三角函數和雙曲函數公式表

三角函數的定義直角坐標系中定義直角三角形定義a,b,h為角A的對邊、鄰邊和斜邊在笛卡爾平面上f(x)=sin(x)和f(x)=cos(x)函數的圖像。單位圓定義六個三角函數也可以依據半徑為一中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數對所有正數和負數輻角都有定義，而不只是對于在0和π/2弧度之間的角。它也提供了一個圖像，把所有重要的三角函數都包含了。根據勾股定理，單位圓的等式是：x對于大于2π或小于?2π的角度，可直接繼續(xù)繞單位圓旋轉。在這種方式下，正弦和余弦變成了周期為2π的周期函數：級數定義只使用幾何和極限的性質，可以證明正弦的導數是余弦，余弦的導數是負的正弦。（在微積分中，所有角度都以弧度來度量）。我們可以接著使用泰勒級數的理論來證明下列恒等式對于所有實數x都成立：這些恒等式經常被用做正弦和余弦函數的定義。它們經常被用做三角函數的嚴格處理和應用的起點（比如，在傅立葉級數中），因為無窮級數的理論可從實數系的基礎上發(fā)展而來，不需要任何幾何方面的考慮。這樣，這些函數的可微性和連續(xù)性便可以單獨從級數定義來確立。在這種形式的表達中，分母是相應的階乘，分子稱為“正切數”，它有一個組合解釋：它們枚舉了奇數勢的有限集合的交錯排列（alternatingpermutation）。在這種形式的表達中，分母是對應的階乘，而分子叫做“正割數”，有組合解釋：它們枚舉偶數勢的有限集合的交錯排列。從復分析的一個定理得出，這個實函數到復數有一個唯一的解析擴展。它們有同樣的泰勒級數，所以復數上的三角函數是使用上述泰勒級數來定義的。與指數函數和復數的聯(lián)系可以從上述的級數定義證明正弦和余弦函數分別是復指數函數在它的自變量為純虛數時候的虛數和實數部分：這個聯(lián)系首先由歐拉注意到，叫做歐拉公式。在這種方式下，三角函數在復分析的幾何解釋中變成了本質性的。例如，通過上述恒等式，如果考慮在復平面中eix所定義的單位圓，同上面一樣，我們可以根據余弦和正弦來把這個圓參數化，復指數和三角函數之間聯(lián)系就變得更加明顯了。進一步的，這樣就可以定義對復自變量z的三角函數：這里i2微分方程定義正弦和余弦函數都滿足微分方程就是說，每個都是它自己的二階導數的負數。在由所有這個方程的解的二維向量空間V中，正弦函數是滿足初始條件y(0)=0和y′(0)=1的唯一解，而余弦函數是滿足初始條件y(0)=1和y′(0)=0的唯一解。因為正弦和余弦函數是線性無關的，它們在一起形成了V的基。這種定義正弦和余弦函數的方法本質上等價于使用歐拉公式。（參見線性微分方程）。很明顯這個微分方程不只用來定義正弦和余弦函數，還可用來證明正弦和余弦函數的三角恒等式。進一步的，觀察到正弦和余弦函數滿足意味著它們是二階算子的特征函數。正切函數是非線性微分方程滿足初始條件y(0)=0的唯一解。有一個非常有趣的形象證明，證明了正切函數滿足這個微分方程；參見Needham的《VisualComplexAnalysis》。利用函數方程定義三角函數在數學分析中，可以利用基于和差公式這樣的性質的函數方程來定義三角函數。例如，取用給定此種公式和畢達哥拉斯恒等式，可以證明只有兩個實函數滿足這些條件。即存在唯一的一對實函數sin和cos使得對于所有實數x和y，下列方程成立并滿足附加條件從其他函數方程開始的推導也是可能的，這種推導可以擴展到復數。作為例子，這個推導可以用來定義伽羅瓦域中的三角學。*****************************************************************************三角函數中有一些常用的特殊函數值。同角三角函數的基本關系式倒數關系:商的關系平方關系tanα?cotα=1tancotsin1+誘導公式sin-αcostancotsinsinsinsinsinsinsin（sin兩角和與差的三角函數公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtantan三角函數的降冪公式sincostan三角函數的和差化積公式sinα+cosβ=2sinconα+cosβ=2cossinα-sinβ=2sincosα-cosβ=-2sin三角函數的積化和差公式sinα?cosβ=cosα?cosβ=cosα?sinβ=sinα?sinβ=-二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinα?cosαtan2α=cos2α=三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα-4tan3α=cos3α=4半角的正弦、余弦和正切公式sincostan化asinα±bcosα為一個角的一個三角函數的形式（輔助角的三角函數的公式）a（其中φ角所在象限由a,b的符號確定φ的值由tanφ=ba萬能公式sincostan除六個基本函數，歷史上還有下面六個函數：正矢余矢半正矢半余矢外正割外余割函數英語簡寫關系正弦Sinesin余弦Cosinecos正切Tangenttan

