃--?200—?20088,

4+10+14+16+6-------------50

故答案為：88

【點睛】本題考查的是利用樣本估計總體，求解學生閱讀時間不低于3小時的人數(shù)的百分比是解本題的關鍵.

14.已知直線產履+8過第一象限且函數(shù)值隨著x的增大而減小，請列舉出來這樣的一條直線:

【答案】y=-x+2（答案不唯一）

【解析】

【分析】直接根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系即可得出結論.

【詳解】：直線『=米+》過第一象限且函數(shù)值隨著尤的增大而減小,

，上<0,B...0,

符合條件的一條直線可以為：1y=-為+2（答案不唯一）.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，熟知一次函數(shù)了=奴+匕（化。0）,當上＜0,A..0時，函

數(shù)圖象過第一象限且函數(shù)值隨著x的增大而減小.

15.如圖所示，在Z7ABCD中，AC,3。交于點O,而=”,下=石則反=

【答案】一2處力

【解析】

【分析】利用向量相減平行四邊形法則：向量相減時，起點相同，差向量即從后者終點指向前者終點即可求解.

【詳解】解：；四邊形ABC。是平行四邊形，AC,BD交于點O,

又百5=2，而=九

二詬=2詬=2〉

?-DC=BC-BD=b-2a,

故答案為：—2a+g.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質，向量相減平行四邊形法則，解題的關鍵是熟練掌握向量相減平行四邊形

法則.

16.如圖所示,小區(qū)內有個圓形花壇。，點C在弦48上,AC=11,BC=21,OC=13,則這個花壇的面積為____.（結

果保留不）

【答案】400萬

【解析】

【詳解】解：過點。作ODLAB于。，連接OB,如圖,

AB

VAC=11,BC=21,

：.AB=AC+BC^32,

'：OO_LA8于。，

：.AD=BD=-AB=\6,

2

：.CD=AD-AC=5,

在RdOC。中，由勾股定理，得

OD=y]0C2-CD2=V132-52=12，

在/?公。8。中，由勾股定理，得

°8幻》+5=7162+122=20，

??.這個花壇的面積=2。2片400%,

故答案為：400%.

【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，圓的面積，熟練掌握垂徑定理與勾股定理相結合求線段長是解題的關

鍵.

DEAE

17.如圖，在aABC中，NA=30。，ZB=90°,。為4B中點，E在線段AC上，一=-----則一=.

ABBCAC

【答案】；或工

24

【解析】

【分析】由題意可求出=,取4c中點田，連接力昂，則是△ABC的中位線，滿足。鳥=」3C,

22

進而可求此時軟然后在AC上取一點瓦，使得Di,則強=.，證明△。3是等邊三角

形，求出感=?C,即可得到靠《問題得解.

【詳解】解：為A8中點，

.AD_DE_1

即DE=-BC,

"^AB~~BC~22

取4c中點Ei,連接。Ei,則力Ei是aABC的中位線，此時力Ei〃BC,DE[=；BC,

.AD1

??----=----=—,

ACAB2

在AC上取一點良，使得DEt=DE2,則￡?當=^3。，

VZA=30°,/8=90°,

.,.ZC=60°,BC^-AC,

2

'：DE\//BC,

：.NDEIE2=60°,

.,.△DEIE2是等邊三角形,

：.DE\^DE1=E,E2=-BC，

2

：.E1E=-1AC,

24

,~J4C*,

???AS.=-AC.即聾■=]

14AC4

綜上，空的值為：3或2,

AC24

故答案為：、或工.

24

【點睛】本題考查了三角形中位線的性質，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質以及含30。角的直

角三角形的性質等，根據(jù)進行分情況求解是解題的關鍵.

2

18.定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦

圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為.

【答案】2-72*#-72+2

【解析】

【分析】如圖，當?shù)认覉A。最大時，則。。經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點C,連接CO交48于尸，連接

OE,DK,再證明。玄經(jīng)過圓心，CFLAB，分別求解AC,BC,CF,設的半徑為匕再分別表示

NF,OF,再利用勾股定理求解半徑r即可.

【詳解】解：如圖，當?shù)认覉A。最大時，則OO經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點C,連接CO交A3于F,連

接OE,DK,

QCD=CK=EQ,?ACB90?,

\?COD?COK90?,10M過圓心O,CF1AB，

QAC=BC,?ACB90?,32,

\AC=BC=42,AF=BF=CF=-AB=1,

設OO的半徑為r，

???CD=〃+,=^2r=EQ,OF=\-r,OE=r,

?：CFLAB,

\EF=QF=^-r,

騙后2

\戶=f]_—2+齡

I'歌

整理得：戶-4r+2=0,

解得：勺=2+應,々=2-血,

qOC<CF,

\廣=2+血不符合題意，舍去，

當?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為2-0.

