山東省濟(jì)寧市2021屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷(3月份)(一模)(含答案解析)

山東省濟(jì)寧市2021屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）（一模）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.同時滿足以下4個條件的集合記作兒：（1）所有元素都是正整數(shù)；（2）最小元素為1：（3）最大元

素為2014；（4）各個元素可以從小到大排成一個公差為k（keN*）的等差

數(shù)列.那么A33UA61中元素的個數(shù)是

A.96B.94C.92D.90

2.復(fù)數(shù)盤在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

tanx,x>0,

+2

3.10.若函數(shù)f(x+2)='Zg(-x),x<0,則,JJ"(—98)等于

11

A--2B-2C.-2D.2

4.若存在正數(shù)尢使2%（%-d）<1成立，則a的取值范圍是（）

A.(-8,+8)B.(-2,4-00)C.(0,+oo)D.(-1,+00)

5.在二項(xiàng)式的展開式中，含好的項(xiàng)的系數(shù)等于（）

A.8B.-8C.28D.-28

6.在樣本的頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他10個

小長方形的面積的和的右且樣本容量為200,則中間一組的頻數(shù)為（）

A.40B.32C.0.2D,0.25

7.已知丘，方為互相垂直的單位向量，若^=a-5，則cos（石七）=（）

A.一在B.0C.一在D.在

2223

8.設(shè)點(diǎn)P為雙線三—>06>0右支上動點(diǎn)，過點(diǎn)P向兩條漸近垂線，垂足分為A,B,若

點(diǎn)4B終在第一、第四內(nèi)則曲線離率e的取值圍（）

A.（1,當(dāng)B.（1,V2]C.善+8）D.[V2+oo）

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.對任意A,B=R,記4十B={x\xWAUB,x04CB},并稱A十B為集合A,B的對稱差.例如，

若4={1,2,3},B={2,3,4},則4十B={1,4},下列命題中，為真命題的是（）

A.若A,8勺/?且力必8=8,則力=0

B.若A,BcR且4十B=0,則4=B

C.若A,BcR且4十BU4,則4cB

D.存在A,BUR,使得力十B=CRA十CRB

10.筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具.筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距

今已有1000多年的歷史。如左下圖.假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為3米的筒車按逆

時針方向做每6分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運(yùn)動，筒車的軸心。距離水面BC的高度為1.5米，設(shè)筒

車上的某個盛水筒尸的初始位置為點(diǎn)。（水面與筒車右側(cè)的交點(diǎn)），從此處開始計(jì)時，下列結(jié)論正

確的是（）

AJ分鐘時，以射線OA為始邊，。尸為終邊的角為

JO

B.f分鐘時，該盛水筒距水面距離為sin《t-$+|米

C.1分鐘時該盛水筒距水面距離與3分鐘時該盛水筒距水面距離相等

D.1個小時內(nèi)有20分鐘該盛水筒距水面距離不小于3米

11.如圖，已知正四棱柱ABC。-&當(dāng)?shù)摹?的底面邊長為1,側(cè)棱長為2,點(diǎn)P,

。分別在半圓弧裔C,就4（均不含端點(diǎn)）上，且G，P，。，C在球0）上,

則（）

A.當(dāng)點(diǎn)尸在21c的中點(diǎn)處，三棱錐C]一PQC的體積為定值

B.當(dāng)點(diǎn)P在的中點(diǎn)處，過G，P,。三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面的形狀都是四邊形

C.球0的表面積的取值范圍為(4兀,8兀)

D.當(dāng)點(diǎn)。在京A的三等分點(diǎn)處，球。的表面積為(11一4g)兀

12.給出下面四個結(jié)論，其中正確的是()

A.角a=3是cos2a=的必要不充分條件

oz

B.命題”VxGR,x2-2x+1>0w的否定是'勺xeR,x2-2x+1<0v

C.方程log?%+x—3=0在區(qū)間(2,3)上有唯一一個零點(diǎn)

D.若奇函數(shù)/(無)滿足/(2+x)=-/(乃，且當(dāng)一1Wx<0時，/(x)=-x,貝”(2021)=1

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知tana=2,則cos(2a-])—.

