旋轉(zhuǎn)與對(duì)應(yīng)（解析版）-2021年中考二輪復(fù)習(xí)之?dāng)?shù)學(xué)思想和方法以及常見題型滿分練

專題20旋轉(zhuǎn)與對(duì)應(yīng)

【典例分析】

例1、

如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn),AB=2,則AP+BP+CP的最小值為（）

A.V2+V5

B.V2+V6

C.4

D.3V2

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短問題、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)添加

輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型.將△力BP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△4EF,

當(dāng)E、F、P、C共線時(shí)，P4+PB+PC最小，作EM1ZM交D4的延長線于M,ME的延長

線交CB的延長線于N,在RT△ECN中理由勾股定理即可解決問題.

【解答】

解：如圖，將AABP繞點(diǎn)月順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AAEF,

當(dāng)E、尸、P、C共線時(shí)，P4+P8+PC最小.

理由：???AP=AF,Z.PAF=60°,

P4F是等邊三角形，

：?PA=PF=AF,EF=PB,

PA+PB+PC=EF+PF+PC,

:.當(dāng)E、F、P、C共線時(shí)，P4+PB+PC最小,

作EM104交D4的延長線于M,ME的延長線交C8的延長線于M則四邊形A8NM是矩

形，

在R7△4ME中，???=90。，/.MAE=30°,AE=2,

ME=1,AM=BN=V3，MN=AB=2,EN=1,

EC=yjEN2+NC2=l2+(V3+2)2=18+46=V6+V2?

PA+PB+PC的最小值為連+V2.

故選B.

例2、如圖，直角△力0B和△COD,^AOB=Z.COD=90°,zB=30°,“=50°,點(diǎn)。

在OA上，將圖中的^CO。繞點(diǎn)。按每秒5。的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中,

在第秒時(shí)，邊8恰好與邊AB平行.

【答案】16或52

【解析】解：①50。+30。=80。，

80。+5。=16(秒);

②80°+180°=260°,

260°+5°=52(秒).

答：f的值為16秒或52秒.

故答案為：16或52.

分兩種情況：①旋轉(zhuǎn)的角度小于180。；②旋轉(zhuǎn)的角度大于180。；進(jìn)行討論即可求解.

考查了點(diǎn)、線、面、體，從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看：點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體.

傷如圖1是實(shí)驗(yàn)室中的一種擺動(dòng)裝置，8C在地面上，支架A8C是底邊為BC的等腰

直角三角形，擺動(dòng)臂可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，擺動(dòng)臂。M可繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，4。=30,DM=10.

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，

①當(dāng)A,/),例三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求AM的長.

②當(dāng)A,D,M三點(diǎn)為同一直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，求4M的長.

(2)若擺動(dòng)臂AO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。的位置由外的點(diǎn)么轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點(diǎn)。2處，連結(jié)

2。2，如圖2,此時(shí)乙4QC=135。，CD2=60,求BD2的長.

Di

D2

B

圖2

【答案】解：（1）①4M=40+OM=40,或4M=4O-DM=20.

②顯然4MAD不能為直角.

當(dāng)/AMD為直角時(shí)，AM2=AD2-DM2=302-102=800,

AM=20立或（一20/舍棄）.

當(dāng)UDM=90。時(shí)，4M2=AD2+DM2=302+102=1000,

AM=IOVIU或（—IOVIU舍棄）.

綜上所述，滿足條件的AM的值為20Vl或10Vi6.

由題意：皿4￡>2=90。，ADX=AD2=30,

AZ.AD2D1=45°,DR=30V2.

???NAD2c=135°,

=90°>

:.Z-CD2DA

:.CDi=yJCDj+DrDl=30V6.

v乙BAC=匕D1AD2=90°，

???￡.BAC-LCAD2=^D2AD1-Z.CAD2,

:.乙BAD2=Z-CAD1f

vAB=AC,AD2—ADX,

BAD2-△C4Dj_（SAS）,

???BD2=CD1=30V6.

【解析】(1)①分兩種情形分別求解即可.

②顯然4M4D不能為直角，當(dāng)乙4MD為直角時(shí)，根據(jù)AM?=力。2一。“2,計(jì)算即可，當(dāng)

乙4。例=90。時(shí)，根據(jù)4M2=+。”2,計(jì)算即可.