故答案為：2-J5

【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，弦，弧，圓心角之間的關系,

圓周角定理的應用，勾股定理的應用，一元二次方程的解法，掌握以上知識是解本題的關鍵.

三.解答題

19.計算：|一招|一(1)號+-3——12；

3樞-1

【答案】1一遭

【解析】

【分析】原式分別化簡I-向=J5,(3」="-^―=/+1，12匕4，再進行合并即可得到答案.

35-1

111

【詳解】解：125

3y/3-l

=yfi—yfS+A/3+1—2y/3

=1-也

【點睛】本題主要考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

3x>x-4

20.解關于x的不等式組44+x.

------->x+2

I3

【答案】

【解析】

【分析】分別求出不等式組中每一個不等式的解集，再確定出公共部分，即可求解.

3x>x-4①

【詳解】解:

齒“+2②'

解①得：x>-2,

解②得：

,?-2<v<-1.

【點睛】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握根據(jù)“大取較大，小小取較小，大小小大中間找，大大小小

無處找”的原則性確定不等式組的解集是解題的關鍵.

21.一個一次函數(shù)的截距為1,且經(jīng)過點A(2,3).

(1)求這個一次函數(shù)的解析式；

(2)點A,B在某個反比例函數(shù)上，點B橫坐標為6,將點B向上平移2個單位得到點C,求cosZABC的值.

【答案】(1)y=x+l

(2)立

5

【解析】

【小問1詳解】

解：設這個一次函數(shù)的解析式產丘+1,

把4(2,3)代入，得3=2A+1,

解得：

???這個一次函數(shù)的解析式為y=x+l;

【小問2詳解】

解：如圖，

把A(2,3)代入，得3=任，

2

解得：m=6,

...反比例函數(shù)解析式為廣￡,

X

當x=6時，則y=-=1,

6

：.B(6,1),

???^(6-2)2+(1-3)2=2邪，

???將點B向上平移2個單位得到點C,

：.C(6,3),BC=2,

VA(2,3),C(6,3),

???AC〃x軸，

?:B(6,1),C(6,3),

???3CJ_x軸，

：.AC±BC,

：.NACB=90。，

???△ABC是直角三角形，

.“廠BC2y/5

??cosNA8C=--=——=-=:—.

AB2755

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，點的平移，解三角形，坐標與圖形，求得ACLBC是解題的關

鍵.

22.我們經(jīng)常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿A8的長.

圖1圖2

(1)如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部“米的點D處，測角儀高為6米，從C點測得A點

的仰角為a,求燈桿4B的高度.(用含a,b,a的代數(shù)式表示)

(2)我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現(xiàn)將一高度為2

米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長C”為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置，此時

測得其影長OF為3米，求燈桿AB的高度

【答案】(1)atana+b米

(2)3.8米

【解析】

【分析】(1)由題意得8￡>=a,CD=b,ZACE=a,根據(jù)四邊形為矩形，得到BE=C￡>=6,BD=CE=a,在

R/AACE中，由正切函數(shù)tana=—,即可得到AB的高度;

CE

￡口JD

(2)根據(jù)AB〃ED,得至必AB尸?AE。尸，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得到一=—,又根據(jù)AB〃GC,

DFBF

AD

得出AABH?AGC”，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得到一=—聯(lián)立得到二元一次方程組解之即可得;

BHCH

【小問1詳解】

解：如圖

圖1

由題意得B￡)=a,CD=b,ZACE=a

ZB=ZD=ZCEB=90°

...四邊形CDBE為矩形，

則BE=CD=6,BD=CE=a,

AE

在RrAACE中，tana=----,

CE

得AE-CE=CExtana=atana

而AB=AE+BE,

故AB=atana+b

答：燈桿AB的高度為alana+6米

【小問2詳解】

由題意可得，AB//GC//ED,GC=ED=2,CH=\,DF=3,8=1.8

由于4B〃E￡),

：.\ABF-\EDF,

AB

仔~BF

AB

吟①,

5C+1.8+3

'JAB//GC

：.\ABH-\GCH,

此時能GC

CH

2_AB

②

BC+1

聯(lián)立①②得

AB_2

5C+4.8-3

q=2

IBC+1

[AB=32

解得：

BC=0.9

答：燈桿AB的高度為3.8米

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，銳角三角函數(shù)的應用，以及二元一次方程組，解題的關鍵是讀懂題意，

熟悉相似三角形的判定與性質.