付+X-1(x<0)

14.已知函數(shù)f(x)=」1.,、，給出如下四個命題：

|--x~2x(x>0)

①教礴在[通“墨刊上是減函數(shù)；②.我域的最大值是2；

③函數(shù)察=/，前有兩個零點(diǎn)；(4)/(x)<3后在R上恒成立.

其中正確的命題有一.(把正確的命題序號都填上).

2

15.已知圓C的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線x—y+l=0對稱，并且圓C與雙曲線會一必=i的漸近

線相切，則圓C的方程為.

16.已知四棱錐P-4BC0的底面為矩形，矩形的四個頂點(diǎn)A、B、C,力在球。的同一個最大截面圓

上，且球的表面狀為16兀，點(diǎn)尸在球面上，則四棱錐P-ABCD體積的最大值為

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知銳角2L4BC中，角A、B、C所對的邊分別為a,h,c,且>

(1)求角A的大?。?/p>

(2)求cos/?+cosC'的取值范圍.

18.已知等差數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為先,且a?=5,S7=77.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列｛bn｝滿足瓦=1,anbn+1+bn+1=nbn,求｛b”｝的前“項(xiàng)和與.

19.通過隨機(jī)詢句110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表:

男女總計(jì)

愛好4020

不愛好2030

總計(jì)

計(jì)算K2（R=扁倦磊麗）

問：大學(xué)生愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別是否有關(guān).

P(K2>fc)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

附表:

20.如圖，四棱錐P-4BCD,PAIT?ABCD,四邊形ABC￡>是直角

梯形，AD//BC,/.BAD=90°,BC=2AD,E為PB中點(diǎn)、.

(1)求證：AE〃平面PCD；

(2)求證：AE1BC.

21.設(shè)照西就，在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量題■=般警藤，向量豆=伽葭翼-禽，動點(diǎn)

豳鷺“威的軌跡為E.

（1）求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；

（2）已知懈=3,證明：存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡0恒有兩個交點(diǎn)A,

4

B,且腐鷺（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），并求出該圓的方程；

⑶己知愀=L設(shè)直線事與圓<R<2）相切于且事與軌跡E只有一個公共點(diǎn)名,

4

當(dāng)R為何值時，|41為|取得最大值?并求最大值.

22.E^n/(x)=ax2-2lnx,xe(0,e],其中e是自然對數(shù)的底.

(1)若/(久)在％=1處取得極值，求。的值；

(2)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)a>g(x)=-5+1吟存在與，x2G(0,e],使得If%)-5(x2)|<9成立，求a的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及集合元素的個數(shù)，判斷兩個集合并集中元素的個數(shù)要根據(jù)：

Card(AUB)=Card(A)+Card(B)-Card(AnB)其中Card(A)表示集合A中元素個數(shù)，屬于中檔

題，根據(jù)正整數(shù)集合人的定義可知43是首項(xiàng)為1，公差為33的等差數(shù)列，由此不難確定43中的元

素個數(shù)，同理可確定人61中的元素個數(shù)，而并集433U/161中元素個數(shù)是：433中的元素個數(shù)+人61中的

元素個數(shù)433n461中的元素個數(shù).

解：433={1,34,67,100,2014}

???4的最小元素為1,最大元素為2014

則%3中有(2014-1)-334-1=62個元素

同理41={1,62,123,184,2014}

則中有34個元素

433n41={12014}

其中元素有2個

A33U41的元素有62+34-2=94,

故選B.

2.答案：A

解析：解：復(fù)數(shù)w=湍瑞=：+3在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)?()位于第一象限.