(2)連接CD】.首先利用勾股定理求出C%,再利用全等三角形的性質(zhì)證明84=C5即可.

本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}

型.

【好題演練】

一、選擇題

1.等邊△ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A,C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為0和一1,若△A8C繞著

頂點(diǎn)順時(shí)針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為1；則翻轉(zhuǎn)2019

次后，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)是()

B

________I__I_I_1_CJZ\A_I_I_I__I__I____

-5-4-3-2-1012345

A.2018B.2019C.2018.5D.2021

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了數(shù)軸，根據(jù)翻轉(zhuǎn)的變化規(guī)律確定出每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)

鍵.是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的

規(guī)律解決問題.注意翻折的時(shí)候，點(diǎn)8對(duì)應(yīng)的數(shù)字的規(guī)律：只要是3幾+1和3n+2次翻折的

對(duì)應(yīng)的數(shù)字是3n+2.結(jié)合數(shù)軸發(fā)現(xiàn)根據(jù)翻折的次數(shù)，發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的數(shù)字依次是：1,1,2.5：

4,4,5.5；7,7,8.5…即第1次和第二次對(duì)應(yīng)的都是1,第四次和第五次對(duì)應(yīng)的都是4,第

7次和第8次對(duì)應(yīng)的都是7.根據(jù)這一規(guī)律：因?yàn)?019=673x3,所以翻轉(zhuǎn)2019次后，點(diǎn)8

所對(duì)應(yīng)的數(shù)是2.5+(673-1)x3,求出即可.

【解答】

解：因?yàn)?019=673x3,

2.5+(673-1)x3=2018.5,

所以2019次翻折后8點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)字是2018.5,

故選C.

2.如圖，。是正△力BC內(nèi)一點(diǎn)，。4=3,OB=4,OC=5,將線段8。以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中

心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BO',下列結(jié)論：

①△8。'4可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到；

②點(diǎn)。與0,的距離為4；

③4AOB=150°；

④S四邊形AOBO,=6+3V3；

⑤S&AOC+S^AOB=6+,國

其中正確的結(jié)論有()

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了旋轉(zhuǎn)變換中等邊三角形，直角三角形的性質(zhì).利用勾股定理的逆定理，判定勾股

數(shù)3,4,5所構(gòu)成的三角形是直角三角形，這是本題的要點(diǎn).在判定結(jié)論⑤時(shí)，將△AOB向

不同方向旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)了結(jié)論①-結(jié)論④解題思路的拓展應(yīng)用.

證明AB0'4三△BOC,又408。'=60。，所以△B0'4可以由△80C繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得

到，故結(jié)論①正確；

由△08。'是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；

在44。。'中，三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù)，故44。0'是直角三角形；進(jìn)而求得N40B=

150°,故結(jié)論③正確；

S四邊形A0B0'=S-oo,+SAOBO,=6+4b，故結(jié)論④錯(cuò)誤；

如圖②，將AAOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，使得A8與4c重合，點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至0"點(diǎn).利用旋

轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將S-OC+SAAOB轉(zhuǎn)化為SACOO〃+S-OO"，計(jì)算可得

結(jié)論⑤正確.

解：由題意可知，41+N2=43+N2=60°,=43,

又???OB=O'B,AB=BC,

；.△8。'4三△BOC,XvZ.OBO'=60°,

??.ABO'A可以由△80C繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到，

故結(jié)論①正確；

如圖①，連接。0',

OB=O'B,且NOB。'=60°,

是等邊三角形，

00'=0B=4.

故結(jié)論②正確；

???△BO'A^hBOC,O'A=5.

在△A。。'中，三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù)，

???A400'是直角三角形,乙400'=90。,

:.乙AOB=44。。'+乙B00'=900+60°=150°,

故結(jié)論③正確；

S四邊形AOBO'=SMOO,+SAOBO,=1X3X4+^X42=6+4次，

故結(jié)論④錯(cuò)誤；

如圖②所示，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，使得A8與AC重合，點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至。”點(diǎn).