（或tg）余切Cotangentcot

（或ctg、ctn）正割Secantsec余割Cosecantcsc

（或cosec）反三角函數由于三角函數屬于周期函數，而不是單射函數，所以嚴格來說并沒有反函數。因此要定義其反函數必須先限制三角函數的定義域，使得三角函數成為雙射函數。基本的反三角函數定義為：對于反三角函數，符號sin-1和cos-1經常用于arcsin和arccos。使用這種符號的時候，反函數可能跟三角函數的倒數混淆。使用“arc-”前綴的符號避免了這種混淆，盡管“arcsec”可能偶爾跟正如正弦和余弦那樣，反三角函數也可以根據無窮級數來定義。例如，這些函數也可以通過證明它們是其他函數的原函數來定義。例如反正弦函數，可以寫為如下積分：可以在反三角函數條目中找到類似的公式。使用復對數，可以把這些函數推廣到復數輻角上雙曲函數雙曲函數（hyperbolicfunction）可借助指數函數定義雙曲正弦雙曲余弦sinh雙曲正切雙曲余切tanh雙曲正割雙曲余割sech**********************************************************雙曲函數的一些性質：

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21.。雙曲函數與反雙曲函數的幾何意義在數學中，雙曲函數類似于常見的（也叫圓函數的）三角函數?；倦p曲函數是雙曲正弦“sinh”，雙曲余弦“cosh”，從它們導出雙曲正切“tanh”等。也類似于三角函數的推導。反函數是反雙曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此類推。因為雙曲函數出現(xiàn)于某些重要的線性微分方程的解中，譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程。雙曲函數接受實數值作為叫做雙曲角的自變量。在復分析中，它們簡單的是指數函數的有理函數，并因此是完整的。圖形幾何意義雙曲扇形COEA的面積雙曲函數反雙曲函數都是雙曲扇形COEA的面積，因此反雙曲函數又稱面積函數*******************************************************************************反雙曲函數（inversehyperbolicfunction）sinhcosh-1tanh-1coth-1sechcsch**************************************************************雙曲函數與三角函數的關系雙曲函數與三角函數有如下的關系:注：i為虛數單位i**************************************************************倍元公式半犜公式德·莫弗公式反雙曲函數基本公式恒等式與雙曲函數有關的恒等式如下:加法公式：二倍角公式：半角公式：雙曲函數的恒等式都在圓三角函數有相應的公式。Osborn'srule[1]指出：將圓三角函數恒等式中，圓函數轉成相應的雙曲函數，有兩個sinh的積時（包括）則轉換正負號，則可得到相應的雙曲函數恒等式。三倍角公式：sin3x=3sinx?4sin3xsinh3x=3sinhx+4sinh3x減法公式：cos(x?y)=cosxcosy+sinxsinycosh(x?y)=coshxcoshy?sinhxsinhy雙曲函數的導數雙曲函數也可以以泰勒級數展開(羅朗級數)(羅朗級數)其中是第n項伯努利數是第n項歐拉數雙曲函數的積分在數學中，三角函數（也叫做圓函數）是角的函數；它們在研究三角形和建模周期現(xiàn)象和許多其他應用中是很重要的。三角函數通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現(xiàn)代的定義把它們表達為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們擴展到任意正數和負數值，甚至是復數值。三角函數在數學中屬于初等函數里的超越函數的一類函數。它們本質上是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。由于三角函數具有周期性，所以并不具有單射函數意義上的反函數。三角函數在復數中有重要的應用，在物理學中也是常用的工具。三角函數：正弦,余弦,正切,正割,余割,余切雙曲函數與反雙曲函數的導數.正弦定理對于邊長為a,b和c而相應角為A,B和C的三角形，有：也可表示為：其中R是三角形的外接圓半徑。利薩茹曲線，一種三角基的函數形成的圖像。它可以通過把三角形分為兩個直角三角形并使用上述正弦的定義來證明。在這個定理中出現(xiàn)的公共