23.如圖所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,點E,F在線段2C上，點。在線段上，且CF=BE,AP=AQAB

求證：

(1)NCAE=NBAF；

(2)CFFQ^AFBQ

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

【分析】(1)利用SAS證明AACE絲AABF即可；

(2)先證△ACESZSAFQ可得/AEC=/AQF,求出ZBQF=NAFE,再證△CAFs^BFQ,利用相似三角形的

性質得出結論.

【小問1詳解】

證明：'：AB=AC,

：.ZB=ZC,

'：CF=BE,

：.CE=BF,

rAC=AB

在AACE和△ABF中，＜NC=N8,

CS=BF

J.^ACE^^ABF(SAS),

ZCAE=ZBAF；

【小問2詳解】

證明：V^ACE^^ABF,

：.AE^AF,NCAE=NBAF,

"：AE7^AQAB,AC=AB,

AEABAEAC

：.——=——，a即——=——

AQAEAQAF

AACE^AAF2，

NAEC=NAQF,

：.ZAEF^ZBQF,

\'AE=AF,

：.NAEF=NAFE,

：.NBQF=NAFE,

；NB=NC,

MCAFSABFQ,

CFAF

——=——，即CFFQ^AFBQ.

BQFQ

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質以及相似三角形的判定和性質，熟練掌握相

關判定定理和性質定理是解題的關鍵.

24.已知：^=3/+以+。經(jīng)過點工（一2,—1）,5（0,-3）.

（1）求函數(shù)解析式;

（2）平移拋物線使得新頂點為尸（冽，引（相＞0）.

①倘若名跡=3,且在X=上的右側，兩拋物線都上升，求的取值范圍;

②P在原拋物線上，新拋物線與y軸交于。，產Q=12（r時，求F點坐標.

1,

【答案】（1）y=^x2-3

（2）①泛2

②P的坐標為（2幣,3）或（-2/,3）

【解析】

【分析】（1）把/（一2,—1）,即0,-3｝代入丁=：/+"+以求解即可;

(2)①由3,得頂點坐標為(0,-3),即點8是原拋物線的頂點，由平移得拋物線向右平移了，〃個

單位，根據(jù)S△。踮=；x3也=3,求得，〃=2,在兀=上的右側，兩拋物線都上升，根據(jù)拋物線的性質即可求出

上取值范圍；

2

②把尸(m,")代入^=1/-3,得”=1m2-3,則P(機，1W-3),從而求得新拋物線解析式為：產

222

(x-m)2+n=i-x^-mx+m2^,則Q(0,/M2-3),從而可求得BQ=/〃2,BP2=w2+(―A>?2-3+3)2=w2+—w4?PQ1=

2224

m2+[(|w2-3)-(w2-3)]2=w2+,即可得出8P=PQ,過點P作PC_Ly軸于C,則PC=|〃?|,根據(jù)等

腰三角形的性質可得BC="Q=，M,/BPC=g/8尸。=9120。=60。，再根據(jù)tan/BPC=tan60°=

12

些=二=有，即可求出加值，從而求出點P坐標.

【小問1詳解】

解：把工(一2,—1),8(0,—3｝代入y=g/+5x+c,得

-3=cc=-3

120

函數(shù)解析式為：^=-X-3;

【小問2詳解】

解:①一3,

頂點坐標為(0,-3),即點B是原拋物線的頂點,

???平移拋物線使得新頂點為尸(冽/)(m>0).

拋物線向右平移了，〃個單位，

??S△OP￡=X3/??=3,

m=2,

???平移拋物線對稱軸為直線42,開口向上，

??,在x=上的右側，兩拋物線都上升，

又??,原拋物線對稱軸為y軸，開口向上，

?論2,

11

②把P(機，n)代入^二萬一0一3,得〃二5加20—3,

1.

：.P(m,-w-3)

2

根據(jù)題意，得新拋物線解析式為：y=y(x-m)2+n=yx2-twc+m2-3,

???。(0,w2-3),

?：B(0,-3),

/.BQ=m1yBp2=初2+(；活2—3+3)2=冽2+：活4,

尸刊(；加2一3)-(加-3)f=>+；/,

：.BP=PQf

如圖，過點P作尸C，y軸于C,貝UPC二以|,

■:BP=PQ,PCLBQ,

2

：,BC=^BQ=^mfZBPC=^ZBPg=i.xl20°=60°,

：.tanNBPC=tan60。=BC__鏟_jr

PC~~\^\~

解得：機=±2小，

?122c

..n=—m—3=3

2

故P的坐標為（2/，3）或（-26，3）

【點睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的平移，拋物線的性質，解直角三角形，等腰三角形的

性質，本題屬拋物線綜合題目，屬中考?？荚囶}目，難度一般.

25.平行四邊形若P為RC中點，AP交BD于一點、E，連接CN.

（1）若AE