應力強度因子

斷裂與損傷力學應力強度因子數值計算方法綜述2023年6月應力強度因子求解方法概述含有裂紋的工程結構的斷裂力學分析一直是一個重要問題，在斷裂力學理論中應力強度因子是線彈性斷裂力學中最重要的參量。它是由構件的尺寸、形狀和所受的載荷形式而確定。由于裂尖應力場強度取決于應力強度因子，因此在計算各種構件或試件的應力強度因子是線彈性斷裂力學的一項重要任務。由于應力強度因子在裂紋體分析中的中心地位，它的求解自斷裂力學問世以來就受到了高度的重視。迄今為止，已經產生了眾多的理論和致值解法。70年代中期以前的有關工作在文獻中已有相當全面的總結，近20年來，求解的方法又得剄了明顯的開展與完善。下文將穿透裂紋問題(二維)與局部穿透裂紋問題〔三維〕分開討論。二維裂紋問題2.1復變函數法由Muskhelishvili的復變函數法，應力函數為：平面應變情況下的應力與位移為：可以證明，在裂紋尖端區(qū)域：由上式可見。由于k僅與有關，因此只需確定一個解析函數，就能求得kI，這一方法一般只能用來解無限體裂紋問題。對于含孔邊裂紋的無限大板，通?？衫脧妥兒瘮档谋＝怯成湓韥砗喕忸}過程。如采用復變〔解析〕變分方法，那么可求解具有復雜幾何形狀的含裂紋有限大板的應力強度因子。2.2積分方程法彈性邊值問題可以變?yōu)榍蠼庖韵滦问降姆e分方程：由積分方程解出沿裂紋的坐標的函數，便能直接求出應力強度因子k。這個積分方程在有些特殊情況下可用普通的Gauss-Chebyshellr積分或它的修正形式來求解。2.3邊界配置法邊界配置法是求解各類邊值問題的一種半解析半數值方法。用應力函數法求解二維裂紋問題，關鍵是選擇適宜的滿足全部邊界條件的雙調和應力函數，而對有限體或裂紋分布較復雜的情況，封閉形式的應力函數是很難選取的。邊界配置法克服了這一困難，它的根本思路是選擇以級數展開形式的函數作為滿足雙調和方程和裂紋面邊界條件的應力函數，通過邊界條件來確定含有限項的級數中的待定系數。這些待定系數可以通過求解滿足邊界上的應力，載葡或位移的一組線性代數方程而確定。求解中可以在指定點上精確地滿足，也可以在最小均方差的意義上滿足邊界條件。這樣得到的級致解一般能精確滿足域內的給定條件，并且近似地滿足其余邊界上的條件。在裂紋問題的邊界配置法中有兩種根本的應力函數可供選擇，即Williams的應力函數和Muskhelishyili的復變應力函數，從開展過程看，前者一般用在邊緣裂紋問題中，后者可用于內埋裂紋與邊緣裂紋的情況。邊界配置法的求解精度較高。它的缺乏之處是：對于不同類型的裂紋問題，應力函數必須改變。而建立這些新的應力函數的工作量將是很大的，對于較復雜的幾何與載荷情況，應力函數所應滿足的邊界條件很難確定，另外，解的收斂性還沒有得到嚴格的證明。2.4邊界力法邊界力法通過利用無限體中有限數量的集中力和集中力矩的疊加來求解邊值問題。這種解法以無限體中集中力和集中力矩的彈性解為根本解，對于不含裂紋的板，根本解取Muskhelishyili的解，對于含裂紋的板，那么取Erdogan的解作為根本解。由于Erdogan的解精確地滿足了裂紋面應力為零的條件，所以裂紋面就不再需要作為邊界的一一局部加以考慮。因為根本解滿足了物體內部的所有彈性力學方程，余下所需滿足的條件只是邊界條件。這些邊界條件那么是通過在相應于真實裂紋體的假想邊界上施加一系列的集中力和集中力矩來滿足的，先把假想的邊界離散化為一組線段，在每一段的中心，在離開假想邊界處加上一對集中力和力矩，這些力和力矩的值可通過近似地滿足邊界條件得以確定。與其他數值方法相比，邊界力法有其明顯的優(yōu)點。由于這一方法已精確地滿足了裂紋面上的邊界條件，所以它不需要像邊界元法那樣把裂紋面視為邊界的一局部。另外，它也克服了邊界配位法中所需要的對每一類裂紋問題都要建立新的應力函數的缺點。這種解法只要較小的自由度就能到達相當高的精度。