高考數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)易錯(cuò)題題庫(kù)100題（含答案分析）

高考數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)易錯(cuò)題題庫(kù)100題(含答案)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知函數(shù)〃x)=xe'-lnx-x,若不等式/(x)2a恒成立，則a的最大值為()

A.1B.e-1C.2D.e

X

_____X>]

2.已知函數(shù)/(x)=elnx"，若函數(shù)y=[/(x)]2+(2-4a)/(x)+1恰有5個(gè)零點(diǎn),

2

4-2X-X9X<\

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

949、

3.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(ox+.)(0>O),已知/(x)在上單調(diào)遞增，則/(x)在

(0,2萬(wàn))上的零點(diǎn)最多有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

/、2

4.關(guān)于函數(shù)/(x)=1+lnx,下列判斷正確的是()

①x=2是/(x)極大值點(diǎn);

②函數(shù)y=/(x)-x有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；

③存在正實(shí)數(shù)無(wú)，使得/(力>去成立:

④對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)*1、巧且不>》2，若/(X1)=/(xj,則西+%>4.

A.①④B.②③C.②③④D.②④

4X-2x+2+m,x<0

5.已知/(x)=1的最小值為2,則加的取值范圍為()

X+—,X>0

A.(-oo,3]B.(-oo,5]C.[3,+8)D.[5,+oo)

6.已知實(shí)數(shù)x,y,zeR,且滿足警={=-：,N>1,則x,y,z大小關(guān)系為()

eee

A.y>x>zB.x>z>yC.y>z>xD.x>y>z

7.已知函數(shù)〃x)=|ln(x-l)|-ax+a有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

A.(0,e)B.(0,1)C.(0.)D.

8.某單位科技活動(dòng)紀(jì)念章的結(jié)構(gòu)如圖所示，O是半徑分別為1cm,2cm的兩個(gè)同心圓的

圓心，等腰三角形/8C的頂點(diǎn)A在外圓上，底邊8c的兩個(gè)端點(diǎn)都在內(nèi)圓上，點(diǎn)在

直線8c的同側(cè).若線段8c與劣弧死所圍成的弓形面積為E，△0/8與的面

試卷第1頁(yè)，共16頁(yè)

積之和為耳，設(shè)48OC=28.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)S2-，的值最大時(shí)，紀(jì)念章最美觀，當(dāng)紀(jì)

念章最美觀時(shí)，cos0=()

A.I"避B.正-1C.7D.—

2222

9.已知函數(shù)〃x）=」I+±1+±1+3圖像與函數(shù)g（x）=W4-9圖像的交點(diǎn)為（為,必）,

xx2x42+1

（今,力），…，（xm,ym）,則Z（±+%）=（）

i=l

A.20B.15C.10D.5

10.關(guān)于x的不等式e'>aln（"-a）-〃恒成立的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.tze（-e2,0）B.6fG（0,e2）

C.〃w（O,e）D.?e（0,e3）

11.若x>0,不等式2年1-241nx+/22(2-恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.[2,+oo)B.[1,-K?)C.；,+8)D.、位)

12.已知實(shí)數(shù)a,b,c￡(0,e),且2“=",3〃=/,5C=c5,則()

A.(a-c)(a-b)<0B.(c-<7)(c-/,)<0

C.e-a)(6-c)<0D.h<a<c

13.某一年是閏年，當(dāng)且僅當(dāng)年份數(shù)能被400整除(如公元2000年)或能被4整除而

不能被100整除(如公元2012年).閏年的2月有29天，全年366天，平年的2月有

28天，全年365天.2022年2月7日星期一是小說(shuō)家狄更斯誕辰210周年紀(jì)念日.狄更斯

的出生日是()

A.星期五B.星期六

C.星期天D.星期一

試卷第2頁(yè)，共16頁(yè)

14.若函數(shù)/。）=/-q2+a-山、有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為（)

1

B.---,4-00

2e

D.-co,2>/e---

2e

2sin2〃x-a+—,x<a/、「、

15.已知函數(shù)/（x）=<LI2〃，若函數(shù)/（力在［0,+司內(nèi)恰有5個(gè)零

x2-(2a+l)x+?2+2,x>a

點(diǎn),則。的取值范圍是（)

72

A.B.

4?2

77

C.23D.2

?4rI'?4T,1

16.我們常說(shuō)函數(shù)y=?的圖象是雙曲線，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可求得這個(gè)雙

X

曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-片=1.函數(shù)>=之+正的圖象也是雙曲線，在適當(dāng)?shù)钠矫嬷?/p>

22V3x

角坐標(biāo)系中，它的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是（)

x2X2/,

A.—=1B.------=1

6618

x2

=1x2/7

C.~D.

