小學奧數(shù)教程-數(shù)陣圖 教師版 全國通用（含答案）

啰學目陽

1,了解數(shù)陣圖的種類

2.學會一些解決數(shù)陣圖的解題方法

3.能夠解決和數(shù)論相關(guān)的數(shù)陣圖問題

一、數(shù)陣圖定義及分類:

1.定義：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖.

2.數(shù)陣是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型數(shù)陣

圖、輻射型數(shù)陣圖和復合型數(shù)陣圖.

3.

二、解題方法：

解決數(shù)陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：

第一步：區(qū)分數(shù)陣圖中的普通點（或方格）和關(guān)鍵點（或方格）；

第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點（一般是交叉點）上設(shè)置未知數(shù)，計算這些關(guān)鍵點與相關(guān)點的數(shù)量關(guān)系，得到關(guān)

鍵點上所填數(shù)的范圍；

第三步：運用已經(jīng)得到的信息進行嘗試.這個步驟并不是對所有數(shù)陣題都適用，很多數(shù)陣題更需要對數(shù)學方

法的綜合運用.

例題精講

刖3H

模塊一、封閉型數(shù)陣圖

【例1】把1?8的數(shù)填到下圖中，使每個四邊形中頂點的數(shù)字和相等。

【考點】復合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學而思杯，3年級，第6題

【解析】

【答案】

【例2】將1?8這八個自然數(shù)分別填入下圖中的八個。內(nèi)，使四邊形每條邊上的三個數(shù)之和都等于14,且

數(shù)字1出現(xiàn)在四邊形的一個頂點上.應(yīng)如何填？

【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空

【解析】為了敘述方便，先在各圓圈內(nèi)填上字母，如下圖（2）.由條件得出以下四個算式:

a+b+c=14(1)

c+d+e=14(2)

e+f+g=14(3)

a+h+g=14(4)由(1)+(3),得:a+b+c+e+f+g=28,(a+b+c+d+e+f+g+h)-(d+h)=28,

d+h=(1+2+3+4+5+6+7+8)-28=8,由(2)+(4),同樣可得b+f=8,

又1,2,3,4,5,6,7,8中有l(wèi)+7=2+6=3+5=8.

又1要出現(xiàn)在頂點上，d+h與b+f只能有2+6和3+5兩種填法.

又由對稱性，不妨設(shè)b=2,f=6,d=3,h=5.

a,c,e,g可取至11,4,7,8

若a=l,則c=14-(1+2)=11,不在I,

o

4,7,8中，不行.

若c=l,則a=14-(1+2)=11,不行.

若e=l,則c=14-(1+3)=10,不行.

若g=l,則a=8,c=4,e=7.

說明：例題為封閉型數(shù)陣，由它的分析思考過程可以看出，確定各邊頂點所應(yīng)填的數(shù)為封閉型數(shù)陣

的解題突破口.

【答案】

6

2)~(4

【例3】在如圖6所示的。內(nèi)填入不同的數(shù)，使得三條邊上的三個數(shù)的和都是12,若4、B、C的和為18,

則三個頂點上的三個數(shù)的和是?

【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】1星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，復賽，第11題，5分

【解析】設(shè)三個頂點為O,E,F,求。,E,F。觀察容易發(fā)現(xiàn)，三條邊的和為36,即C+A+￡；+E+C+F+F+8+￡>=36

18+2(D+E+F)=36,所以D+E+F=9

【答案】9

［例4］將1至6這六個數(shù)字填入圖中的六個圓圈中(每個數(shù)字只能使用一次),使每條邊上的數(shù)字和相等.那

么，每條邊上的數(shù)字和是_______.

【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空

【解析】如圖，用字母表示各個圓圈中的數(shù)，那么每條邊上的數(shù)字和為

(1+2+…+9+a+6+c)+3=15+空。土巧，由于a+/7+c最小為1+2+3=6,最大為

4+5+6=15,所以每條邊上的數(shù)字和最小為17,最大為20,如下兩圖為每條邊上的數(shù)字和分別為

17和20時的填法.

而每條邊上的數(shù)字和能否為18或19呢？答案是否定的，現(xiàn)說明如下.

如果每條邊上的數(shù)字和為18,那么a+6+c、=(18-15)x3=9,而a+6+d+9=18,即。+/?+"=9,

得到。=d,與題意不符，所以每條邊上的數(shù)字和不能為18.如果每條邊上的數(shù)字和為19,類似分

析可得到匕=e,也與題意不符，所以每條邊上的數(shù)字和不能為19.