易知△力。。”是邊長為3的等邊三角形，ACO?！笔沁呴L為3、4、5的直角三角形，

則SAA℃+S^AOB=S四邊形AOCO"=SACOO，，+SAOO"=-x3x4+-^-x32=6+-V3,

故結(jié)論⑤正確.

綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③⑤.

故選8.

3.如圖，將小正方形AEFG繞大正方形ABC。的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度a（其中0。<

a<90°）,連接8G、OE相交于0,再連接4。、BE、DG.小慧同學(xué)在探究該圖形的變

化時(shí)，提出了四個(gè)結(jié)論：①BG=DE；②BG1DE；③40。4=/G04;?SAADG:SAABE=

1:1.其中結(jié)論錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（）

A.0個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的判定、直角三

角形的判定。綜合利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)與判定，找出有關(guān)的對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)邊

的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵。

【解答】①根據(jù)題意可知：AD=AB,AE=AG,/.DAB=Z.GAE=9（）

貝IMZMB+/.EAB=/.GAEZ.EAB,即N/L4E=/.BAG

從而可證仆DAEBAG(SAS)

所以BG=DE,

故①8G=￡>E正確；

②

由①中△DAE=hBAG可知4ACE=Z.ABG,

RM/WP中，LADE+Z.APD=90°

Xz/IDE=Z.ABG,乙APD=LBPE,

所以NABG+4BPE=903

所以NDOB=90°，

所以BG1DE,

故②BG_LOE正確：

③

過點(diǎn)A分別作4/1OE、AH1BG,垂足分別為/、H.

由①中ADAESABAG可知SA〃E=ShBAG,即抄EAI=^BGAH,

又BG=DE

則4/=AH

所以0A平分角DOG,即4D0A=Z.GOA,

故③NDCM=NGOA正確：

④

過點(diǎn)E作EM14B于點(diǎn)M,過點(diǎn)G作GNJ.ZM,交D4的延長線于點(diǎn)N,可得：

NAME=Z.ANG=90,，且Z.BAN=90°，即ZMAE+Z.EAN=<XF,

又NG.4N+NEAN=9（『，

所以ZAL4E=乙GAN,

又4E=AG

可證：△4ME三AANG,

所以EM=GN,

又因?yàn)?。=AB

所以.EM=扣4.GN

即SA/IDG=S&ABE.

也?）SAADG：^ABE=I：Ia：?.

故選A.

4.如圖，。是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，04=3,OB=4,0C=5將線段OB以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段80',下列結(jié)論：①△B。'力可以由4BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。

得到：②點(diǎn)O與。'的距離為4；③NAOB=150°;@SA0B0/=6+3V3；?S440C+

SMOB=6+：遮。其中正確的結(jié)論是（）。

O'

R*-------------------

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

【答案】A

【解析】

本題考查了旋轉(zhuǎn)變換中等邊三角形，直角三角形的性質(zhì).利/\

用勾股定理的逆定理，判定勾股數(shù)3、4、5所構(gòu)成的三角\

形是直角三角形，這是本題的要點(diǎn).在判定結(jié)論⑤時(shí)，將

AZOB向不同方向旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)了結(jié)論①-結(jié)論④解題思路BC

的拓展應(yīng)用.

證明△BO'A三ABOC,又NOB。'=60。，所以△BO'4可以由△BOC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得

到，故結(jié)論①正確；由△。8。'是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；在AA。。'中，三邊長為3,

4,5,這是一組勾股數(shù)，故△40。'是直角三角形；進(jìn)而求得4A0B=150。，故結(jié)論③正確;

S四邊形408〃-SAAOO,+SAOBO，=6+4>/3,故結(jié)論④錯(cuò)誤；如圖②，將4繞點(diǎn)A逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)60。，使得48與AC重合，點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至0"點(diǎn).利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角

三角形，將S-OC+SMOB轉(zhuǎn)化為〃C00"+SA4。。"，計(jì)算可得結(jié)論⑤正確.

【解答】

解：由題意可知，Z.1+Z2=Z3+Z2=60°,???Zl=Z3,

又，OB=O'B,AB=BC,

BO'A^hBOC,又???4OB。'=60。，

???△B。%可以由△BOC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到，

故結(jié)論①正確；

如圖①，連接0。'，

vOB=O'B,且4OB。'=60°,

。8。'是等邊三角形，

00'=OB=4.