721

sin2xcos2x+1,則下列說(shuō)法正確的是（

1設(shè)/⑺)

cos4x

3'3B.7（x）在（0,意上單調(diào)遞增

A./（力值域?yàn)?00,——U—,+00

22

71

C.上單調(diào)遞減D./(%)=/x+—

4

18.設(shè)。=2022In2020,=2021In2021,c=2020In2022,貝U下列選項(xiàng)正確的是()

A.a>c>bB.c>b>a

C.b>a>cD.a>b>c

-x+2,X<6Z」，

19.己知〃〉o,函數(shù)/a）=,/2，若/㈤恰有2個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍

x-4歐+3,%〉。

是（）

A.[2,+8)B.(O,l)U[2,+x)

試卷第3頁(yè)，共16頁(yè)

7

c.32,+00)D.

制噂82

20.對(duì)于函數(shù)y=/（x）的圖象上不同的兩點(diǎn)“看,必），8（9,必），記這兩點(diǎn)處的切線的

斜率分別為心和凝

定義0（43）=K品/（MM為線段”的長(zhǎng)度）為曲線v=/（x）上4,8兩點(diǎn)間的“彎

曲度''.下列命題中真命題是（）

①若函數(shù)+］圖象上48兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和2,則中9（48）＞6；

②存在這樣的函數(shù)，其圖象上任意兩點(diǎn)間的“彎曲度”為常數(shù);

③設(shè)45是拋物線y=/+l上不同的兩點(diǎn)，則*（48）42；

④設(shè)指數(shù)曲線y=e、上不同的兩點(diǎn)/（項(xiàng),必），以馬,%）,且再-々=1,若f9（48）＜l恒

成立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是（-8,1）.

A.②④B.①②C.①④D.②③

21.已知函數(shù)〃幻=華，關(guān)于x的不等式1-7長(zhǎng)＞0的解集中有且只有一個(gè)整數(shù)，則

X/（X）

實(shí)數(shù)。的范圍是（）

fln3.

AA-L~,J

Sn2In6In2]

C.D.

9~9~9~2~J

22.已知函數(shù)/（x）=log3（3*+l）+mx（加eR）是偶函數(shù)，函數(shù)

g（x）=-3向+（3A-5）x，若g（x"2機(jī)+1恒成立,則實(shí)數(shù)人的取值范圍是（）

D.2+L+e

A.[l+e,+8)C.[2+e,+s)

2JJJ

X—C1X4-----,XW-,

函數(shù)〃X)=425

23.若關(guān)于x的不等式/（x）21在R上恒成立,則”的

I2x-a\nx+\,x>—2,

取值范圍為（）

A.(l,2e)B.

C.(2e,+co)D.[-l,2e)

24.已知函數(shù)/（x）=|x+l|+|x-l|+2cosx,若函數(shù)知函=f（x）-a恰有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),

試卷第4頁(yè)，共16頁(yè)

702

m+n=a(其中機(jī)，〃為正實(shí)數(shù))，則一3+3的最小值為()

m+1〃+2

30

A.9B.7C.—D.4

7

25.設(shè)x=ln2,y=lg2,則()

A.x-y>xy>tan(x+y)B.x-y>tan(x+y)>xy

C.tan(x+y)>xy>x—yD.tan(x+y)>x-y>xy

26.若關(guān)于x的不等式e'+sinx“l(fā)-b)x+l在[0,+s)上恒成立，則實(shí)數(shù)6的取值范圍為

()

A.[-e,+oo)B.[-1,+℃)

C.T'+0°)D.[-2,-H?)

27.已知函數(shù)/")=ae'Inx(“aO),若Vxe(O,l),f(x)〈V+xlna成立,則。的取值范

圍是()

A.-,+ooJB.-,1IC.I0,-D.-,1

Le)LeJ【e」1e」

28.已知ae(e,+8),則函數(shù)/(x)=alnx+ax-xe"的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

29.已知函數(shù)/(x)=cosx+e*+ey-；1,則關(guān)于x的不等式/(2x-l)</(3+x)的解

集為()

A.(-1,2)B.(-j,4)C.(-8,-l)U(2,+8)

2

D.(v,-§)U(4,+oo)

二、多選題

30.一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)