故選：A.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案：D

解析:

tanx(x>0)7t

由f(x+2)=,得￡(一+2)=1,/(-98)=)

lg(-x)(x<0)4)八,」

jr

所以f(一+2)?〃—98)=l?2=2,故選D.

4

4.答案：D

解析：

本題重點(diǎn)考查學(xué)生對于函數(shù)模型的理解，屬于中檔題.

法一：不等式2?x—a)<l可變形為x-a<；-產(chǎn).在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出直線y=x-a與

FT,

y=2卜的圖像.

W

由題意，在(0,+8)上，直線有一部分在曲線的下方.

觀察可知，有-a<l,所以。>一1,

故答案選。項(xiàng).

f21*1

法二：不等式2%(%-a)<1.可變形為a>%-I—產(chǎn).

記=荔產(chǎn)0>0),易知當(dāng)x增大時，y=%與y=一工;產(chǎn)的函數(shù)值都增大，故g(x)為增

函數(shù)，

又因?yàn)間(0)=-1,所以g(x)e(-1,+8).由題意可知a>-1.

故答案選。項(xiàng).

5.答案：C

解析：解：項(xiàng)式(X-*書)8的展開式中,通項(xiàng)公式為4+1=q.x8~r-(-l)r-X~2=(-l)rCj'X^~'

令鋁=5,解得r=2,故含好的項(xiàng)的系數(shù)是叱=28,

故選：C.

在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的基指數(shù)等于5,求出r的值，即可求得含好的項(xiàng)的系數(shù).

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題.

6.答案：A

解析：解：設(shè)中間一個小長方形的面積為x,其他10個小長方形的面積之和為y,

則有：%=(y,x+y=1,

解得：x=0.2,

.?.中間一組的頻數(shù)=200x0.2=40.

故選：A.

由頻率分布直方圖分析可得“中間一個小長方形”對應(yīng)的頻率，再由頻率與頻數(shù)的關(guān)系得到中間一

組的頻數(shù).

本題是對頻率、頻數(shù)靈活運(yùn)用的考查，各小組頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總和，各小組頻率之和等于1.頻率、

頻數(shù)的關(guān)系：頻率=提力.

7.答案：A

解析：解：a,3為互相垂直的單位向量，若^=五一石,

/丁一、beb(a-b)ba-b21V2

則330=麗=罰=宜菽=-正2?

故選:A.

利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

8.答案：B

解析：解：雙曲線《一31。>0,8>())的漸近方程為

則有近線y=5的傾角不大于45,

又e>l,即有范圍為1,V2].

有率小于等于1即為1,

a

.b

y=±aX'

故選：

求出雙曲漸近線方程，意可得漸近線y=5傾斜角大于45。，即有斜率小于等于，為：W1運(yùn)用率公式

雙線的離率范圍，即可得到所求范圍.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)考查曲線的漸線方程運(yùn)用和率的法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔.

9.答案：ABD

解析：解：對于A選項(xiàng)，因?yàn)?所以B={x|x64uB,x￡4nB},所以力UB,且B中

的元素不能出現(xiàn)在4nB中，因此4=。，即選項(xiàng)A正確；

對于B選項(xiàng)，因?yàn)?十8=0,所以0={x|x64uB,x￡4nB},即4UB與4nB是相同的，所以

A=B,即選項(xiàng)B正確；

對于C選項(xiàng)，因?yàn)?十所以{x|x6AU8,x任力nB}=4,所以8U4即選項(xiàng)C錯誤；

對于。選項(xiàng)，設(shè)R=口,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,3,4},則4?F={1,4},CRA={4,5,

6},CRB={1,5,6},

所以CRA十CRB={1,4},因此A^B=CR4十CRB,即。正確.

故選：ABD.

理解集合的新定義，然后結(jié)合韋恩圖逐一判斷A、B、C選項(xiàng)；對于。選項(xiàng)，舉出特例，例如R={1,2,

3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,3,4},然后分別算出4十B和CR4十CRB,即可得解.