因此它在求解幾何形體復雜的裂紋向題中有著明顯的優(yōu)點，但在處理復雜載荷的能力方面，那么遠非如權函數法那樣靈活。2.5權函數法權函數法是一種求解在任意受載條件下裂紋應力強度因子的高效方法。這種解法的高效性在于它把影響應力強度因子的兩個因素，即載荷與幾何，作了變量別離。權函數僅反映了裂紋體的幾何特性，它可以根據一種受載情況下的解確定。一經導出，它就能被用來不受限制地求解任意加載條件下的k值，求解中只需作一個積分運算：式中m(a,x)為權函數，為無裂紋體中假想裂紋處的應力分布。除了靈活通用，簡單經濟等特點外，這一方法所得的結果有高的可靠性。2.6有限元法有限元法在斷裂力學中有著非常廣泛的應用，它不受解析方法常遇到的因裂紋體幾何或載荷的復雜性的限制。這種方法的根本思路是用一系列離散化的，區(qū)段連續(xù)的場變量來對任何連續(xù)的場交量作逼近。這些區(qū)段稱為單元，單元間由結點互相連結。因為單元內的場變量的變化規(guī)律是未知的，所以要用某些近似函數來描述它們在單元內的行為。這些近似函數稱為插值函數。求解以有限矩陣形式出現的場的方程，便能得到整個系統的單元結點的場變量值，進而確定單元內的變量值，關于這一方法本身的理論可另見有關專著，這里只對利用有限元法求解裂紋體應力強度因子作一簡單介紹。除了極少數特殊設計的專用程序能在有限元輸出結果中直接給出應力強度因子k以外，一般的有限元計算結果都需要再通過一定的中間運算才能最終確定k值，目前在文獻中用有限元法求解應力強度因子大致可以分成直接法和間接法兩種，直接法是指由有限元計算輸出的應力或位移求k值。間接法那么是通過有限元求出某些中間量，進而導出k值。2.6.1直接法常用的直接法一般有以下三種：(l)采用非奇異元的位移法有限元計算所得的結點位移，通過近裂紋尖端區(qū)位移與應力強度因子之間的關系，求得一組應力強度因子值。一般建議用由裂尖起始的，沿為常數(通常取=180)的射線上的結點位移。在裂紋面上取假設干結點的位移，作出k-r/a的關系圖。在r/a=0的小區(qū)域內，由于采用常規(guī)單元體表達不了裂紋尖端的奇異性，可能會出現k的異常變化，為了提高求解精度，可將k-r/a的直線段外延到與縱軸k的交點，交點的值即為所求的k。(2)采用非奇異元的應力法與位移法類似，可利用裂尖區(qū)應力場與應力強度因子的關系求k值。以有限元結點或高斯點的應力值代入上式。并采用與位移法類似的由k-r/a直線段外推到，r/a=0，便能確定應力強度因子值。對于基于位移假設的有限元解法，由干位移的計算精度比應力的精度高，而且裂尖區(qū)應力的奇異性在常規(guī)元中又不能表達，所以通常都是由位移解來導出應力強度因子值。(3)裂尖奇異元用常規(guī)的非奇異元來求解裂紋問題的一大困難是需要用很細的網格，即大量的自由度，才能使應力強度因子解到達一定的精度水平，為了壓縮計算工作量，開展了各類具有奇異性的裂尖奇異元，這些奇異元自身所具有的應力與應變奇異性使得用較小的自由度便能達剄一定的求解精度，然而這些奇異元在某些方面也有著缺乏之處，如：缺乏剛性位移，與常規(guī)元不易協調，在通用的結構分析有限元程序中并不具備，因此應用起來較麻煩等等。后來出現的一種新的奇異元那么克服了以上的缺乏，這種新的奇異元就是由廣為使用的二次等參元退化而成的四分之一結點奇異元。四分之一結點的四邊形單元的這種奇異性只在單元的兩個側邊上才存在。而在單元內部，任一條自裂尖起始的射線上奇異性并不存在。然而，如果把四邊形的一條邊壓縮成位于裂尖的一個點，并把兩側邊的中結點向裂尖移到四分之一邊長的位置，那么沿自裂尖出發(fā)的任一條射線，這種經畸變后的裂失單元通常稱為畸變的〔或退化的〕四分之一結點奇異元。由于一般的有限元程序中都含有8結點二次等參元〔三維那么為20結點六面體等參元〕，所以采用這種四分之一結點奇異元能夠在一般的有限元程序中實現，且不需對程序作任何修改。