過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是

相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，

P(X=i)=p,(i=0,l,2,3).假設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，且

p是關(guān)于x的方程：夕。+P小+夕2/+2》3=》的一個(gè)最小正實(shí)根，則下列說(shuō)法正確的是

()

2}

A.1是方程：p0+ptx+p2x+p3x=x

試卷第5頁(yè)，共16頁(yè)

B.當(dāng)E(X)=1時(shí)，p=l

C.當(dāng)E(X)>1時(shí)，p=l

D.當(dāng)E(X)<1時(shí)，p=\

31.已知曲線/(x)=?及點(diǎn)P(s,O),則過(guò)點(diǎn)P且與曲線》=/(x)相切的直線可能有

()

A.0條B.1條C.2條D.3條

32.下列大小關(guān)系正確的是()

A.eool-l<lnI.01B.lnl.01>—

101

C.21nl.01>VL04-lD.2In0.99>>^96-1

33.已知函數(shù)〃x)=*,g(x)坐，其中左xO,貝ij()

A.若點(diǎn)P(a,6)在/(x)的圖象上，則點(diǎn)尸'(瓦。)在g(x)的圖象上

B.當(dāng)左=e時(shí)，設(shè)點(diǎn)A,8分別在/(X),g(x)的圖象上，則的最小值為也

e

C.當(dāng)人=1時(shí)，函數(shù)尸(x)=/(x)-g(x)的最小值小于g

D.當(dāng)>=-2e時(shí),函數(shù)G(x)=/(x)-g(x)有3個(gè)零點(diǎn)

34.設(shè)函數(shù)/'(x)=?-A,g(x)=e"-x,下列命題正確的是()

e

A.若函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則0<%<L

e

B.若/(x)40恒成立,則左<1

e

C.若VX1,*2，0<X]時(shí)，總有a(x；-x：)<2g(x2)-2g(xj恒成立等價(jià)于

D.Vxef-,ej,g(x)-，-lnr>0恒成立.

35.已知函數(shù)=--x+Inx(aeR),若對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)s,總存在實(shí)數(shù)

，使得/?)</(s),則滿足條件的實(shí)數(shù)。的可能值有()

A.-1B.0C.-D.1

e

三、解答題

36.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)3(-2,0),點(diǎn)A滿足|。4|=3,BA.AC=O>BC的中點(diǎn)在線

段。力上.

(1)求C點(diǎn)的軌跡E的方程；

試卷第6頁(yè)，共16頁(yè)

(2)過(guò)點(diǎn)B的直線交曲線E于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)痂=2麗(/Le(l,2］),求AOMN的面積S

的取值范圍.

37.已知函數(shù)/(x)=xlnx.

⑴討論函數(shù)g*)=/*)+(。+2*的單調(diào)性；

⑵若=￡有兩個(gè)不等實(shí)根國(guó),々(王<匕)，證明：x2X2<e

38.已知函數(shù)/(x)=e'，g(x)=ar+l.

⑴若/(x)Ng(x)恒成立，求實(shí)數(shù)〃的值;

1-lnx1

（2）若工￡（0,1）求證:----7~\—HX-----1

/（X）X

39.已知函數(shù)〃x）=xe，-x-l.

⑴求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0』上的最小值；

⑵不等式a［/(x)+x+l］>lnx+x-2對(duì)于xe(0,+<?)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

40.已知函數(shù)/。)=；》3-3(4+1)/+辦.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

2

(2)當(dāng)ae(l,3］時(shí)，若/(*)在區(qū)間［0,a+l］上的最大值為M,最小值為加，求證：

41.已知函數(shù)/(xblnj-xe'+x+m(X>0,TMeR).

⑴若g(x)=/(x)-lnx,求g(x)在［1,2］上的最大值與最小值之差;

⑵若〃x)<0,證明：狙<1

42.己知函數(shù)/(x)=x-lnx-2.

⑴求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)函數(shù)/(x)在區(qū)間(左，4+l)(AeN)上有零點(diǎn)，求小的值;

13

(3)記函數(shù)g(x)=/x2-bx-2-/(x),設(shè)士/2(為<當(dāng))是函數(shù)g(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，^b>~,

且g(XI)-g(X2)2%恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

43.已知橢圓C：5+，=l(a>b>0)的離心率是正，不鳥分別是橢圓C的左、右

焦點(diǎn)，以線段閨國(guó)為直徑的圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為指.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)P(疝2&)，直線/：尸x+m與橢圓C交于4、8兩點(diǎn)，求AP/B面積的最

試卷第7頁(yè)，共16頁(yè)

大值.