本題考查集合的新定義問題，理解新定義，并結(jié)合韋恩圖進(jìn)行思考是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生邏輯推

理能力和抽象能力，屬于中檔題.

10.答案：ACD

解析：

本題考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用，涉及弧度制的概念及應(yīng)用，任意角的三角函數(shù)，函數(shù)y=

力sin(a)x+s)的性質(zhì)，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬中檔題.

對于A,由題意及圖象可得，筒車轉(zhuǎn)動周期和轉(zhuǎn)速，結(jié)合弧度制的概念即可判定；對于8,由圖象

結(jié)合任意角的三角函數(shù)求解即可判定;對于C,分別計(jì)算1分鐘和3分鐘時的距離即可判定;對于Q,

解不等式：加1(；/一5+；結(jié)合04t460計(jì)算即可判定.

27r7T

解：對于A,由題意及圖象可得，筒車轉(zhuǎn)動周期為7=6,所以轉(zhuǎn)速為。.■,

1?5

又由題意可得盛水筒P的初始位置為點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為一:，半徑為3,所以NAOO:,

26

f分鐘時，水筒P轉(zhuǎn)了「，所以以射線0A為始邊，0P為終邊的角為:故4正確；

對于8,f分鐘時，以射線0A為始邊，0P為終邊的角為：,，

所以該盛水筒距0A的距離為:，米，

所以該盛水筒距水面的距離為:，*）+：米，故B錯誤；

對于C,由選項(xiàng)B可得，1分鐘時該盛水筒距水面距離為3疝|（：-*）+；3siu；+：：，米，

3分鐘時該盛水筒距水面距離為33嗚乂3-看）+1=3應(yīng)1著+[=[+[=3米，

所以1分鐘時該盛水筒距水面距離與3分鐘時該盛水筒距水面距離相等，故C正確；

對于。，由3sin（—（：）+，〉》：'，可得sin（一；J>，>'

解得2A,TT+—《《2A-TT+.kEZ,即6/c+14t46k+3,/c6Z,

636o

因?yàn)?<t<60,所以0</c<9,/cez,

所以共有10x（3-1）=20分鐘，故。正確.

故選ACD.

11.答案：AD

解析：解：如圖1所以，取CG的中點(diǎn)E,0名的中點(diǎn)F,

的中點(diǎn)G,

根據(jù)題意，球心0在線段EF上,設(shè)/FGQ=a,a&[0,5,

則由余弦定理可得FQ2=2—2cosa,

設(shè)OE=X,則OC2=x2+1,

所以0Q2=OF2+FQ2=(1—%)2+2—2cosa,

因?yàn)?Q2=0C2=R2（R為球。的半徑）,

所以x=1—cosaG[0.1).

所以R2=OC2=2

故球。的表面積為S=4TTR2e[4兀,8兀），故選項(xiàng)C錯誤：

當(dāng)點(diǎn)Q在才14的三等分點(diǎn)處，。=也則x=1—cosa=1—冬

所以辟=oc2=（1-y）2+1=^-V3，

故球0的表面積S=4nR2=4兀(m-V3)=(11-

4V3)7T，故選項(xiàng)。正確；

當(dāng)點(diǎn)。在弧E4上時，連結(jié)AF,

在平面4。。遇1中，過點(diǎn)Q作AF的平行線,與線段。5,

AO分別交于M,N,

延長GP與8c的相交，連結(jié)交點(diǎn)與點(diǎn)N交AB于點(diǎn)S,

此時當(dāng)點(diǎn)P在的中點(diǎn)處，過C「P,Q三點(diǎn)的平面截

正四棱柱所得的截面為五邊形GMNSP,故選項(xiàng)B錯誤;

當(dāng)戶在乙C的中點(diǎn)處，三棱錐Ci—PQC的體積為

%-PCJ=Ki-PCCj=1><ix2x2xl=i,為定值，故

選項(xiàng)4正確.圖2

故選：AD.

