（人教A版2019必修第一冊）高一數(shù)學(xué)上學(xué)期同步精講精練 3.3冪函數(shù)（精講）（原卷版+解析）

3.3冪函數(shù)（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點題型一：冪函數(shù)的概念重點題型二：冪函數(shù)的定義域重點題型三：冪函數(shù)的值域重點題型四：冪函數(shù)的圖象重點題型五：冪函數(shù)的單調(diào)性角度1:比較大小角度2：解不等式重點題型六：冪函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用第五部分：高考（模擬）題體驗第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：冪函數(shù)的概念1、定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).2、冪函數(shù)的特征①中前的系數(shù)為“1”②中的底數(shù)是單個的自變量“”③中是常數(shù)知識點二：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、五個冪函數(shù)的圖象(記憶五個冪函數(shù)的圖象）當(dāng)時，我們得到五個冪函數(shù)：；；；；2、五個冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減定點3、拓展：①，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；②，當(dāng)時，在單調(diào)遞減.第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）判斷正誤．（1）冪函數(shù)的圖象必過點和．()（2）冪函數(shù)的圖象都不過第二、四象限．()（3）當(dāng)冪指數(shù)取1，3，時，冪函數(shù)是增函數(shù)．()（4）若冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大．()2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是()A．

B．

C．

D．3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）判斷正誤．（1）是冪函數(shù)．()（2）函數(shù)是冪函數(shù)．()4．（2022·全國·高一）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的值為（

）A． B．3 C．或3 D．5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．第四部分：典型例題剖析第四部分：典型例題剖析重點題型一：冪函數(shù)的概念典型例題例題1．（2022·全國·高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值等于（

）A． B．4 C．8 D．例題2．（2022·四川雅安·高一期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．1或2同類題型演練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．22．（2022·上海交大附中高二期末）冪函數(shù)的圖象與軸沒有交點，則___________.3．（2022·吉林一中高二期中）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m的值為______．4．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高二期中（文））若冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值為______.重點題型二：冪函數(shù)的定義域典型例題例題．（2022·山西呂梁·高一期末）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域為（

）A． B．C． D．例題2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)的定義域為_______．同類題型演練1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）下列冪函數(shù)中，定義域為的是（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇·高一）若有意義，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．重點題型三：冪函數(shù)的值域典型例題例題1．（2022·廣西玉林·高二期末（文））函數(shù)的值域為________.例題2．（2021·河北·石家莊市第九中學(xué)高一期中）若冪函數(shù)的圖象過點，則的值域為____________．例題3．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．同類題型演練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知冪函數(shù)的圖像過點，則的值域是（

）A． B．C． D．2．（2022·廣東·廣州六中高一期末）冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．3．（2021·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值是A． B． C． D．重點題型四：冪函數(shù)的圖象典型例題例題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）任意兩個冪函數(shù)圖象的交點個數(shù)是（

）A．最少一個，最多三個 B．最少一個，最多二個C．最少個，最多三個 D．最少個，最多二個例題2．（2022·江蘇·高一）若冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖所示，則?的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．同類題型演練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，若點在冪函數(shù)的圖象上，則冪函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若四個冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．重點題型五：冪函數(shù)的單調(diào)性角度1:比較大小典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，，對任意，，且，都有，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．例題2．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點，則與的大小關(guān)系是__．同類題型演練1．（2021·山東聊城一中高一期中）設(shè)冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，若實數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．以上都有可能2．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）已知，，則m與n的大小關(guān)系為________．角度2：解不等式典型例題例題1．（2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高一期中）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式的解集為（

）A． B． C． D．例題2．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)過定點，且滿足，則的范圍為___________.同類題型演練1．（2021·福建三明·高一期中）若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[，＋∞） B．（－∞，] C．（，] D．[，]2．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2021·全國·高一課時練習(xí)）若，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（2021·河北·石家莊二中高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)過點，若，則實數(shù)的取值范圍是________.5．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)過點，且，則實數(shù)k的取值范圍是_____．重點題型六：冪函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2022·上海市第三女子中學(xué)高一期末）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．(1)求的值；(2)求滿足不等式的實數(shù)的取值范圍．例題2．（2022·河南·臨潁縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域．同類題型演練1．（2022·北京房山·高一期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)滿足條件

，試求實數(shù)的取值范圍．2．（2022·全國·高一）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是減函數(shù).（1）求和的值；（2）求滿足的的取值范圍.第五部分：高考（模擬）題體驗第五部分：高考（模擬）題體驗1．（2022·四川綿陽·一模（理））“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022·湖南湖南·二模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））若冪函數(shù)，且關(guān)于原點對稱，則（