44.已知函數(shù)/(*)=ln(x-l)-%(x-l)+l.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

/、、'市口口In2ln3ln4Inn.....

(2)證明：——+——+——+…+---<------(neN,〃〉1).

345〃+14

45.己知函數(shù)/(x)=」-x+〃lnx.

x

⑴討論/(》)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)/、巧且玉<乙，求證：a<2x2-2\nx2.

46.已知函數(shù)=_x-inx(o.

⑴討論了(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)工」時(shí)，I/WI..2,求。的取值范圍；

47.已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)—ax.

⑴討論函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑵若數(shù)列｛』的前〃項(xiàng)和為S,,證明：S?+1-l<ln(rt+l)<S?.

48.已知=-((7+l)x+alnx.

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若x軸為函數(shù)/(x)的切線，求a的值.

49.已知函數(shù)/(x)=ln(ax)-x+a,其中a>0.

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)于任意x>0,/(x)<S+2)ln”恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

50.已知函數(shù)/(x)=x-l-alnx(其中a為參數(shù)).

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意xe(0,+功都有/(A)20成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合；

(3)證明：［1+：)<e<(l+：)(其中〃eN*，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

51.已知函數(shù)〃x)=aAe=(x+l)2(aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴若/(x)在x=0處的切線與直線尸ar垂直，求。的值：

試卷第8頁(yè)，共16頁(yè)

⑵討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)時(shí)、求證：/(x)>Inx-xi-x-2.

e

52.已知函數(shù)/(x)=xlnx-x,g(x)=alnx-x2+1.

⑴求函數(shù)/(x)的最小值；

⑵若g(x)40在(0,+s)上恒成立，求實(shí)數(shù)。的值;

(3)證明：e"另**士>2023，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

53.已知函數(shù)f(x)=/.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn):

處的切線方程;

2

⑵設(shè)g(x)=/(k)-左有兩個(gè)不同的零點(diǎn)為,三，求證：xtx2>e.

54.已知/(x)=e"+"tv("?<-l).

⑴當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，求曲線y=/(x)上的斜率為-1的切線方程；

(2)當(dāng)xNO時(shí)，/(x)zgx2+gl-3恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的范圍.

55.某學(xué)校組織數(shù)學(xué)，物理學(xué)科答題競(jìng)賽活動(dòng)，該學(xué)校準(zhǔn)備了100個(gè)相同的箱子，其中

第左(斤=1,2,…,100)個(gè)箱子中有發(fā)個(gè)數(shù)學(xué)題，100-左個(gè)物理題.每一輪競(jìng)賽活動(dòng)規(guī)則如

下：任選一個(gè)箱子，依次抽取三個(gè)題目(每次取出不放回)，并全部作答完畢，則該輪

活動(dòng)結(jié)束；若此輪活動(dòng)中，三個(gè)題目全部答對(duì)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品.

(1)己知學(xué)生甲在每一輪活動(dòng)中，都抽中了2個(gè)數(shù)學(xué)題，1個(gè)物理題，且甲答對(duì)每一個(gè)數(shù)

學(xué)題的概率為人答對(duì)每一個(gè)物理題的概率為必

①求學(xué)生甲第一輪活動(dòng)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品的概率；

②已知p+q=l,學(xué)生甲理論上至少要進(jìn)行多少輪活動(dòng)才能獲得四個(gè)獎(jiǎng)品？并求此時(shí)。、

4的值.

(2)若學(xué)生乙只參加一輪活動(dòng)，求乙第三次抽到物理題的概率.

56.已知函數(shù)/(x)=alnx-x+'(4>0).

(1)當(dāng)時(shí)，/(x)40恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，g(x)=M(x)+/-l,方程g(x)=，〃的根為玉、x2,且求證：

x2-x(>1+e/n.

試卷第9頁(yè)，共16頁(yè)

57.直線/：y=h+，交拋物線f=4y于A,8兩點(diǎn)，過(guò)A,B作拋物線的兩條切線，相

交于點(diǎn)C,點(diǎn)C在直線y=-3上.

(1)求證：直線/恒過(guò)定點(diǎn)T,并求出點(diǎn)7坐標(biāo)；

(2)以7為圓心的圓交拋物線于PQMN四點(diǎn)，求四邊形PQMN面積的取值范圍.

58.已知〃力=「"""Lg(x)=ln(x+a).

x+3,x<-l

，,

(1)存在/滿足：/(Ar0)=g(x0),/(x0)=g(x0),求a的值;

(2)當(dāng)“44時(shí)，討論A(x)=/(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

X21

59.已知函數(shù)/(x)=alnx+5-(a+l)x+a+](aeR)有一個(gè)大于1的零點(diǎn)x0.