所以每條邊上的數(shù)字和為17或20.

【答案】17或20

［例5］將1到8這8個自然數(shù)分別填入如圖數(shù)陣中的8個圓圈，使得數(shù)陣中各條直線上的三個數(shù)之和都相

等，那么A和8兩個圓圈中所填的數(shù)之差(大數(shù)減小數(shù))是.

A

【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】2008年，學而思杯，五年級，4年級，第4題

【解析】方法一：如圖

用字母來表示各個圓圈中的數(shù)字，設(shè)各條直線上的三個數(shù)之和都為s,那么Q+〃+c+d+e+/=2s,

a+A+e+b+A+d+c+B+f=3s,所以2A+3=s,

a+Z?+c+d+e+/+/4+B=2s+A+8=5A+3B,而

。+6+。+4+6+/+4+8=1+2+???+8=36,所以54+33=36,刃|4么4A=3,得8=7口果A=6,

得8=2,這兩種情況下A和8的差都為4,所以A和8兩個圓圈中所填的數(shù)之差(大數(shù)減小數(shù))是4.

方法二：設(shè)各條直線上的三個數(shù)之和都為s,2Q+2+3+…+8)—8=5s,即72—8=5s,

~[B=2(B=7-c

所以＜,\,由于(1+2+3+…+8)+A=3s,即36+A=3s,

5=13

8=2B=7

p=1413勿人+

因此有c，綜合有《51=14,V5=13,

[A=6

A=6A=3

所以A和3兩個圓圈中所填的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）是4.

【答案】4

【例6】如圖所示，圓圈中分別填人0到9這10個數(shù)，且每個正方形頂點上的四個數(shù)之和都是18,則中間

兩個數(shù)A與5的和是?

【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，二試，第5題，4分

【解析】若每個正方形中數(shù)的和都是18,那么總和為54,而這10個數(shù)的和為45,其中A、8各多算了一次，

故A+B=9。

【答案】9

【例7】把2?11這10個數(shù)填到右圖的10個方格中，每格內(nèi)填一個數(shù)，要求圖中3個2x2的正方形中的4

個數(shù)之和相等.那么，這個和數(shù)的最小值是多少？

【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】第一步：首先確定數(shù)陣圖中的關(guān)鍵方格，即相鄰兩個正方形相交的兩個方格；

第二步：計算三個2x2正方形內(nèi)4個數(shù)之和的和，顯然這個和能被3整除，其中有兩個數(shù)被重復計

算了兩次，而2+3+…+11=65,除以3余2,因此被重復計算的兩個數(shù)的和被3除余1,這兩個數(shù)

取2、5時，這個和取得最小值；

第三步，由已知的兩個方格中的數(shù)，得到每個2x2正方形中的4個數(shù)之和的最小值為24,構(gòu)造各個

正方形中其他幾個數(shù)使每個正方形中的數(shù)的和為24,如圖，所以所求的最小值是24.

【答案】24

【例8】下圖中有五個正方形和12個圓圈，將1~12填入圓圈中，使得每個正方形四角上圓圈中的數(shù)字之和

都相等.那么這個和是多少？

【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】設(shè)每個正方形四角上圓圈中的數(shù)字之和為x,則由5個正方形四角的數(shù)字之和，相當于將1?12相

加，再將中間四個圓圈中的數(shù)加兩遍，可得：(1+2+…+12)+2x=5x,解得x=26,即這個和為26.具

體填法如右上圖。

【答案】26

【例9】如圖，大、中、小三個正方形組成了8個三角形，現(xiàn)在把2、4、6、8四個數(shù)分別填在大正方形的

四個頂點；再把2、4、6、8分別填在中正方形的四個頂點上；最后把2、4、6、8分別填在小正

方形的四個頂點上.⑴能不能使8個三角形頂點上數(shù)字之和都相等？⑵能不能使8個三角形頂點

上數(shù)字之和各不相同？如果能，請畫圖填上滿足要求的數(shù)；如果不能，請說明理由.

【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空

【解析】⑴不能.如果這8個三角形頂點上數(shù)字之和都相等，設(shè)它們都等于S.

考察外面的4個三角形，每個三角形頂點上的數(shù)的和是S,在它們的和4s中，大正方形的2、4、6、

8各出現(xiàn)一次，中正方形的2、4、6、8各出現(xiàn)二次，45=(24-4+6+8)x3=60.得至IS=60+4=15,

但是三角形每個頂點上的數(shù)都是偶數(shù)，和不可能是奇數(shù)15,因此這8個三角形頂點上的數(shù)字之和不

可能都相等.