故結(jié)論②正確；

.-.O'A=5.

在A4。。'中，三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù),

4。。'是直角三角形，乙4。0'=90°,

4AOB=Z.AOO'+乙BOO'=90°+60°=150°,

故結(jié)論③正確;

S四邊形40B。'=S—oo,+SbOBO>=1X3X4+YX42=6+

4V3.

故結(jié)論④錯(cuò)誤:

如圖②所示，將4AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，使得AB與AC

重合，點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)至。"點(diǎn).

易知AA。。"是邊長為3的等邊三角形，AC。。”是邊長為3、4,5的直角三角形,

梟32=6+淖,

則SAAOC+SMOB=S四邊形AOCO"=SACOO"+SAAOO"=-x3x4+

故結(jié)論⑤正確.

綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③⑤.

故選：A.

5.如圖，。是正AABC內(nèi)一點(diǎn)，04=3,0B=4,0C=5,

將線段5。以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段8。',

下列結(jié)論：①△B0N可以由△BOC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。

得到；②點(diǎn)。與。'的距離為4；③乙40B=150°;

④S四邊形4080，=6+勾”；⑤SA40C+SA408=6+1次，其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③④B.①②③C.①②④⑤D.①②③④⑤

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了旋轉(zhuǎn)變換中等邊三角形，直角三角形的性質(zhì).利用勾股定理的逆定理，判定勾股

數(shù)3、4、5所構(gòu)成的三角形是直角三角形，這是本題的耍點(diǎn).在判定結(jié)論⑤時(shí)，將△HOB向

不同方向旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)了結(jié)論①-結(jié)論④解題思路的拓展應(yīng)用.

證明△B0'4三△BOC,又4。80'=60。，所以△BO'Z可以由△BOC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得

到，故結(jié)論①正確：

由△0B0'是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；

在4A。。'中，三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù)，故44。0'是直角三角形；進(jìn)而求得乙40B=

150%故結(jié)論③正確：

S四邊形AOBO,=SAAOO,+S^oBOt=6+4\/3,故結(jié)論④正確；

如圖②，將△408繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，使得AB與AC重合，點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至。"點(diǎn).利用旋

轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將SMOC+S-OB轉(zhuǎn)化為SACOO，，+SM。。，，，計(jì)算可得結(jié)

論⑤正確.

【解答】

解：由題意可知，41+42=43+42=60。，

Z.1=Z.3,

又；OB=O'B,AB=BC,

.,1△B0'4三ABOC,

又：乙OBO'=60°,

8。'4可以由A80C繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到,

故結(jié)論①正確；

如圖①，連接。。'，

OB=O'B,且NOB。'=60。,

''.A0B0'是等邊三角形，

00'=0B=4.

故結(jié)論②正確；

,?1△BO'A=t^BOC,

AO'A=5.

在A/l。。'中，三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù),

4。0'是直角三角形，乙4。0'=90°,

ZAOB=/-AOO'+乙BOO'=90°+60°=150°,

故結(jié)論③正確；

S四邊形AOBO,~SA400'+S40B。

=-X3x4

2

=6+4V5,

故結(jié)論④正確:

如圖②所示，將AAOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，使得48與AC重合，點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至0"點(diǎn).

易知△4。?！笔沁呴L為3的等邊三角形，AC。?！笔沁呴L為3、4、5的直角三角形，

則S-OC+S^AOB-S四邊形AOCO"=SACOO"+^AAOO

=ix3x4+—x32

24

=64-^A/3,

4

故結(jié)論⑤正確.

綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③④⑤.

故選O.

二、填空題

6.如圖所示，一個(gè)三角形ZL4BC在數(shù)軸上的位置如圖所示，ZMBC的三邊BC=3,AB=

4,AC=5,若此三角形繞著其中一個(gè)頂點(diǎn)順時(shí)針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后,

得到翻轉(zhuǎn)2次后，得到44282c2,依此類推……，若點(diǎn)8所對(duì)應(yīng)的數(shù)為一12；

(1)點(diǎn)夕2所對(duì)應(yīng)的數(shù)為；(2)翻轉(zhuǎn)2017次后，4017點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為.