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)證明：對(duì)任意的xw(l,x0],都有alnx-x+l>0恒成立.

60.已知函數(shù)f(x)=2x+2-lnx.

x

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵若玉WX2且/(再)=/(々)，求證:XyX2<l.

ft,'I

61.已知/(x)=--(tn^0),g(x)=xev--^ix2-ax(aG3.

(1)當(dāng)x>o時(shí)，討論/a)的單調(diào)性;

(2)若機(jī)=-；,對(duì)可€口,+<?),氣€[0,+8),使得g(X2)>/(xJ恒成立，求。的取值范

圍.

62.已知函數(shù)_/'(x)=qlnx+f-(a+2)x,其中aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)/(X)在區(qū)間(l,e)上存在零點(diǎn)，證明：當(dāng)xe(l,e)時(shí)，/(x)>-e2.

63.已知函數(shù)/(》)=6飛11'+1)("1<),/"(X)為"X)的導(dǎo)數(shù).

(1)設(shè)函數(shù)g(x)=AD,求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

e

(2)若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，玉/2區(qū)<七)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

64.已知函數(shù)/(x)=e*+sinx-cosx-ax.

(1)若函數(shù)/(X)在[0,+e)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

試卷第10頁(yè)，共16頁(yè)

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-ln(l-x),若g(x)20,求a的值.

65.已知/3=北-了.

(1)若函數(shù)/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)人的取值范圍；

I23n

(2)證明：當(dāng)NCN*時(shí)，尹+五+轉(zhuǎn)+...+(〃+17,1<1.

66.已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=f-x+1.

⑴求函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若直線/與函數(shù)〃x),g(x)的圖象都相切，求直線/的條數(shù).

67.已知函數(shù)/(x)=x2-ar+(a-l)lnx.

⑴若x=2是函數(shù)/")的一個(gè)極值點(diǎn)，實(shí)數(shù)。的值；

(2)討論函數(shù)〃力單調(diào)性.

68.設(shè)函數(shù)f(x)=ae"'-lnr-1,其中a>0

(1)當(dāng)“=1時(shí)，討論/(x)單調(diào)性；

(2)證明:/(X)有唯一極值點(diǎn)%，且f(%)20.

69.設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+l)+“(工2_工)，其中aeR.

(l)a=l時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

⑶若Vx>0J(x)…0成立，求a的取值范圍.

70.已知函數(shù)/⑺=(?4”2、+1.

⑴求f(x)的極值.

(2)設(shè)/("?)=/(")(機(jī)H"),證明：m+n<l.

71.已知函數(shù)/(x)=lnx+ar+l,aeR,函數(shù)g(x)=(，-x+l)e*+xInx-2x,

xe[e~2,+oo).

(1)試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

試卷第11頁(yè)，共16頁(yè)

(2)若%是函數(shù)g(x)的最小值點(diǎn)，且函數(shù)〃(x)=M(x)在x=x0處的切線斜率為2,試求

a的值.

72.已知函數(shù)f(x)=(x2+2-a)e1

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑵若x￡(0,+口)J(x)2-a恒成立，求整數(shù)a的最大值.

73.定義：如果點(diǎn)用(%,凡)在函數(shù)N=/(x)的圖像上，那么點(diǎn)用(%,％)關(guān)于直線》=x的

對(duì)稱點(diǎn)耳(%,與)在函數(shù)夕=g(x)的圖像，則我們稱函數(shù)V=/(x)與函數(shù)y=g(x)的圖像

關(guān)于直線y=X對(duì)稱.例如，如果點(diǎn)P0(x0,y0)在函數(shù)“X)=2"的圖像上，那么點(diǎn)用小,%)關(guān)

于直線N=x的對(duì)稱點(diǎn)々(為,/)在函數(shù)g(x)=log,x的圖像，則我們稱函數(shù)/(%)=2,與函

數(shù)g(x)=lo&x的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

已知函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且g(x)=k)g4(4'—l),

(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)〃a)=logK%-h2')+],若函數(shù)y=〃x)的圖像在函數(shù)y=/i(x)圖像的上方，

試求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

74.已知函數(shù)/(x)=e*-fcv,g(x)=2x---81nx((zG/?).

