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文檔簡介

2.6.1雙曲線的標準方程[課標解讀]

1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.2.能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程:根據(jù)具體問題情境的特點,建立平面直角坐標系;根據(jù)幾何問題和圖形的特點,用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題;根據(jù)對幾何問題(圖形)的分析,探索解決問題的思路;運用代數(shù)方法得到結(jié)論;給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋,解決幾何問題.新知初探·自主學習課堂探究·素養(yǎng)提升新知初探·自主學習教材要點知識點一雙曲線的定義距離的差的絕對值定點F1,F(xiàn)2兩焦點間知識點二雙曲線的標準方程焦點所在的坐標軸x軸y軸標準方程圖形焦點坐標(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a,b,c的關(guān)系式c2=a2+b2狀元隨筆1.雙曲線中a,b,c的關(guān)系如何?與橢圓中a,b,c的關(guān)系有何不同?[提示]雙曲線標準方程中的兩個參數(shù)a和b,確定了雙曲線的形狀和大小,是雙曲線的定形條件,這里b2=c2-a2,即c2=a2+b2,其中c>a,c>b,a與b的大小關(guān)系不確定;而在橢圓中b2=a2-c2,即a2=b2+c2,其中a>b>0,a>c,c與b的大小關(guān)系不確定.2.如何確定雙曲線標準方程的類型?[提示]焦點F1,F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件,它決定了雙曲線標準方程的類型,若x2的系數(shù)為正,則焦點在x軸上,若y2的系數(shù)為正,則焦點在y軸上.

答案:B解析:雙曲線中a2=16,a=4,2a=8,由雙曲線定義知||MF1|-|MF2||=8,又|MF1|=3|MF2|,所以3|MF2|-|MF2|=8,解得|MF2|=4.

答案:D

答案:A4.已知雙曲線的a=5,c=7,則該雙曲線的標準方程為________________.

課堂探究·素養(yǎng)提升

答案:A

(2)求經(jīng)過點(3,0),(-6,-3)的雙曲線的標準方程.

狀元隨筆先設出雙曲線的標準方程,再構(gòu)造關(guān)于a,b的方程組求解.方法歸納1.求雙曲線標準方程的兩個關(guān)注點

狀元隨筆求標準方程時,一定要先區(qū)別焦點在哪個軸上,選取合適的形式.題型2雙曲線定義的應用【思考探究】1.如何理解雙曲線定義中的“大于零且小于|F1F2|”?[提示]

(1)若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”,其余條件不變,則動點軌跡是以F1,F(xiàn)2為端點的兩條射線(包括端點);(2)若將“小于|F1F2|改為“大于|F1F2|”,其余條件不變,則動點軌跡不存在;(3)若常數(shù)為零,其余條件不變,則動點的軌跡是線段F1F2的中垂線.2.若|MF1|-|MF2|<|F1F2|,則動點M的軌跡是什么?[提示]

(1)定義中距離的差要加絕對值,否則只為雙曲線的一支.設F1,F(xiàn)2表示雙曲線的左、右焦點,①若|MF1|-|MF2|=2a,則點M在右支上;②若|MF2|-|MF1|=2a,則點M在左支上.(2)雙曲線定義的雙向運用:①若||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|),則動點M的軌跡為雙曲線;②若動點M在雙曲線上,則||MF1|-|MF2||=2a.

狀元隨筆根據(jù)雙曲線的定義及余弦定理求出∠F1PF2即可.

答案:B

方法歸納1.求解與雙曲線有關(guān)的點的軌跡問題,常見的方法有兩種:(1)列出等量關(guān)系,化簡得到方程;(2)尋找?guī)缀侮P(guān)系,結(jié)合雙曲線的定義,得出對應的方程.2.求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意:(1)雙曲線的焦點所在的坐標軸;(2)檢驗所求的軌跡對應的是雙曲線的一支還是兩支;(3)特殊點是否滿足,比如“頂點”.跟蹤訓練3

如圖所示,已知定圓F1:(x+5)2+y2=1,定圓F2:(x-5)2+y2=42,動圓M與定圓F1,F(xiàn)2都外切,求動圓圓心M的軌跡方程.

答案:C

(2)已知雙曲線方程為2x2-y2=k,焦距為6,求k的值.

狀元隨筆根據(jù)雙曲線的定義可知,要使方程表示雙曲線,需9-m和4-m異號,進而求得m的范圍.

答案:A解析:當k>5時,方程表示雙曲線;反之,當方程表示雙曲線時,k>5或k<2.故是充分不必要條件.

解析:由雙曲線方程知焦點在x軸上且c

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