初中數(shù)學(xué)-第21課時(shí)　相似與位似

第21課時(shí)相似與位似第四單元三角形考點(diǎn)一比例的基本性質(zhì)考點(diǎn)聚焦如果a∶b=c∶d,那么ad=bc.反過(guò)來(lái),如果ad=bc(b≠0,d≠0),那么a∶b=c∶d.線段的比是指線段長(zhǎng)度的比比例尺比例尺=圖上距離∶實(shí)際距離成比例線段對(duì)于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等,即①

,那么,這四條線段叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段

黃金分割

在線段AB上,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC),如果AC=AB,那么稱(chēng)線段AB被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比,黃金比約為②

平行線分線段成比例

兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成③

考點(diǎn)二成比例的線段a:b=c:d0.618比例圖形的相似形狀④

的圖形稱(chēng)為相似圖形

相似多邊形定義

如果兩個(gè)多邊形滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)角⑤

,對(duì)應(yīng)邊⑥

,那么這兩個(gè)多邊形相似

相似比相似多邊形⑦

的比稱(chēng)為相似比

相似三角形的定義

兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)線段成比例,則這兩個(gè)三角形相似.當(dāng)相似比為⑧

時(shí),兩個(gè)三角形全等

考點(diǎn)三相似圖形的有關(guān)概念相同相等成比例對(duì)應(yīng)邊1判定定理1

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形⑨

判定定理2

如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的⑩

相等,那么這兩個(gè)三角形相似

判定定理3

如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的?

相等,那么這兩個(gè)三角形相似

判定定理4如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)?

,那么這兩個(gè)三角形相似

拓展直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似考點(diǎn)四相似三角形的判定相似比夾角1.相似三角形的判定方法相等2.相似三角形的基本圖形(1)常見(jiàn)的幾種基本圖形:①如圖21-1,稱(chēng)為“平行線型”的相似三角形.(有“A字型”與“8字型”圖)圖21-1②如圖21-2,其中∠1=∠2,則△ADE∽△ABC,稱(chēng)為“斜交型”的相似三角形.(有“反A共角型”“反A共角共邊型”“蝶型”)③如圖21-3,稱(chēng)為“垂直型”.(有“雙垂直共角型”“雙垂直共角共邊型”“三垂直型”)圖21-2圖21-3④如圖21-4,∠1=∠2,∠B=∠D,則△ADE∽△ABC,稱(chēng)為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形.圖21-4(2)幾種基本圖形的具體應(yīng)用:①若DE∥BC(A字型或8字型),則△ADE∽△ABC.②若CD為Rt△ABC斜邊上的高(雙直角圖形),則Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD且AC2=AD·AB,CD2=AD·BD,BC2=BD·AB.圖21-5圖21-6③滿(mǎn)足AC2=AD·AB或∠ACD=∠B或∠ACB=∠ADC都可判定△ADC∽△ACB.圖21-7圖21-8考點(diǎn)五相似三角形及相似多邊形的性質(zhì)相似三角形(1)周長(zhǎng)的比等于?

(2)面積的比等于相似比的?

(3)對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線的比等于?

相似多邊形(1)周長(zhǎng)的比等于?

(2)面積的比等于相似比的?

相似比平方相似比相似比平方位似圖形的定義

兩個(gè)多邊形不僅相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)間連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行(或在同一條直線上),像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似?

基本圖形位似與相似的關(guān)系

位似是一種特殊的相似,構(gòu)成位似的兩個(gè)圖形不僅相似,而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行或在一條直線上考點(diǎn)六位似中心位似圖形的性質(zhì)(1)位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離的比等于?

;

(2)位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線或延長(zhǎng)線相交于?

點(diǎn);

(3)位似圖形對(duì)應(yīng)邊平行或在同一條直線上;(4)位似圖形對(duì)應(yīng)角相等以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的位似變換

在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于?

位似作圖(1)確定位似中心O;(2)連接圖形各頂點(diǎn)與位似中心O的線段(或延長(zhǎng)線);(3)按照相似比取點(diǎn);(4)順次連接各點(diǎn),所得圖形就是所求的圖形(續(xù)表)相似比一

k或-k題組一必會(huì)題對(duì)點(diǎn)演練C[答案]D[解析]根據(jù)位似圖形的性質(zhì),∵△ABC與△A'B'C'的位似比為1∶2,∴△ABC與△A'B'C'的面積比為1∶4,∴△A'B'C'的面積=△ABC的面積×4=12,故選D.2.[九下P79習(xí)題第1(2)題改編]△ABC與△A'B'C'是位似圖形,且△ABC與△A'B'C'的位似比是1∶2,已知△ABC的面積是3,則△A'B'C'的面積是 (

)A.3 B.6 C.9 D.12圖21-93.[2018·樂(lè)山]如圖21-9,DE∥FG∥BC,若DB=4FB,則EG與GC的關(guān)系是 (

)A.EG=4GC B.EG=3GC

C.EG=GC D.EG=2GCB[答案]C4.[2018·荊門(mén)]如圖21-10,四邊形ABCD為平行四邊形,E,F為CD邊的兩個(gè)三等分點(diǎn),連接AF,BE交于點(diǎn)G,則S△EFG∶S△ABG=(

)A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1圖21-105.[九下P59練習(xí)第2題改編]如圖21-11,∠1=∠2.要使△ABC∽△ADE,還需要添加條件

(寫(xiě)出一個(gè)即可).