【答案】0:8060

【解析】

【分析】

此題考查的是旋轉(zhuǎn)中的坐標(biāo)變換.通過分析題意結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)8每翻轉(zhuǎn)3次為一循

環(huán)，此時(shí)點(diǎn)8向右移動(dòng)12個(gè)單位：點(diǎn)A每翻轉(zhuǎn)3次為?循環(huán)，此時(shí)點(diǎn)A向右移動(dòng)12個(gè)單位

,依次類推即可得出結(jié)論.

【解答】

解：BC=3,AB-4,AC=5>

BC+41G+^2^2=3+5+4=12,

???點(diǎn)8所對(duì)應(yīng)的數(shù)為一12,

-12+12=0,

/所對(duì)應(yīng)的數(shù)為。；

BC+A-^Cy=3+5—8.

???點(diǎn)8所對(duì)應(yīng)的數(shù)為一12,

???4所對(duì)應(yīng)的數(shù)是-4,

依次類推，得

A4=-4+12,

A7=-4+12x2,

A］。=-4+12x3,

i42oi7=-4+672X12=8060.

&oi7點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為8060.

故答案為0;8060.

7.如圖，已知4408=90。，點(diǎn)A繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)兒落在射線OB上，點(diǎn)A

繞點(diǎn)為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)&落在射線。8上，點(diǎn)A繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)%

落在射線OB上，…，連接力&,4斗2,AA3…，依此作法，則N442A3=，^AnAn+1

等于度.（用含"的代數(shù)式表示，〃為止整數(shù)）.

A3B

【答案】157.5°(180-J)

【解析】解：???點(diǎn)A繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

落在射線上,

???OA=041，

A3B

4/MI。=2。8=苧

???點(diǎn)A繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)42落在射線。8上，

,**y41i4=^1^2?

190090°

:.^AA2At=：z>L4i。=云，^AA2A3=180。一會(huì)=157.5。，

???點(diǎn)A繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)43落在射線。8上，

?**42力=-^2^39

190°

，乙443“2=鼻乙=有"，

以此類推，乙44出_1=條

90°

??Z"n+l=180°-條

故答案為：157.5°,180-g.

利用N40B=90。，OA=OAr,即可得到乙4a。=手，同理可得NA&AI=(乙4&。=黃,

Z.AA3A2=^Z.AA2A1=進(jìn)而得出規(guī)律乙44n4i-i=第

本題考查了等腰三角形的性順以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的

距離相等：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

8.(1)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(一4,3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)4的坐標(biāo)是.

(2)若％=-2是關(guān)于x的一元二次方程/+|ax-a2=0的一個(gè)根，則a的值為

(3)矩形的周長等于40,則此矩形面積的最大值是.

(4)如圖，在矩形ABC。中，力B=4,BC=6,E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且4E1BE,

則線段CE的最小值為.

D

(5)如圖，已知直線MM〃PQ,把4c=30。的直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)A放在直線

MN上,將直角三角板ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A任意轉(zhuǎn)動(dòng)，若轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，直線BC與直

線PQ的夾角為60。，則NM4c的度數(shù)為.

【答案】(1)(4,-3);

(2)a=1或-4;

(3)100;

(4)2V10-2；

⑸30。或90。或150。

【解析】略

9.如圖1,四邊形ABCO是邊長為2的正方形，點(diǎn)。為對(duì)角線8。的中點(diǎn)，點(diǎn)。關(guān)于AB

的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接AO、AE.

B

(1)判斷并直接寫出△4BE是__________三角形，AE的長是；

(2)將圖1中的△力BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(00<a<360°)，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,

點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G.

①如圖2,連接。尺4G,猜想黑的值并說明理由；

②當(dāng)a=時(shí)，點(diǎn)F落在AD的垂直平分線上；

③在②的條件下，連接。G,直線。G交直線A8于點(diǎn)4,連接F”，直接寫出霽的值

【答案】(1)等腰直角，V2

(2)①第=&理由如下：??,四邊形A5CD為正方形

4BAD=90°,4ABD=45°

???△A8E為等腰直角三角形，AABE旋轉(zhuǎn)得AFBG

???ABGF=90°,^GBF=45°

???乙DBF=Z.ABG

■：^.Rt△ABD^Rt△GBF^,cos450=—=—=—

BDBF2

r\cpn__

BDFfBAGA=V2

—AG=—AB

②30°或150°

【解析】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題中的問題，解決問題。

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為I的正方形O&B1G的

兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角線。為為邊作正方形

OBiB2c2,再以正方形。8$2c2的對(duì)角線。%為邊作正方形

08283c3，以此類推…、則正方形OB2016B2017C2017的頂點(diǎn)

52017的坐標(biāo)是.

