新教材2023版高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2隨機(jī)變量4.2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征1學(xué)生用書新人教B版選擇性必修第二冊

4．2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1)[課標(biāo)解讀]1.通過具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特征(均值).2.通過具體實(shí)例，了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實(shí)際問題.3.通過具體實(shí)例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實(shí)際問題．【教材要點(diǎn)】知識點(diǎn)一隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，這些值對應(yīng)的概率是p1，p2，…，pn，則E(X)＝________________叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望).知識點(diǎn)二隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的意義刻畫了離散型隨機(jī)變量的____________．知識點(diǎn)三兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望名稱兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布超幾何分布公式E(X)＝____E(X)＝____E(X)＝________知識點(diǎn)四隨機(jī)變量的數(shù)字特征的性質(zhì)如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b都是任意實(shí)數(shù)且a≠0，則Y＝aX＋b也是一個(gè)隨機(jī)變量；則E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.【基礎(chǔ)自測】1．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X123P331則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________．2．設(shè)E(X)＝10，則E(3X＋5)＝________．3．若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B4，13，則E(X)4．籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率為0.8，則罰球一次得分X的期望是________．題型1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念及應(yīng)用例1已知隨機(jī)變量X的分布列如表：X－2－1012P111m1(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y).狀元隨筆由分布列的性質(zhì)求得m，再利用均值公式求E(X)，然后利用均值的性質(zhì)求解E(Y).方法歸納1．求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后利用均值公式求E(X).2．對于aX＋b型的隨機(jī)變量求均值的方法(1)利用均值的性質(zhì)求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解．跟蹤訓(xùn)練1已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ－101P11m若η＝aξ＋3，E(η)＝73，則a＝(A．－1B．－2C．－3D．－4題型2超幾何分布的均值例2[2022·江蘇無錫高二月考]設(shè)10件產(chǎn)品中含有3件次品，從中抽取2件進(jìn)行調(diào)查，求抽得次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望．方法歸納先確定分布類型，可以求出分布列后再用定義求均值，也可以直接利用超幾何分布的均值公式求解．跟蹤訓(xùn)練2設(shè)ξ的分布列為ξ1234P1111又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于()A.76 B．C.173 D．題型3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望例3某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p＝0.6.(1)求投籃1次時(shí)命中次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；(2)求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望．狀元隨筆(1)利用兩點(diǎn)分布求解．(2)利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式求解．方法歸納1．常見的兩種分布的均值設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率，則(1)兩點(diǎn)分布E(X)＝p；(2)二項(xiàng)分布E(X)＝np.熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運(yùn)算量，提高解題速度．2．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布辨析(1)相同點(diǎn)：一次試驗(yàn)中要么發(fā)生要么不發(fā)生．(2)不同點(diǎn)：①隨機(jī)變量的取值不同，兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量的取值為0，1，二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量的取值x＝0，1，2，…，n.②試驗(yàn)次數(shù)不同，兩點(diǎn)分布一般只有一次試驗(yàn)；二項(xiàng)分布則進(jìn)行n次試驗(yàn)．跟蹤訓(xùn)練3(1)某種種子每粒發(fā)芽的概率為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A．100 B．200C．300 D．400(2)已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列如下，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于()X01Pm2mA.19 B．C.13 D．題型4期望的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)例4某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘．由于下雨會(huì)影響藥材品質(zhì)，基地收益如表所示：周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元7.5萬元若基地額外聘請工人，可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù)．無雨時(shí)收益為20萬元；有雨時(shí)收益為10萬元．額外聘請工人的成本為a萬元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36.(1)若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益；(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人，請說明理由．狀元隨筆1.條件：(1)藥材需在兩天內(nèi)采摘完畢且基地員工一天只完成一處采摘；(2)給出了基地收益與天氣的關(guān)系表格；(3)給出外聘工人的收益情況．2．結(jié)論：(1)求基地收益X的分布列及基地預(yù)期收益；(2)該基地是否外聘工人作出決策．3．思路：(1)列出基地收益X的取值及求出相應(yīng)概率，按求隨機(jī)變量均值的步驟求解；(2)求出外聘工人時(shí)的預(yù)期收益，與不外聘工人的預(yù)期收益比較，通過討論外聘工人的成本解決問題．方法歸納均值實(shí)際應(yīng)用問題的解題策略首先應(yīng)把實(shí)際問題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望，并根據(jù)期望的大小作出判斷．跟蹤訓(xùn)練4甲、乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，射擊相同的次數(shù)，已知兩運(yùn)動(dòng)員擊中的環(huán)數(shù)X穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán)．將他們的比賽成績畫成頻率分布直方圖如圖甲和圖乙所示．(1)根據(jù)這次比賽的成績頻率分布直方圖推斷乙擊中8環(huán)的概率P(X乙＝8)，以及甲擊中9環(huán)以上(包括9環(huán))的概率；(2)根據(jù)這次比賽的成績估計(jì)甲、乙誰的水平更高(即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰大).教材反思4．2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1)新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識點(diǎn)一x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝i=1nx知識點(diǎn)二平均取值知識點(diǎn)三pnpnM[基礎(chǔ)自測]1．解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110答案：32．解析：E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.答案：353．解析：E(X)＝np＝4×13＝4答案：44．解析：因?yàn)镻(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.答案：0.8課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：(1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得14+13+15＋m＋1(2)E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×(3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×-1730－3＝－方法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如表：Y－7－5－3－11P11111所以E(Y)＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×跟蹤訓(xùn)練1解析：由分布列的性質(zhì)得16+13＋m＝1，所以m＝12.所以E(ξ)＝－1×16＋0×13＋1×12＝13.所以E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝1答案：B例2解析：設(shè)抽得次品數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2，則P(X＝0)＝C72C102＝715，P(X＝1)＝C31C7所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X012P771所以，E(X)＝0×715＋1×715＋2×115跟蹤訓(xùn)練2解析：E(ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×17答案：D例3解析：(1)投籃1次，命中次數(shù)X的分布列如下表：X01P0.40.6則E(X)＝0.6.(2)由題意，重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即Y～B(5，0.6)，則E(Y)＝np＝5×0.6＝3.跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)由題意可知，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，X服從二項(xiàng)分布，即X～B(1000，0.1)，所以不發(fā)芽種子的數(shù)學(xué)期望為1000×0.1＝100.所以補(bǔ)種的種子數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2×100＝200.(2)由題意可知m＋2m＝1，所以m＝13，所以E(X)＝0×13＋1×23答案：(1)B(2)D例4解析：(1)設(shè)下周一無雨的概率為p，由題意得p2＝0.36，p＝0.6.基地收益X的可能取值為20，15，10，7.5，則P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，所以基地收益X的分布列為：X2015107.5P0.360.240.240.16基地的預(yù)期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4，所以基地的預(yù)期收益為14.4萬元．(2)設(shè)基地額外聘請工人時(shí)的收益為Y萬元，則其預(yù)期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝(16－a)萬元，E(Y)－E(X)＝1.6－a，綜上，當(dāng)額外聘請工人的成本高于1.6萬元時(shí)，不外聘工人；成本低于1.6萬元時(shí)，外聘工人；成本恰為1.6萬元時(shí)，是否外聘工人均可以．跟蹤訓(xùn)練4解析：(1)由題圖乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