所需要做的只是在輸入文件中寫進畸變后單元的結點坐標〔而其他類型的裂尖奇異元法那么需要有限元程序本身就具有這些裂尖奇異元，這就大大地限制了它們的使用范圍〕。另外，這種四分之一結點奇異元不存在與周圍的非奇異元不相容的問蹲。由于這些明顯的優(yōu)點，這種裂尖元得到了非常廣泛的應用。2.6.2間接法應用直接法遇到的一個主要問題是：由于裂紋尖端的奇異性，應力在r=0時以。方式趨于無窮。為了保證解的精度，在用常規(guī)非奇異元時需要把網格劃得很細，從而導致自由度和計算量的增加，解決這一問題除了上面已討論的奇異元外，還可以采用各種間接法，如能量釋放率，J積分，剛度導數等方法間接地導出應力強度因子。(1)能量釋放率法線彈性斷裂力學的理論已證明，應力強度因子k與裂紋體能量釋放率G之間有如下關系。計算G的一個簡單方法是進行兩次有限元計算，在一個計算中取裂紋長度為a，在另一個計算中釋放緊靠裂紋尖端的一個結點，用公式計算應變能。取兩個計算之差值，可得能量釋放率,由此便能得到k值。這種方法的優(yōu)點是對網格細化的程度要求較低。(2)J積分法J積分為應力強度因子的求解提供了另一種數值方法，積分是沿著包圍裂紋尖端的某路徑的一個線積分，其定義是式中w為應變能密度，T為積分路徑的外法線方向的面力矢量，U為位移矢量，ds是沿積分路徑的弧長。Rice已經證明了J積分的路徑無關性。這一特性為J積分的計算帶來很大方便。由于積分路徑可選在近裂尖區(qū)以外，因而就降低了對裂尖區(qū)單元及其密度的要求。在線彈性條件下，J積分與應變能釋放率G是等同的，因此由J積分可得應力強度因子k。為了計算J積分，必須有一個根據其定義式建立的一個專用的計算機后處理程序,并要有一個描述數值積分路徑的子程序。如果在計算機中采用的是二次等參元，那么最好選擇通過單元Gauss點〔而不是結點〕的路徑。在大多數情況下，用2x2的積分比用高階積分所得的結果會更好些。目前，J積分的原理與應用范圍已經分別得到開展與擴大，可以用于變厚度板、非均勻溫度場以及有體力的情況并可用于裂尖應力場具有非負二分之一奇異性的情況。三維裂紋問題工程實際中的裂紋一般都是以非穿透厚度裂紋的形式出現的。即使對于穿透裂紋來說，在絕大多數情況下，它在起始階段也是非穿透裂紋。為分析方便，這類非穿透裂紋一般用橢圓內埋裂紋，半橢圓外表裂紋和四分之一橢圓角裂紋來代表。三維裂紋問題與二維的顯著區(qū)別是。應力強度因子沿著裂紋前緣變化，即k是參量角的函數。在三維裂紋前緣與物體外表的交點附近，應力具有非-l/2的奇異性，因此，嚴格說來，建立在-l/2奇異性根底上的k是沒有意義的。然而已經發(fā)現，這種現象屬一種很薄的邊界層效應。對工程應用而言，一般可采用將內部的k值外延的方法解決。由于問題的復雜性，三維裂紋問題的精確解還只限于無限體中內埋橢圓裂紋的情況。對于工程中最常見的外表裂紋和角裂絞問題，那么必須采用各類近似解法，這些解法主要有：有限元法，邊界積分方程〔邊界元〕法，混合法，解析變分法，權函數法，能量法，局部一整體法等。3.1有限元法與二維問題類似，三維裂紋分析的有限元法按采用的單元類型也可以分為常規(guī)元與奇異元兩類。3.1.1各種單元(l)常規(guī)元用常規(guī)元解三維裂紋問題時，由于這種單元不具有奇異性，因此假設基于位移或應力直接求解三維應力強度因子，那么必須極大地增加自由度才能到達一定的精度。Hall等人提出了一種三維的“宏單元〞(macroelement)方法。這種方法首先把裂紋體分割為兩個或多個由20結點等參元組成的子結構，用一個簡單的20結點單元來代表裂紋所在的區(qū)域。然后再把這個含裂紋的區(qū)域模擬為一個宏單元。這個宏單元在裂紋前緣附近區(qū)域內有高密度的結點，并且與相鄰的標準20結點等參元相容。這種方法能適用于任意形狀的三維裂紋體。