【答案】(21°°8,21°08)

【解析】

【分析】

本題考查了規(guī)律型中點(diǎn)的坐標(biāo)以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律

“88?+1(24”,2樂)5為自然數(shù))”是解題的關(guān)鍵.根據(jù)給定圖形結(jié)合正方形的性質(zhì)可得出,

點(diǎn)為、%、%、以、B5、…、的坐標(biāo)，觀察點(diǎn)的坐標(biāo)可得知，下標(biāo)為奇數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)的橫縱

坐標(biāo)的絕對(duì)值依此為前一個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)絕對(duì)值的2倍，且4次一循環(huán)，由此即可得出

4n

e8n+1(2,2m)缶為自然數(shù))，依此規(guī)律即可得出結(jié)論.

【解答】

解：觀察，發(fā)現(xiàn)：Bi(l,l)，%(0,2),%(一2,2),8式-4,0),陽-4,-4),B6(0,-8),%(8,-8),

舔(16,0),%(16,16),...?

???B8n+i(24n,24n)(n為自然數(shù)).

???2017=8x252+1,

???點(diǎn)B2017的坐標(biāo)為(2i0°8,2i°08).

故答案為(210°8,21°08).

三、解答題

11.【閱讀理解】利用旋轉(zhuǎn)是解決幾何證明或計(jì)算的一種重要手段.

(1)例如在圖1中，。。是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P是品上任一點(diǎn)，連接PA,

如果把AABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△4C。，易證點(diǎn)P,C,。三點(diǎn)共線，且

是等邊三角形.所以PA,PB,PC這三條線段的數(shù)量關(guān)系是:(只填結(jié)果)

圖1

【類比論證】運(yùn)用上面方法，解答下列問題:

(2)如圖2,。。是正方形A8CQ的外接圓,點(diǎn)戶是8C上任一點(diǎn)，連接PA,PD,求證:

PB+PD=y/2PA.

o

AD

p

圖2

【知識(shí)遷移】

(3)如圖3,在四邊形4BCO中，AB=AD,^BAD=120°,/-BCD=60°,BC+CD=6,

求AC的長.

圖3

【答案】解：(1)P4=PB+PC；

(2)證明：延長尸〃至E,使DE=BP,連接AE,

??,四邊形45CD是正方形，

??.AB=AD,乙BAD=90,

即21+Z.PAD=90°,

v/1,B,P,。在。0上，

：,Z.ABP4-Z3=180°,

v43+44=180°,

???乙ABP=Z4,

???△4BPwZk4D￡(S4S),

:.AP=AEyZ1=乙2,

vZl+Z-PAD=90,

???Z2+/.PAD=90°,

即PA1AE,

??.△P4E是等腰直角三角形，

PE=V2PA.

vPE=PD+DE=PD+PB,

■.PB+PD=\[2PA-,

(3)構(gòu)造△EAD^/\CAB,

在AE4C中，AC=AE,/.CAE=120°,CE=6,

過A作4F1CE于F,

則EF=FC=3,4E=30°,

???AF=-AE,

2

設(shè)4F=x,

則AE=2x,

(2x)2-x2=32,

解得x=V3,

AC=2x=2y/3-

【解析】

【分析】

本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)、特殊

角的銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵，本題綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)

生的能力要求比較高.

【解答】

解：(1)把4ABP繞點(diǎn)、A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△4CD的位置，

貝iJ/kABP三△4CD,AP=AD,/.PAD=60°,BP=CD,Z.ACD=Z.ABP,

??.△4PD是等邊三角形，

???PA=PD=AD,

在等邊三角形ABC中，AB=AC,^ABP=60°,

??,四邊形48PC是圓的內(nèi)接四邊形，

4ABp+/.PCA=180°,

???APCA+乙PCD=180°,

:點(diǎn)P,C,。三點(diǎn)共線，

vPD=PC+CD,

：.PA=PB+PC,

故答案為PA=PB+PC；

(2)見答案;

(3)見答案.