取CQ的中點(diǎn)E,DO1的中點(diǎn)F,441的中點(diǎn)G,則球心。在線段上，設(shè)NFGQ=a,aC[0,5，

設(shè)OE=x,利用邊角關(guān)系結(jié)合cosa的有界性進(jìn)行分析求解，即可判斷選項(xiàng)C,點(diǎn)Q在414的三等分

點(diǎn)處，a=g結(jié)合選項(xiàng)C中的結(jié)論，即可判斷選項(xiàng)。，點(diǎn)。在弧FA上時，判斷其截面是五邊形,

即可判斷選項(xiàng)B,利用等體積法即可判斷選項(xiàng)4.

本題考查了空間幾何體的外接球，直棱柱的截面圖形，幾何體的條件等，考查了空間想象能力與邏

輯思維能力，屬于中檔題.

12.答案：BC

解析：解：因?yàn)閏os2a=--9所以2a=§+2/CTT或2a=-4-2/CTT,kWZ,

所以。=三+/tv或a=亨+k/r,fc6Z,

所以a=m不能推出cos2a=-cos2a=—工也不能推出a=7,

即角a=?是cos2a=的既不充分又不必要條件，故選項(xiàng)A不正確；

oZ

命題“VxeR,x2-2x+1>0"的否定是"mxeR,X2-2X+1<Q",故選項(xiàng)B正確：

令/(x)=log3x+x-3,f(2)=log32-l<0,f(3)=1>0,

所以f(x)的零點(diǎn)在(2,3)上，而f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以方程log3^+x-3=0在區(qū)間(2,3)上有唯一一個零點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確;

因?yàn)閒(2+x)=—/(x),所以f(4+x)=—/(x+2)=f(x),即y=f(x)的周期為4,

所以f(2021)=f(4x505+1)=/(l),

又因函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以/(一乃=一/Q),即-1)=一/(一1)=一1,故選項(xiàng)。不正確.

故選：BC.

根據(jù)cos2a=-1求出a的范圍，然后根據(jù)充分條件、必要條件的定義可判斷選項(xiàng)A；直接根據(jù)含量

詞命題的否定的定義可判斷選項(xiàng)8；令/(x)=log3%+x—3,判定f(2)、f(3)的符號，根據(jù)零點(diǎn)的

存在性定理可判定選項(xiàng)C；先求出函數(shù)的周期，然后根據(jù)奇偶性可求出所求.

本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，以及命題的否定、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了

分析問題的能力和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

13.答案：I

解析：解:已知tcma=2,則cos(2a—])=sin2a=2sinacosa2tana

sin2a+cos2atan2a+l4+1

故答案為：g.

由題意利用利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化簡所給的式子，可得結(jié)果.

本題主要考查利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，進(jìn)行化簡三角函數(shù)式，屬于

基礎(chǔ)題.

14.答案：①③④

*11■■■

解析：試題分析：冢電I?時算珂=-f？小舐二.賈加減=一’―普鼠工T隹?樸廉為那同,《：心函數(shù)

,魏建是減函數(shù)，極大值,］卜圓=：JS陸顧，當(dāng)如:解時我堿=渡，宏是增函數(shù)，v/tej=e,

所以函數(shù)解=踴?礴有兩個零點(diǎn)，最大值為:辱

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性零點(diǎn)最值等性質(zhì)

點(diǎn)評：分段函數(shù)判定函數(shù)性質(zhì)要在兩段內(nèi)分別求其單調(diào)區(qū)間，最值等性質(zhì)，而后各段結(jié)合圖像比較

得出定義域下的各項(xiàng)性質(zhì)

15.答案：x2+(y—2)2=3

解析：

本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，雙曲線的性質(zhì)，圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于中檔題.