(2)奇異元為了更準確地描述裂紋前緣的應力奇異性，開展了幾種特殊的單元。這些單元內的應力呈奇異性，因而將使三維裂紋有限元分析所需的自由度明顯降低。Traccy提出了一種6結點的五邊形奇異元，這種單元把裂紋前緣分割成假設干線性區(qū)段，對于對稱的三維裂紋，通常把裂紋前緣分割成8個奇異元。在裂紋體的其余局部，那么利用8結點六面體等參元。Stern和Becker，Blackburn和Hellen提出了6結點〔二維〕和15結點的奇異元。這種15結點的五邊形單元側面為曲線形，它有6個角結點和9個中間結點，因為單元的側面可為曲線，所以可用拋物線弧段近似地代表三維裂紋的前緣。這類奇異元與標準的20結點等參元是相容的。Henshell和Shaw對二維問題提出的四分之一結點奇異元可以方便地推廣到三維裂紋的有限元分析中。對于三維問題，把20結點的六面體等參元靠裂紋前緣兩側邊的中間結點向裂尖移動到四分之一邊長處，即可實現沿側邊的奇異性。與二維問題類似，如果將六面體的一個側面壓縮為一條與裂紋前緣重合的曲線，那么能在整個單元體內實現奇異性。這種退化的〔畸變的〕四分之一結點奇異元為五邊形，有15個結點。與其他類型的奇異元相比，這種由20結點等參元退化而成的奇異元具有更大的吸引力，因為它很容易在許多通用的有限元程序中實現，無需對程序作任何修改。由于這一獨特的優(yōu)越性，這種奇異元已為研究者們廣泛應用。需要指出的一點是，在將20結點退化等參元用于三維裂紋分析時，如果單元的長細比不適宜，且前緣曲率半徑較小時，那么存在著雅可比為負值的危險性，從而導致解的誤差。但這個問題是可以防止的，其方法是：使四分之一結點作微小的移動〔盡量靠近四分之一位置，但又不是準確地在四分之一處〕。另外，也可以令與裂紋前緣相對的那一個面變成曲面，此時用四分之一結點奇異元就不會產生上述問題。。(3)雜交元除了以上介紹的幾類單元以外，還有兩類雜交奇異元：應力雜交元和位移雜交元，這些奇異元的優(yōu)點是：應力強度因子解是作為有限元解的一局部直接得到的。應力雜交元的應力奇異性是由應力強度因子k和近裂尖區(qū)的二維應力場解來表達的。其余的應力項那么是滿足平衡條件和裂紋面載荷為零的簡單多項式，并且，沿著單元邊界的位移設計成與常規(guī)單元相容.在應變雜交元中，單元內的應力場的奇異性是由應力強度因子k和近裂尖區(qū)的位移解來表達的，并且在單元的邊界上的位移與相鄰的常規(guī)單元相容。這些奇異元的剛度矩陣是用修正的變分原理導出的。3.2由有限元解導出應力強度因子的方法用有限元法求解裂紋問題，除了某些特殊建立的單元外，一般都不能直接解出應力強度因子，而需要由有限元計算的輸出結果作進一步的推導才能最終確定k值。通常用的方法有。裂紋張開位移法，力法，虛裂紋擴展法，虛裂紋閉合法，等效區(qū)城積分法等。(l)位移法由裂紋張開位移推出應力強度因子的方法在上面的二維問題中已作過介紹。這種方法可以直接推廣到三維裂紋的有限元計算中。在應用于三維問題時遇到的一個未定因素是必須對裂紋尖端的應力狀態(tài)〔平面應力盛平面應變〕作出假設，二者在應力強度因子上的差異為，秒為泊松比，在一般情況下可取v=0.3。這時，平面應變的結果將比平面應力情況高出9%。許多研究者的工作說明，沿裂紋前緣絕大局部范圍為平面應變狀態(tài)，平面應力狀態(tài)只在緊靠自由外表的一個很小的區(qū)域內存在。結點力法結點力法利用裂紋邊緣前方的正應力有限元計算結果來導出應力強度因子。與位移法相比，這種方法不需要對各點的應力狀態(tài)出假設，將半橢圓裂紋用一系列的楔形單元作分割。為了計算應力強度因子，需要知道沿著與裂紋前緣正交的雙曲線〔虛線〕的結點力。把由有限元分析所得的沿兩楔元邊界上〔參量角〕結點力相加，可求出給定R值時的Fr，取一系列不同的R，那么能得到相應的Fr，。根據這些F，求