⑴當(dāng)人=1時(shí)，求函數(shù)“X)在區(qū)間卜川的最大值和最小值；

(2)當(dāng)/(力=0在1.2有解，求實(shí)數(shù)4的取值范圍；

(3)當(dāng)函數(shù)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)再，x2(xt<x2),且占#1時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)機(jī)，總有

魯?>機(jī)(5x?-x；)成立，若存在，求出實(shí)數(shù)，”的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

75.已知函數(shù)/(x)=V+lnx(a為常數(shù))，且函數(shù)/⑶的圖象在x=2處的切線斜率小于

X-1

~2,

(1)求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

⑵試判斷(a-l)lne與(e-l)lna的大小，并說(shuō)明理由.

76.已知函數(shù)/(x)=21n_r-ax,a€R.

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求曲線夕=/(切在(1,/(1))處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-lnr-2x+l,若g(x)40在其定義域內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小

試卷第12頁(yè)，共16頁(yè)

值；

(3)若關(guān)于X的方程/(x)=x2+hw恰有兩個(gè)相異的實(shí)根和馬，求實(shí)數(shù)。的取值范圍，并

證明>1.

77.已知一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)加(2,0),且在V軸上截得的弦長(zhǎng)為4,設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲

線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)N(1,O)任意作相互垂直的兩條直線h％,分別交曲線C于不同的兩點(diǎn)4B和不同

的兩點(diǎn).設(shè)線段AB,DE的中點(diǎn)分別為P,Q.

①求證：直線尸。過(guò)定點(diǎn)心并求出定點(diǎn)R的坐標(biāo)；②求|尸。|的最小值.

78.己知/(x)=+ax(aeR).

⑴求a=l時(shí)，/(x)在處的切線方程；

⑵若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)為，々且〃再)+/(超)4加，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

79.已知函數(shù)/(x)=4，g(x)=4(x-l).

\nx

⑴證明：VZeR,直線y=g(x)都不是曲線y=/(x)的切線；

(2)若Vxe[e,e],使/(x)4g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

80.設(shè)函數(shù)/'(刈=膽一色，其中“eR且。聲0,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

ax

⑴設(shè)/(X)是函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)，若/'(X)在(2,3)上存在零點(diǎn)，求〃的取值范圍；

4

(2)^a>-,證明：/(x)<0.

e

81.已知函數(shù)/(x)=x-2-21nx.

⑴判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=/(x2)-8"(x),當(dāng)x>I時(shí)，g(x)>0,求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

82.已知函數(shù)/(x)=e,-2zzx,g(x)=2a2x-sinx+1,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，aeR.

(1)試判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性與極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若關(guān)于x的方程q/'(x)+g(x)=0在[0,可上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的最小值.

83.已知函數(shù)/(x)=ev-w(x+1)2(me7?,e?2.718).

試卷第13頁(yè)，共16頁(yè)

(1)選擇下列兩個(gè)條件之一：①，"=5；②"=1,判斷“X)在區(qū)間(0,+8)上是否存在極

小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

(2)已知">0,設(shè)函數(shù)8(力=/(》-1)+儂10(加)若8(力在區(qū)間(0,+8)上存在零點(diǎn),

求實(shí)數(shù)用的取值范圍.

84.已知函數(shù)/'(無(wú))=：/-or+lnr(aeR).

(1)試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性：

⑵設(shè)〃岑加，〃分別是/(x)的極大值和極小值，且S=w-〃，求S的取值范圍.

85.已知函數(shù)/(x)=alnx+x2,其中aeR且awO.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，證明：/(x)<x2+x-l；

(3)求證：對(duì)任意的〃eN"且〃22,都有：[1+齊)[1+鏟](1+不…[1+/]<e.(其

中ez2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

86.已知函數(shù)〃x)f+(6-l)x+l

(1)當(dāng)。=(，b=-l時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

⑵當(dāng)0<°We2,且x>2時(shí);〃x)>bln[a(x-l)]恒成立，求6的取值范圍.

87.設(shè)函數(shù)/(x)=ln(2x)+ax+b.

⑴求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若“X)的圖象在x=l處的切線方程為x-y+l=O,求證：/(x)<e2x.

88.已知函數(shù)/'(x)=。sinx+bcosx+csinxcosx+l(tz,Z),ceR).

(1)當(dāng)a=b=c=l時(shí),求/(x)的值域；

(2)當(dāng)a=l,c=0時(shí)，設(shè)g(x)=/(x)-l,且g(x)關(guān)于直線x=g對(duì)稱，當(dāng)xe[0,句時(shí),

6

方程g(X)-，〃=0恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(3)當(dāng)4=6，b=\,c=0時(shí)、若實(shí)數(shù)加，?,。使得w(x)+"(x-p)=l對(duì)任意實(shí)數(shù)X

恒成立，求普的值.