12.如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a后，與AADE構(gòu)成位似圖形，我們稱與互為“旋轉(zhuǎn)

位似圖形”。

D

(1)知識(shí)理解：兩個(gè)重合了一個(gè)頂點(diǎn)且邊長不相等的等邊三角形(填“是”或

“不是”)“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；

如圖1,△ABC和△ACE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，

①若a=263Z.B=100%/.E=29%貝IJ/B4E=；

②若4D=6,DE=8,AB=4,則BC=；

(2)知識(shí)運(yùn)用：

如圖2,在四邊形ABCD中，Z.ADC=903AE1BD于E,/.DAC=乙DBC,求證：AACD

和△ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；

(3)拓展提高：

如圖3,△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)G為AC中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，。是GF延長

線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段GF上，且△4BD與△AGE互為''旋轉(zhuǎn)位似圖形"，若4c=6,

AD=22,求出OE和8。的值。

【答案】解：(1)是，25。，g；

(2))證明：???41=42,43=44,

D

圖2

AOD^LBOC,

.AO_DO日_BO

BOCODOCO

又???z5=46,

AOBsxDOC>

???Z7=48,

又???乙ADC=90。，AE1BD,

:.Z-ADC=Z-AEB,

ABETACD,

.??△4。。和448￡互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；

(3)

圖3

???△ABD~AAGE,

ADAB._

?..族=茄，41=42，

AC=6,AD=2A/2.△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)G為AC中點(diǎn);,

AB=3V2,AG=3,

代入黨=第求得：赫=2,

AEAG

如圖3,過￡作￡7/JL/O于〃，

vz.2+z3=45°,41=42,

???41+23=45°,

???AE=2,

AH=V5，

AH=AD,

DE=AE=2,

Z.DEA=JGEA=90°,

???AADB=/.GEA=90°,

根據(jù)勾股定理，得BD=>/AB2-AD2=

綜上，DE-2,BD=VlO.

【解析】

【分析】

本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性

質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用.在解答時(shí)添加輔助線等腰直角三角形，利用相似形的對(duì)應(yīng)邊成比

例是關(guān)鍵，

⑴①依據(jù)△4BC和△4DE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，可得△ABCQ4DE,依據(jù)相似三角形的

對(duì)應(yīng)角相等，即可得到NB4E=180。-100。-29。-26。=25。；②依據(jù)△ABCs/i4DE,

可得第=黑根據(jù)2D=6,DE=8,4B=4,即可得出BC=￡

DEAD3

(2)依據(jù)△AODs/^BOC,即可得到券=霽，進(jìn)而得到△AOBsZkDOC,再根據(jù)47=48,

N/1DC=N4EB,即可得至ljA4BEsA4CO,進(jìn)而得出△4C0和4ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；

⑶依據(jù)△力BD-UGE,即可得到喘=*,zl=Z2,把4B=3VL4G=3代入*=*求

、,AEAGAEAG

得：AE=2.過E作EH1AD于H,利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到B。=

7AB2-AD2=710.

【解答】

解：(1)兩個(gè)重合了一個(gè)頂點(diǎn)且邊長不相等的等邊三角形，把其中一個(gè)三角形繞公共頂點(diǎn)旋

轉(zhuǎn)后構(gòu)成位似圖形，故它們互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；

①和△力DE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，

ABC^LADE,

:.Z.D=Z-B=100°,

又丁a=26°,乙E=29°,

???乙BAE=180°-100°-29°-26°=25°；

②?:bABC"ADE,

BCAB

--=--f

DEAD

vAD—6,DE—8,AB=4,

BC4

???一=

86

BC=

3

故答案為25。；y;

(2)見答案；

(3)見答案.

13.一副三角板如圖1擺放，ZC=Z.DFE=90°,4B=30。，=45。，點(diǎn)尸在BC上，點(diǎn)

A在。尸上，且AF平分NC4B,現(xiàn)將三角板DFE繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(當(dāng)點(diǎn)。落在射線

FB上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)).

