新教材2023版高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.4數(shù)學(xué)歸納法課件新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

*4.4數(shù)學(xué)歸納法新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透【課標(biāo)解讀】1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的命題.新知初探·課前預(yù)習(xí)【教

材

要

點(diǎn)】要點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法的概念一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)

n＝n0?(n0∈N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)以當(dāng)“n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立”．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法?.

批注?

n0不一定都是1，也可以是其他正整數(shù)．

批注?主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問題都能用數(shù)學(xué)歸納法．【夯

實(shí)

雙

基】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)在用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，只有第一步就可以．(

)(2)在用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，第二步必須利用歸納假設(shè).(

)(3)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝(n2－5n＋5)2，容易驗(yàn)證：a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1，由此作出一般性結(jié)論：對(duì)于任意n∈N*，an＝(n2－5n＋5)2＝1都成立，以上是數(shù)學(xué)歸納法．(

)(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)結(jié)論成立．(

)×√××2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明中，在驗(yàn)證了n＝1時(shí)命題正確，假定n＝k時(shí)命題正確，此時(shí)k的取值范圍是(

)A．k∈NB．k>1，k∈N*C．k≥1，k∈N*D．k>2，k∈N*答案：C3．用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)＝1＋2＋3＋…＋(3n＋1)(n∈N*)時(shí)，第一步應(yīng)證明(

)A．f(2)＝1＋2B．f(1)＝1C．f(1)＝1＋2＋3D．f(1)＝1＋2＋3＋4答案：D解析：n的初始值應(yīng)為1，而f(1)＝1＋2＋3＋4.故選D.4．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是______________．(2k＋1)＋(2k＋2)解析：因?yàn)橐C明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當(dāng)由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式左邊增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2)．題型探究·課堂解透

【方法總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的策略應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)需要確定兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，即：(1)n＝n0時(shí)，等式的結(jié)構(gòu)．(2)n＝k到n＝k＋1時(shí)，兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)：n＝k＋1時(shí)的代數(shù)式比n＝k時(shí)的代數(shù)式增加(或減少)的項(xiàng)．這時(shí)一定要弄清三點(diǎn)：①代數(shù)式從哪一項(xiàng)(哪一個(gè)數(shù))開始，即第一項(xiàng)．②代數(shù)式相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律．③代數(shù)式中最后一項(xiàng)(最后一個(gè)數(shù))與n的關(guān)系．鞏固訓(xùn)練1

求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．證明：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立．假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]所以n＝k＋1時(shí)，等式也成立．綜上所述，等式對(duì)任何n∈N*都成立．

【方法總結(jié)】(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”．(2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”．高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題．這種方法更適用于已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式．

題型3用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題例3

有n個(gè)圓，任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成f(n)＝n2－n＋2個(gè)部分(n∈N*)．證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1時(shí)命題成立．②假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)命題成立．即k個(gè)圓把平面分成f(k)＝k2－k＋2個(gè)部分．則n＝k＋1時(shí)，在k＋1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O，剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分，而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．綜合①②可知