）A． B．C．或 D．4．（2022·上海黃浦·二模）已知．若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且其圖像不過坐標(biāo)原點，則____________．5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（文））寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②當(dāng)時，；③；

3.3冪函數(shù)（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點題型一：冪函數(shù)的概念重點題型二：冪函數(shù)的定義域重點題型三：冪函數(shù)的值域重點題型四：冪函數(shù)的圖象重點題型五：冪函數(shù)的單調(diào)性角度1:比較大小角度2：解不等式重點題型六：冪函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用第五部分：高考（模擬）題體驗第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：冪函數(shù)的概念1、定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).2、冪函數(shù)的特征①中前的系數(shù)為“1”②中的底數(shù)是單個的自變量“”③中是常數(shù)知識點二：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、五個冪函數(shù)的圖象(記憶五個冪函數(shù)的圖象）當(dāng)時，我們得到五個冪函數(shù)：；；；；2、五個冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減定點3、拓展：①，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；②，當(dāng)時，在單調(diào)遞減.第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）判斷正誤．（1）冪函數(shù)的圖象必過點和．()（2）冪函數(shù)的圖象都不過第二、四象限．()（3）當(dāng)冪指數(shù)取1，3，時，冪函數(shù)是增函數(shù)．()（4）若冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大．()【答案】

×

×

√

×（1）例如：，不過，故錯誤；（2）例如：，冪函數(shù)會過第二象限，故錯誤（3）當(dāng)冪指數(shù)取1，3，時，冪函數(shù)是增函數(shù)，正確；（4）例如：，函數(shù)在遞減，故錯誤；2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是()A．

B．

C．

D．【答案】CA選項中，，故它是冪函數(shù)．B選項是冪函數(shù)．C選項的系數(shù)為3，所以它不是冪函數(shù)．D選項是冪函數(shù)．3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）判斷正誤．（1）是冪函數(shù)．()（2）函數(shù)是冪函數(shù)．()【答案】

錯誤

正確（1）可以改寫成，其中的系數(shù)為，所以它不是冪函數(shù)．（2）中，底數(shù)是自變量，指數(shù)位置為常數(shù)，所以它是冪函數(shù)．4．（2022·全國·高一）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的值為（

）A． B．3 C．或3 D．【答案】A因為是冪函數(shù)，故，解得或，又因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以需要，則故選：A5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，所以由圖像得：，故選：D第四部分：典型例題剖析第四部分：典型例題剖析重點題型一：冪函數(shù)的概念典型例題例題1．（2022·全國·高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值等于（

）A． B．4 C．8 D．【答案】D設(shè)冪函數(shù)，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，解得，所以，則．故選：D.例題2．（2022·四川雅安·高一期末）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．1或2【答案】C冪函數(shù)為偶函數(shù)，，且為偶數(shù)，則實數(shù)，故選：C同類題型演練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．2【答案】D因為是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，符合題意，所以.故選：D.2．（2022·上海交大附中高二期末）冪函數(shù)的圖象與軸沒有交點，則___________.【答案】0根據(jù)冪函數(shù)的定義得，解得或；當(dāng)時，，圖象與軸有交點，不滿足題意；當(dāng)時，，圖象與軸沒有交點，滿足題意；綜上，，故答案為：3．（2022·吉林一中高二期中）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m的值為______．【答案】解：因為函數(shù)是冪函數(shù)，則有，解得或，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意.所以的值為故答案為：4．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高二期中（文））若冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值為______.【答案】1由題設(shè)，即，可得或，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，符合；當(dāng)時，在上為減函數(shù)，不符合.所以.故答案為：1重點題型二：冪函數(shù)的定義域典型例題例題．（2022·山西呂梁·高一期末）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C設(shè)，因為的圖象過點，所以，解得，則，故的定義域為．故選：C例題2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)的定義域為_______．【答案】，所以，.因此，函數(shù)的定義域為.故答案為：.同類題型演練1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）下列冪函數(shù)中，定義域為的是（

）A． B． C． D．【答案】C對選項，則有：對選項，則有：對選項，定義域為：對選項，則有：故答案選：2．（2022·江蘇·高一）若有意義，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C由負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可知，，所以，即，因此的取值范圍是．故選：C.重點題型三：冪函數(shù)的值域典型例題例題1．（2022·廣西玉林·高二期末（文））函數(shù)的值域為________.【答案】時，，時，，所以的值域為.故答案為：例題2．（2021·河北·石家莊市第九中學(xué)高一期中）若冪函數(shù)的圖象過點，則的值域為____________．【答案】設(shè)，因為冪函數(shù)的圖象過點，所以所以，所以故答案為：例題3．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】由函數(shù)單調(diào)遞增，①當(dāng)時，若，有，而，此時函數(shù)的值域不是；②當(dāng)時，若，有，而，若函數(shù)的值域為，必有，可得．則實數(shù)的取值范圍為．故答案為：同類題型演練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知冪函數(shù)的圖像過點，則的值域是（