3nl+n

89.已知函數(shù)f(x)=lnx-四，g(x)=a(x-2)e'-v-l,其中aeR.

X

試卷第14頁(yè)，共16頁(yè)

(1)討論〃x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)0<a<g時(shí)，是否存在占戶2，且X|WXz，使得/(xj=g(xj(i=l,2)?證明你的結(jié)

論.

90.已知函數(shù)-(2/-a+l)x+(2q-l)lnx+2,其中awO.

⑴當(dāng)“=1時(shí)，求“X)的單調(diào)區(qū)間：

(2)當(dāng)a>0且。工1時(shí)，/(x)存在一個(gè)極小值點(diǎn)％,若x0>3.求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

91.直線y=fcc+2交拋物線C：爐=4夕于Z,8兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)N,8作拋物線C的切

線//，h，若//,/2分別交x軸于點(diǎn)〃，N,求四邊形4面積的最小值.

四、填空題

92.已知函數(shù)/卜)=呼，若關(guān)于x的不等式卜(力了-4(x)N0有且僅有1個(gè)整數(shù)解,

則?的取值范圍為.

93.已知函數(shù)/(x)=mx+-!-(加>0,”>0)的定義域?yàn)?0,+8),若x=l時(shí)，9(x)取得

nx

最小值，則吟1+衛(wèi)文的取值范圍是___________.

n+2加+2

94.已知函數(shù)〃x)="；大,若對(duì)￡(1，+8),MW/，都有

|/(再)-/(工2)|訓(xùn)In再-In%|,則1的取值范圍是.

95.已知〃x)=KT"若方程.f(x)=F+2有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

2-er,x,1

是.

96.設(shè)函數(shù)，(x)是定義在(-8,0)U(0,+oo)上的奇函數(shù)，/(x)為“X)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0

時(shí)，xlnx./-(x)+/(x)>0,則使得(x+2)/(x%o成立的x的取值范圍

X-1

97.已知存在。>0,使得函數(shù)/(x)=Hnx與g(x)=x2-3x-b的圖象存在相同的切線，

且切線的斜率為1,則b的最大值為—.

98.已知函數(shù)，(x)=sin(0x+?J(w>0),若/(x)在(),等上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在

7T1T

上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是

_424_--------

五、雙空題

99.將一條線段三等分后，以中間一段為邊作正三角形并去掉原線段生成I級(jí)Ko"曲

線“一/、_"，將1級(jí)Koch曲線上每一線段重復(fù)上述步驟得到2級(jí)Koch曲線，同理可

試卷第15頁(yè)，共16頁(yè)

得3級(jí)KoM曲線（如圖1）,…，KoM曲線是幾何中最簡(jiǎn)單的分形.若一個(gè)圖形由N

個(gè)與它的上一級(jí)圖形相似，相似比為，?的部分組成，稱。=|bg,N|為該圖形分形維數(shù),

則Koch曲線的分形維數(shù)是.（精確到0.01,log,2^0.631）在第24屆北京冬

奧會(huì)開幕式上，一朵朵六角雪花（如圖2）飄拂在國(guó)家體育場(chǎng)上空，暢想著“一起向未

來(lái)”的美好愿景.六角雪花曲線是由正三角形的三邊生成的三條、級(jí)Koch曲線組成，再

將六角雪花曲線每一邊生成一條1級(jí)KoM曲線得到2級(jí)十八角雪花曲線（如圖3）,

依次得到〃級(jí)（〃eN*）角雪花曲線.若正三角形邊長(zhǎng)為1,則〃級(jí)K”角雪花曲線

的周長(zhǎng)G=

圖2圖3

100.已知/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且/（兇+1）=2/（國(guó)-1）.若當(dāng)xe（O,l）時(shí)，

/（x）=l-|2x-l|,則/.（X）在區(qū)間（-1,3）上的值域?yàn)?g（x）=/（x）-1x在

區(qū)間（-1,3）內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為

試卷第16頁(yè)，共16頁(yè)

參考答案：

1.A

【解析】

【分析】

先判斷出。4/(x)1nM.利用同構(gòu)，把/(x)=xe'-lnx-x轉(zhuǎn)化為y=e'-f(/=lnx+x,(x>0)),

利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最小值，即可得到。的最大值.

【詳解】

要使不等式“X)之〃恒成立，只需。V/(x)min.

函數(shù)/'(x)=xe*-lnx-x的定義域?yàn)?0,+<?).