(2)由于三角形3個頂點上的數(shù)字之和最小為2+2+2=6,最大為8+8+8=24,可能為6、8、

10...........22、24,共有10個可能的值，而三角形只有8個，所以是有可能做到8個三角形的頂點上

數(shù)字之和互不相同的.

根據(jù)對稱性，不妨舍去這10個可能值的首尾兩個，把剩下8個值(8、10、12、14、16、18、20、22)

作為8個三角形的頂點上數(shù)字之和進行嘗試，可以得到滿足條件的填法，右上圖就是一種填法.

【例10】將1?16分別填入下圖(1)中圓圈內(nèi)，要求每個扇形上四個數(shù)之和及中間正方形的四個數(shù)之和都

為34,圖中已填好八個數(shù)，請將其余的數(shù)填完.

9

5：

【考點】封閉型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空

【解析】為了敘述方便，將圓圈內(nèi)先填上字母，如圖（2）所示:

(2)

9+15+a+c=34,5+10+e+g=34,7+14+b+d=34,ll+8+f+h=34,c+d+e+f=34,

化簡得：a+c=104+6=10.

e+g=193+16=19,6+13=19

b+d=131+12=13,

f+h=152+13=15,3+12=15.

a,b,c,d,e,f,g,h應(yīng)分別從1,2,3,4,6,12,13,16中選取.因為a+c=10,所以只能選a+c=4+6;

b+d=13,只能選b+d=13;e+g=19,只能選e+g=3+16;f+h=15,只能選f+h=2+13

若d=l,c=4,貝"e+f=34-1-4=29,有e=16,f=13.

若d=l,c=6,貝司e+f=34-1-6=27,那么e、f無值可取，使其和為27.

若d=l2,c=4,則e+f=34-12-4=18,有e=16,f=2.

若d=12,c=6,貝Ue+f=34-12-6=16,有e=3,f=13.

解：共有三個解(見圖).

【答案】

【例11】一個3x3的方格表中，除中間一格無棋子外，其余梅格都有4枚一樣的棋子，這樣每邊三個格子

中都有12枚棋子，去掉4枚棋子，請你適當調(diào)整一下，使每邊三格中任有12枚棋子，并且4個角

上的棋子數(shù)仍然相等（畫圖表示）。

【考點】復合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，初賽

【解析】因為每個角上的棋子分別被兩條邊共用，根據(jù)這一特點可以將邊上的棋子減少，同時增加角上的棋

子數(shù)。具體操作如圖：

□

11

1

□

11

【例12］如果將右圖分成四塊，每塊上的數(shù)的和都相等，那么每塊的和是

【考點】復合型數(shù)陣圖【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，初賽

94

125

611914

91083

【解析】根據(jù)題目給的數(shù)字計算所有的數(shù)字和為：9+4+12+5+6+11+9+14+9+10+8+3=100,分成四塊

的，每塊的數(shù)字和為：100+4=25,,所以9+4+12=25,5+11+9=25.6+9+10=25,

8+3+14=25,具體分法如上圖。

模塊二、輻射型數(shù)陣圖

【例13】把1991,1992,1993,1994,1995分別填入圖2的5個方格中，使得橫排的三個方格中的數(shù)的和

等于豎列的三個方格中的數(shù)的和。則中間方格中能填的數(shù)是.

【考點】輻射型數(shù)陣圖【難度】1星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，復賽，第10題

【解析】由題意，橫行兩端兩個數(shù)的和應(yīng)該等于豎列兩端兩個數(shù)的和，也就是除去中間方格中的數(shù)，其余的

四個數(shù)可以分為和相等的兩組。所以中間方格中能填的數(shù)為：1991,1993,1995o

【答案】中間方格能填的數(shù)可以為：1991,1993,1995,答案不唯一

【例14】請你把1?7這七個自然數(shù)，分別填在下圖（1）的圓圈內(nèi)，使每條直線上的三個數(shù)的和都相等.應(yīng)

怎樣填？

（1）

【考點】輻射型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空

【解析】為敘述方便，先在圓圈中標上字母，如下圖（2）,

(2)

設(shè)a+b+e=a+c+f=a+d+g=k,

則(a+b+e)+(a+c+f)+(a+d+g)=3k

3a+b+c+d+e+f+g=3k

2a+(a+b+c+d+e+f+g)=3k

2a+(1+2+3+4+5+6+7)=3k

2a+28=3k

a為1、4或7,若a=l,貝”k=10,直線上另外兩個數(shù)的和為9.在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6=4+5=9,

因此得到一個解為：a=l,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=5.