根據(jù)圓C的圓心與點(diǎn)MQ1)關(guān)于直線x-y+1=0對稱，得到圓心坐標(biāo)，然后根據(jù)圓C與雙曲線?一

y2=1的漸近線相切，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離求出半徑即可求解.

因?yàn)閳AC的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線x—y+1=0對稱,

設(shè)圓心坐標(biāo)為(x,y),

(小一生+1=0

則有這二，解得｛；"，

U-i

所以圓C的圓心為(0,2),

又雙曲線9—y2=1的漸近線方程為言士y=0,與圓相切,

所以圓的半徑為曾=遮，

x/3+l

所以圓C的方程為/4-(y-2)2=3.

故答案為M+(y-2)2=3.

16.答案：y

解析：解：因?yàn)榍騉的表面積是16兀，

所以S=4兀/?2=16兀，解得R=2.

如圖，四棱錐P-ABCD底面為矩形且矩形的四個頂點(diǎn)A,B,C,。在球

。的同一個大圓上，

設(shè)矩形的長寬為x,y,

則/+>2=QR)222xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時上式取等號，

即底面為正方形時，底面面積最大,

此時S正方形48C。=2R2=8.點(diǎn)尸在球面上,

當(dāng)P。1底面ABC。時，PO=R,即儲皿=心

則四棱錐P-ABCD體積的最大值為當(dāng).

故答案為:印

由球。的表面積是16兀，求出R=2.四棱錐P-4BCD底面為矩形且矩形的四個頂點(diǎn)A,B,C,。在

球。的同一個大圓上，推導(dǎo)出底面為正方形時，底面面積最大，由此能求出四棱錐P-4BCC體積的

最大值.

本題考查四棱錐的體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,

考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

17.答案：解：（l）tanA=

ir4-C2-2/M,-（xxs-4

7T

/.siit4=

27r-/i6

⑵MKZ?+coesC=cosB+cots—cosD+I--rxxsZ?+-sinZ?

?A7

二-cosB+彳-sii田=sin(/?+器)

-B+C=T>

???B+M7T27r

6

?,■siu(B+l)e

，cosB+cos?！辍?1.

解析：本題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，正弦函數(shù)的定義域和值域.

(1)由余弦定理表示出戶+)_<?=2及：《由1,代入tanA==個，即可得到sinA的值,然后

tr4-1r—a-

根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的大?。?/p>

(2)由三角形為銳角三角形且由(1)得到4的度數(shù)可知B+C的度數(shù)，利用C表示出B并求出8的范圍，

代入所求的式子中，利用兩角差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，再利用兩角和的正

弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)為+；),然后根據(jù)求出的B的范圍

求出3+：的范圍，根據(jù)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象即可求出的范圍即為cosB+

cosC的取值范圍.

18.答案：解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛即｝的首項(xiàng)為由，公差為4

皿=5,S7=77,得篇曷=77,解得｛洋

-=2+3(n-1)=3n—1；

(2)由即垢+1+bn+1=nbn,得3nb“+i=nbn,

即乎=g

3

又瓦=1,???｛%｝是以1為首項(xiàng)，以!為公比的等比數(shù)列，

1x(1一為

則｛勾｝的前"項(xiàng)和7；T

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列｛即｝的首項(xiàng)為由,公差為d,由已知列方程組求解首項(xiàng)與公差，則等差數(shù)列的

通項(xiàng)公式可求；

(2)把(1)中求得的通項(xiàng)公式代入即為+1+⑥+1=71垢，可得數(shù)列｛b｝是公比為9的等比數(shù)列，再由等

比數(shù)列的前八項(xiàng)和公式求解｛砥｝的前n項(xiàng)和7；.

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，

是中檔題.

19.答案：解：2X2列聯(lián)表

男女總計(jì)

愛好402060

不愛好203050

總計(jì)6050110

110x(40x30-20x20)2?‘8

60x50x60x50

???6.635<7.8<10.828

答：有99%以上把握認(rèn)為愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān).