圖21-11題組二易錯(cuò)題【失分點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)三角形相似時(shí),要注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上;相似三角形面積比,周長(zhǎng)比與相似比的關(guān)系記不準(zhǔn);對(duì)于圖形不確定的相似三角形問(wèn)題,需要分類(lèi)討論.圖21-12[答案]D[答案]B[解析]設(shè)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A',B'.當(dāng)放大后的△A'OB'與△AOB在原點(diǎn)O同側(cè)時(shí),點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2m,2n);當(dāng)放大后的△A'OB'與△AOB在原點(diǎn)O兩側(cè)時(shí),點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2m,-2n).故選擇B.8.[2019·雅安]如圖21-13,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則下列圖形中的三角形(陰影部分)與△A1B1C1相似的是 (

)圖21-13圖21-14B考向一比例線段圖21-15例1(2)如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比,那么這個(gè)等腰三角形就叫做黃金三角形.請(qǐng)以圖21-16中的線段AB為腰,用直尺和圓規(guī)作一個(gè)黃金三角形ABC.(注:直尺沒(méi)有刻度!作圖不要求寫(xiě)作法,但要保留作圖痕跡,并對(duì)作圖中涉及的點(diǎn)用字母進(jìn)行標(biāo)注)圖21-16(2)如圖所示:|考向精練|[答案]C2.若x是3,12的比例中項(xiàng),則x=

.

[答案]±6[解析]由x是3,12的比例中項(xiàng),得x2=3×12,所以x=±6.3.[2016·常州]在比例尺為1∶40000的地圖上,某條道路的長(zhǎng)為7cm,則該道路的實(shí)際長(zhǎng)度是

km.

2.8考向二平行線分線段成比例例2

[2019·淮安]如圖21-17,l1∥l2∥l3,直線a,b與l1,l2,l3分別相交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)D,E,F.若AB=3,DE=2,BC=6,則EF=

.

圖21-17[答案]4|考向精練|[答案]

B圖21-18[答案]2圖21-19考向三相似三角形的性質(zhì)與判定微專(zhuān)題角度1

相似三角形的性質(zhì)圖21-20BB1∶9角度2

相似三角形的判定例4[2019·涼山州]如圖21-21,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,過(guò)點(diǎn)B作BM∥CD交AD于M.連接CM交DB于N.(1)求證:BD2=AD·CD;(2)若CD=6,AD=8,求MN的長(zhǎng).圖21-21例4[2019·涼山州]如圖21-21,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,過(guò)點(diǎn)B作BM∥CD交AD于M.連接CM交DB于N.(2)若CD=6,AD=8,求MN的長(zhǎng).圖21-21|考向精練|圖21-22[答案]B[答案]2圖21-233.[2019·長(zhǎng)春]教材呈現(xiàn):下圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁(yè)的部分內(nèi)容.圖21-25①圖21-24請(qǐng)根據(jù)教材提示,結(jié)合圖21-25①,寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.結(jié)論應(yīng)用:在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E為邊BC的中點(diǎn),AE,BD交于點(diǎn)F.(1)如圖②,若平行四邊形ABCD為正方形,且AB=6,則OF的長(zhǎng)為

.

圖21-25②③3.[2019·長(zhǎng)春]教材呈現(xiàn):下圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁(yè)的部分內(nèi)容.請(qǐng)根據(jù)教材提示,結(jié)合圖21-25①,寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.結(jié)論應(yīng)用:在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E為邊BC的中點(diǎn),AE,BD交于點(diǎn)F.(1)如圖②,若平行四邊形ABCD為正方形,且AB=6,則OF的長(zhǎng)為

.

圖21-25①②③3.[2019·長(zhǎng)春]教材呈現(xiàn):下圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁(yè)的部分內(nèi)容.請(qǐng)根據(jù)教材提示,結(jié)合圖21-25①,寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.結(jié)論應(yīng)用:在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E為邊BC的中點(diǎn),AE,BD交于點(diǎn)F.圖21-25①②③（2）6解:(1)證明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD是BC邊上的中線,∴BD=CD,AD⊥BC.∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC.又∵∠B=∠C,∴△BDE∽△CAD.4.[2018·杭州]如圖21-26,在△ABC中,AB=AC,AD為BC邊上的中線,DE⊥AB于點(diǎn)E.(1)求證:△BDE∽△CAD;(2)若AB=13,BC=10,求線段DE的長(zhǎng).圖21-264.[2018·杭州]如圖21-26,在△ABC中,AB=AC,AD為BC邊上的中線,DE⊥AB于點(diǎn)E.(2)若AB=13,B