若a=4,則k=12,直線上另外兩個數(shù)的和為8.在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8,因此得到

第二個解為：a=4,b=l,c-2,d=3,e-7,f-6,g-5.

若a=7,則k=14,直線上另外兩個數(shù)的和為7.在1、2、3、4、5、6中，14-6=2+5=3+4=7,因此得到

第三個解為：a-7,b=l,c=2,d=3,e=6,f=5,g=4.

解：共得到三個解：如下圖.

【例15】右邊的一排方格中，除9、8外，每個方格中的字都表示一個數(shù)（不同的字可以表示相同的數(shù)），已

知其中任何3個連續(xù)方格中的數(shù)相加起來都為22,則“走”+“進”+“數(shù)”+“學”+“花”+“園”

走進9數(shù)學花8園

【考點】復合型數(shù)陣圖【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，初賽

【解析】“走”+“進”+9=22

9+“數(shù)”+“學”=22

“花”+8+“園”=22

所以“走”+“進”+“數(shù)”+“學”+“花”+“園”=22—9+22_9+22_8=40

【答案】40

【例16】請在下圖中每個方格中填一個數(shù)，使橫行任意三個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是15,豎列任意三個

相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是18.

3

5285285285

7

【考點】復合型數(shù)陣圖【難度】3星【題型】填空

【解析】豎列任意三個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是18,從上至下第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是18-3=15,第

二個數(shù)+第三個數(shù)+第四個數(shù)=18,第四個數(shù)等于3,以此類推，從上至下第一個數(shù)等于第四個數(shù)等

于第七個數(shù)，第二個數(shù)等于第五個數(shù)等于第八個教，所以豎行從上至下依次為3、8、7、3、8、7、

3、8:同理，橫行任意三個相鄰方格內(nèi)的數(shù)字之和都是15,由左至右第六個數(shù)是8,所以橫行由左

至右依次為5、2、8、5、2、8、5、2、8、5,如右上圖所示.

5285285285

【答案】

［例17］2000個數(shù)寫成一行，任意三個相鄰的數(shù)的和均相等，總和53324?去掉左起第1、第1949、第1975

及最后一個數(shù)，和成為53236,問剩下的數(shù)中左起第50個數(shù)是?

【考點】復合型數(shù)陣圖【難度】5星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，決賽，第12題，12分

【解析】第一個數(shù)+第二個數(shù)+第三個數(shù)=第二個數(shù)+第三個數(shù)+第四個數(shù)，所以第一個數(shù)=第四個數(shù)，同

理第二個數(shù)=第五個數(shù)，第三個數(shù)=第六個數(shù)，也就是這個數(shù)列是以3為周期的一個周期數(shù)列。

1949+3=649……2,1975+3=658……1,2000+3=666……2,也就是第一個數(shù)x2+第二個數(shù)

x2=53324—53236=88,所以第一個數(shù)+第二個數(shù)=44,又因為2000個數(shù)的和為53324,53324=（第

一個數(shù)+第二個數(shù)+第三個數(shù)）x666+第一個數(shù)+第二個數(shù)，從而求出第一個數(shù)+第二個數(shù)+第三

個數(shù)=80,所以第三個數(shù)=80-44=36,而50+3=16……2,所以剩下的數(shù)中左起第50個數(shù)就是原

數(shù)列中的第51個數(shù)，即原數(shù)列中的第3個數(shù)，等于36。

【答案】36

【例18］如圖，在2006年的3月的日歷上，A+B+C+D^52,那么，3月份的第一個星期日是一號。

【考點】復合型數(shù)陣圖【難度】5星

【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，決賽，第6題，10分

【解析】3比A大8,C比B大8,則C比A大16,。比C大8,則。比A大24,則有

4=62—8—16—24）+4=1,A是星期三，則第一個星期日是1+4=5號.

【答案】5號

【例19】右圖中，從第二層（從下往上數(shù)）起，每個方框中的數(shù)都等于它下方兩個方框中所填數(shù)的和。最

【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，決賽，第6題，10分，4年級，決賽，第3題，8分

【解析】如右圖所示，885=③+②，③=262+①，②=①+283,

則885=262+①+①+283,

則①=170,②=170+283=453