）A． B．C． D．【答案】D冪函數(shù)的圖像過點，，解得，，的值域是.故選：D.2．（2022·廣東·廣州六中高一期末）冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C設(shè)，代入點得，則，令，函數(shù)的值域是.故選：C.3．（2021·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值是A． B． C． D．【答案】C由冪函數(shù)的性質(zhì),可知當(dāng)時,在上是減函數(shù),故在區(qū)間上是減函數(shù),故.故選C重點題型四：冪函數(shù)的圖象典型例題例題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）任意兩個冪函數(shù)圖象的交點個數(shù)是（

）A．最少一個，最多三個 B．最少一個，最多二個C．最少個，最多三個 D．最少個，最多二個【答案】A解：因為所有冪函數(shù)的圖象都過，所以最少有個交點，如圖所示：當(dāng)函數(shù)為和時，它們有個交點，故選：．例題2．（2022·江蘇·高一）若冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖所示，則?的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A和在上單調(diào)遞增，所以，，當(dāng)時，圖象在上方，所以，當(dāng)時，圖象在下方，所以，所以，故選：A.同類題型演練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，若點在冪函數(shù)的圖象上，則冪函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B由得，，即定點為，設(shè)，則，，所以，圖象為B．故選：B．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））若四個冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，在的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)依次增大，可得故選：B重點題型五：冪函數(shù)的單調(diào)性角度1:比較大小典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)，，對任意，，且，都有，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A對任意，，且，都有，即在上單調(diào)減，又是冪函數(shù)，知：，解得或（舍去），∴，是偶函數(shù)，∴，，而，即，故選：A例題2．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點，則與的大小關(guān)系是__．【答案】設(shè)冪函數(shù)為，因為冪函數(shù)的圖象過點，可得，解得，所以冪函數(shù)為，此時函數(shù)的偶函數(shù)，且當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)，則，所以.故答案為：.同類題型演練1．（2021·山東聊城一中高一期中）設(shè)冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，若實數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．以上都有可能【答案】A由題可設(shè)，代入點，則，解得，則在單調(diào)遞減，因為，所以可得，則.故選：A.2．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）已知，，則m與n的大小關(guān)系為________．【答案】設(shè)，已知，則，因為f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則，即，故答案為：.角度2：解不等式典型例題例題1．（2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高一期中）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B解：因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，又冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，此時在R上單調(diào)遞增，因為，所以，解得或，所以不等式的解集為，故選：B.例題2．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)過定點，且滿足，則的范圍為___________.【答案】設(shè)，則，解得，所以，此時為上的遞增函數(shù)，且為奇函數(shù)，所以等價于，所以，即，所以或.故答案為：同類題型演練1．（2021·福建三明·高一期中）若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[，＋∞） B．（－∞，] C．（，] D．[，]【答案】D不等式可化為：，解得：.故選：D2．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D因為冪函數(shù)的定義域為，且是定義域上的減函數(shù)，所以若，則解得.故選：D.3．（2021·全國·高一課時練習(xí)）若，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C因為冪函數(shù)在和上都是單調(diào)遞減的，所以，由可得或或解得或，即實數(shù)m的取值范圍為.故選：C.4．（2021·河北·石家莊二中高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)過點，若，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】因為冪函數(shù)過點，所以，解得，所以在上遞增，又，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是故答案為：5．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)過點，且，則實數(shù)k的取值范圍是_____．【答案】由題設(shè)可得，故，所以，所以為上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，而等價于，所以，故.故答案為：.重點題型六：冪函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2022·上海市第三女子中學(xué)高一期末）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．(1)求的值；(2)求滿足不等式的實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)解：因為冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，解得，又因為，所以或或，當(dāng)或時，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱（舍）；當(dāng)時，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，符合題意；綜上所述，.(2)解：由（1）得為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則由得，即，即，解得，所以滿足的實數(shù)的取值范圍為.例題2．（2022·河南·臨潁縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域．【答案】(1)(2)(1)因為是冪函數(shù)，所以，解得或．又的圖像關(guān)于y軸對稱，所以，故．(2)由（1）可知，．因為，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．故在上的值域為．同類題型演練1．（2022·北京房山·高一期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)滿足條件

，試求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)解：因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則有，所以，所以；(2)解：因為，所以