因?yàn)閤eW、"，所以令r=lnx+x,(x>0),則y=e'-/.

對(duì)于f=lnx+x,(x>0),/=，+1>0,所以f=lnx+x在(0,+s)上單調(diào)遞增，

當(dāng)X—>0+時(shí)，ITY°；當(dāng)x—>+°0時(shí)，t—>+8.

所以EwR.

對(duì)于y=e'-f(/GR).y'=e'-l.

令V>0,解得：t>0；令V<0,解得:r<0.

所以歹=e'T在(0,e)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞減.

所以ymi?=e°-0=l,BP/(x)min=l.

所以a4/(X)min=l.

故選：A

【點(diǎn)睛】

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：

(1)利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值(最值)；

(3)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.

2.C

【解析】

【分析】

答案第1頁(yè)，共127頁(yè)

先研究x>l時(shí)，/(x)=:匚的單調(diào)性和極值，然后畫出分段函數(shù)的圖象，再令/(X)=，，通過(guò)

elnx

換元后數(shù)形結(jié)合，可轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問(wèn)題，從而即可求解.

【詳解】

解：當(dāng)X>1時(shí)，/")=f，貝1」-。)=生]，

elnxelnx

當(dāng)l<x<e時(shí)，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>e時(shí)，f'(x)>0,/(/單調(diào)遞增,

所以x>l時(shí)，/(x)../(e)=l；

當(dāng)X,1時(shí)，f(x)=5-2x-Xt=-(x+l)2+5.5；

作出/(x)大致圖象如下：

由函數(shù)y=[f(x)]2+(2-4a)/(x)+l恰有5個(gè)不同零點(diǎn)，即方程+(2-44)/(x)+l=0恰

有5個(gè)不等實(shí)根,

令/(x)=，，則方程*+(2-4a)f+1=0(*),令函數(shù)w(f)=*+(2-4a)/+l,

i/(l)=l+2-4a+l<0

①方程(*)在區(qū)間(-嗎1)和(1,5)上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則,解得

〃(5)=25+5(2-4a)+l>0

K.<1,

②_方程(*)在區(qū)間(,1,5、)和(5,”)各_有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則t/“(;l)6=)=l+252+-54(a2+-l4“>)0+1<0'不等式組

無(wú)解；

③方程(*)的兩根為1和5,此時(shí)-4。)無(wú)解.

[1x5=1

9

綜上>1<tz<—.

故選：C.

答案第2頁(yè)，共127頁(yè)

3.A

【解析】

【分析】

先求出函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)題意得出參數(shù)。的范圍，設(shè)f=+則

f,由2初r+手］,得出函數(shù)夕=sinf在（￡,2。%上的零點(diǎn)情況

出答案.

【詳解】

7t71n^.Tt2TT2kn_n2k兀,?

由---卜2卜兀WcoxT—W—F24zr,kwZ,得-----1-------WxW-----1--------,ksZ,

2623coco3（oco

24(71

?。?0,可得一?4》4占.若〃X）在［-U］上單詞遞增，貝人3606

3（o3（o''L64」冗>71

茄一了

4TC（7T7ZI

解得若xe（O,2乃），貝ij（vx+工e|二，20乃+二.

36166）

_7Trt?7T_71j,__.._71\71174

設(shè)%，=5+二，則ZW7,2切T+川，因?yàn)閠2。萬(wàn)+;￡二,一^―

6\66）ov66

所以函數(shù)…皿在仁,2。萬(wàn)+2）上的零點(diǎn)最多有2個(gè).

所以/（X）在（0,27）上的零點(diǎn)最多有2個(gè).

故選：A

4.D

【解析】

【分析】

利用極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷①的正誤；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)v=/（x）-x的極值與單調(diào)性，結(jié)

合零點(diǎn)存在定理可判斷②的正誤；利用參變量分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷③的正誤；利用對(duì)數(shù)平

均不等式7A二A>而'結(jié)合基本不等式可判斷④的正誤.

InX,一Inx2

【詳解】

對(duì)于①，函數(shù)/'（x）=2+inx的定義域?yàn)椋?,+e）,廣口）=工-與=華，

XXXX"

當(dāng)0<x<2時(shí)，r（x）<0,此時(shí)函數(shù)/（X）單調(diào)遞減，

當(dāng)x>2時(shí)，/'（x）>0,此時(shí)函數(shù)/（X）單調(diào)遞增,

答案第3頁(yè)，共127頁(yè)

所以，x=2是〃x)極小值點(diǎn)，①錯(cuò);