解析：代入公式計(jì)算上的值，和臨界值表比對后即可得到答案.

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用列聯(lián)表正確的計(jì)算出觀測值，屬于中檔題.

20.答案：證明：(1)如圖，取PC的中點(diǎn)凡連接EF,DF,

?:E為PB中氤，：.EF//BC,S.EF=^BC,

又?：AD“BC,BC=2AD,???AD=EF,AD//EF,

???4EFC為平行四邊形，即AE〃。凡

又AEC平面PCD,DFu平面PCD,

所以AE〃平面PCD.

(2)PA_L平面ABCD,BCu平面ABCD,PA1BC,

又?：AD1[BC,/.BAD=90°,BCLAB,

"PAryAB=A,ABu平面PAB,BC平面PAB,

BC_L平面PAB,

又u平面PAB,AELBC.

解析：(1)取PC的中點(diǎn)凡證出4E〃。口再利用線面平行的判定定理即可證出.

(2)利用線面垂直的判定定理可證出BC，平面PAB,再根據(jù)線面垂直的定義即可證出.

本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，要證線面平行，需先證線線平行；要證異

面直線垂直，可先證線面垂直，屬于基礎(chǔ)題.

21.答案：(1)修請也解=：1|當(dāng)爪=0時，方程表示兩直線，方程為理=m;當(dāng)嬲=工時，方程表示的

是圓，當(dāng)嬲聞礴且嬲時，方程表示的是橢圓;(2)存在圓/也，=3滿足要求(3)當(dāng)

密=理到焦期時|公當(dāng)|取得最大值，最大值為1.

解析：試題分析：⑴因?yàn)槁┕と?，篙二翻題力普如國二艇啰一郭

所以題■居=嬲赭書，一J=(?j!，即瞰K產(chǎn)優(yōu)相=R-

當(dāng)m=0時，方程表示兩直線，方程為承=韭工

當(dāng)嬲=：1時，方程表示的是圓

當(dāng)瞰:海瞰且懈.孝工時，方程表示的是橢圓;

(2),當(dāng)麻1=3時，軌跡E的方程為直出/=＞設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為展=假端蕾，解方程

4碟

組』常曾得婷升巡防r=耳，即@開4驚貨產(chǎn)昔霸躲滯喈一&=勵，

要使切線與軌跡E恒有兩個交點(diǎn)A,B,

喈-4衛(wèi)?-碑廬=蝶-4好-可

要使懣l'±.福:，需使磁藥普匍蚓=蒯，即

:妙“：1*初始一：U哪廣

所以：請一碉F-硼=新即:球=可低甘出4且神-；國爛#：1，即理浜普球/:短標(biāo)開售恒成立?

所以又因?yàn)橹本€解=融:用能為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，

所以圓的半徑為軍=,忖，》群:據(jù)#戲比；%所求的圓為一北，^土

而浜寸=箱=不廣=岳與

當(dāng)切線的斜率不存在時，切線為需=立|?,與J#=：l交于點(diǎn)色醫(yī)必椅或

卜之、氐4之腐也滿足懿!±.鶴.

綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓/此，=：,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A,B,

5

且演1透；

（3）當(dāng)硼時，軌跡E的方程為［拈,=『設(shè)直線的方程為解=融叫魯，因?yàn)橹本€卸與圓C:

W

謂開/=修（1</?<2）相切于公,由（2）知盛=仁,，即柒=版■，①，

,VuV

因?yàn)樾夼c軌跡E只有一個公共點(diǎn)名,

由（2）知』或CJ_得d#趣限:皆配=4，

I鼻"驢=a

即事1出城驚》F?蘸煎升*一4=敬有唯一解

則△=籟>條.一為篦工斗?辨.整贄一砥=踴斛皆一薩普制=1@,即《滔一??=a②

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