⑴當(dāng)ZAFD=。時(shí)，DF//AC；當(dāng)N4F0=。時(shí)，DFLAB；

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，。尸與4B的交點(diǎn)記為P,如圖2,若△AFP有兩個(gè)內(nèi)角相等，求“PD

的度數(shù)；

⑶當(dāng)邊QE與邊A8、BC分別交于點(diǎn)M、N時(shí)，如圖3,若44FM=2乙BMN,比較NFMN

與4FNM的大小，并說明理由.

【答案】解：(1)30；60；

(2),:4CAB=60°,”平分NC4B,

/.FAP=30°,

當(dāng)如圖3所示：

D

當(dāng)如圖4所示:

當(dāng)乙4FP=乙4PF時(shí)，

vZ.FAP=30°,乙4FP=乙4PF,

???AAFP=/-APF=jx(180°-30°)=1x150°=75°,

/.APD=4FAP+/.AFP=30°+75°=105°；

如圖5所示：

如圖5所示：當(dāng)N4PF=Z.FAP=30。時(shí)，

乙APD=180°-30°=150°；

綜上所述，Z4PD的度數(shù)為60。或105。或150。；

(3”FMN=乙FNM.

理由：如圖6所示:

v4FNl^ABMN的一個(gè)外角，

???乙FNM=NB+乙BMN,

?：乙B=30°,

???乙FNM=4B+乙BMN=30°+4BMN,

vN8MF是AAFM的一個(gè)外角，

A.BMF=/.MAF+/.AFM,

即MMN+乙FMN=^MAF+AAFM,

又：AMAF=30°,乙4FM=2乙BMN,

4BMN+乙FMN=30°+2乙BMN,

乙FMN=30°+4BMN,

AFNM=乙FMN.

【解析】

【分析】

本題主要考查的是三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了角平分線的定義、三角形的內(nèi)角

和定理、平行線的判定定理、三角形的外角的性質(zhì)，屬于較難題.

(1)根據(jù)題意，進(jìn)行求解即可；

(2)分為4FAP=乙4尸P,/.AFP=Z.APF,乙4PF=4R4P三種情況求解即可；

(3)先依據(jù)三角形外角的性質(zhì)證明NPNM=30°+乙BMN,接下來再依據(jù)三角形外角的性質(zhì)

以及41FM和4BMN的關(guān)系可證明"MN=30°+乙BMN,從而可得到4FNM與"MN的關(guān)

系.

【解答】

(1)如圖1所示:

D

當(dāng)乙4FD=30。時(shí)，AC//DF,

理由：vZ.CAB=60°,A”平分NC/B,

???^CAF=30°,

???乙4/。=30°,

:.^CAF=Z.AFD,

AC//DF.

如圖2所示：當(dāng)乙4FD=60。時(shí)，DFLAB.

vZ.CAB=60°,4尸平分/TAB,

???^FAG=30°,

vZ.AFD=60°,

???乙FGB=90°,

???DF1AB,

故答案為：30；60.

(2)見答案；

(3)見答案.

14.如圖，正方形A8C。、8GFE邊長分別為2、1,正方形BGFE繞點(diǎn)、B旋轉(zhuǎn),直線4E,

GC相交于點(diǎn)H.

＜冬月困;

(1)在正方形8GFE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過程中，N4HC的大小是否始終為90。，請(qǐng)說明理由;

(2)連接?！?，BH,在正方形BGPE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過程中，

①求。，的最大值；

②直接寫出。H的最小值.

【答案】解：(1)是,理由如下，

由旋轉(zhuǎn)知NABE=乙CBG,

在正方形ABCZX8GFE中

AB=BC,BE=BG,/.ADC=乙BCD=/.BAD=Z.ABC=90°,

ABE三&CBG,

???/-BAE=Z.BCG.

?:乙APB=CCPH,Z.ABC+Z,BAE4-/-APB=180°,Z.AHC+Z.BCG4-Z-CPH=180°,

???Z,AHC=(ABC=90°；

(2)①如圖,

/H

V/-AHC=90°,

點(diǎn)H在以4c為直徑的圓