第一講 三角函數(shù)的概念同角關(guān)系式和誘導公式

學習必備歡迎下載學習必備歡迎下載學習必備歡迎下載第一講三角函數(shù)的概念、同角關(guān)系式和誘導公式基本知識點：1.弧度制：（1）定義（2）換算關(guān)系（3）弧度制下的弧長、扇形的面積公式（4）有關(guān)角的集合2.任意角的三角函數(shù)（1）定義（2）三角函數(shù)的符號（3）特殊角的三角函數(shù)值（4）三角函數(shù)的定義域（5）誘導公式（6）同角三角函數(shù)的關(guān)系式應用舉例考點1 角的概念的推廣例1、設(shè)（D）A. B. C. D.以上都不對練習1：已知角與的終邊相同，那么-的終邊位于x軸的非負半軸上.考點2 弧長、扇形面積公式例2、若1弧度的圓心角所對的弦長為2，則該圓心角所對的弧長等于（C）A. B. C. D.練習2：某時鐘的秒針端點到中心點的距離為，秒針均勻地繞點旋轉(zhuǎn)，當時間時，點與鐘面上標的點重合將兩點間的距離表示成的函數(shù)，則_____，其中()考點3 三角函數(shù)的定義例3、已知角終邊上一點，則的最小正角為（D）A B C D練習3：設(shè)，角終邊上一點，那么的值等于（A）A B C D考點4 三角函數(shù)值的符號例4、已知，那么角是（C）Ａ第一或第二象限角 Ｂ第二或第三象限角Ｃ第三或第四象限角 Ｄ第一或第四象限角練習4：函數(shù)的值域為.考點5 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導公式例5、（1）已知是第四象限角，，則（D）A B C D（2）已知.（）練習5、若cos(α－π)＝－eq\f(2,3)，求eq\f(sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3π,cosπ－α－cos－π－αcosα－4π)的值．解原式＝eq\f(－sin2π－α－sin3π＋αcos3π－α,－cosα－－cosαcosα)＝eq\f(sinα－sinαcosα,－cosα＋cos2α)＝eq\f(sinα1－cosα,－cosα1－cosα)＝－tanα.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(2,3)，∴cosα＝eq\f(2,3).∴α為第一象限角或第四象限角．當α為第一象限角時，cosα＝eq\f(2,3)，sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(5),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(5),2)，∴原式＝－eq\f(\r(5),2).當α為第四象限角時，cosα＝eq\f(2,3)，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(5),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(5),2)，∴原式＝eq\f(\r(5),2).綜上，原式＝±eq\f(\r(5),2).例6、已知.求: (1); (2)（3）;(4). 答案: (1);(2); (2); (4)練習6、已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))，求eq\f(sin3π＋α＋cosα＋π,5cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α)))的值．解∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))，∴－sinα＝－2cosα，∴tanα＝2.∴eq\f(sin3π＋α＋cosα＋π,5cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α)))＝eq\f(－sin3α－cosα,5sinα－3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝eq\f(－sin3α＋cosα,5sinα－3cosα)＝eq\f(sin3α＋cosα,3cosα－5sinα)＝eq\f(sin2α·tanα＋1,3－5tanα)＝eq\f(\f(sin2α,sin2α＋cos2α)·tanα＋1,3－5tanα)＝eq\f(\f(tan3α,1＋tan2α)＋1,3－5tanα)＝eq\f(\f(23,1＋22)＋1,3－5×2)＝－eq\f(13,35).考點6、綜合應用例7、已知是方程的兩根.（1）求m的值；（2）求的值.解：（1）由韋達定理，得由①得，將②帶入得.再注意到故所求.（2）原式==.練習7、已知sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0的兩個根(a∈R)．(1)求sin3θ＋cos3θ的值；(2)求tanθ＋eq\f(1,tanθ)的值．解(1)由根與系數(shù)的關(guān)系知：sinθ＋cosθ＝a，sinθ·cosθ＝a.∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴a2＝1＋2a解得：a＝1－eq\r(2)，a＝1＋eq\r(2)(舍)．∴sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)＝a(1－a)＝eq\r(2)－2.(2)tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ,sinθcosθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,1－\r(2))＝－1－eq\r(2).例8、是否存在角α，β，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)，使等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin3π－α＝\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β)),\r(3)cos－α＝－\r(2)cosπ＋β))同時成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，說明理由．解由條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\r(2)sinβ，①,\r(3)cosα＝\r(2)cosβ.②))①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③又因為sin2α＋cos2α＝1，④由③④得sin2α＝eq\f(1,2)，即sinα＝±eq\f(\r(2),2)，因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α＝eq\f(π,4)或α＝－eq\f(π,4).當α＝eq\f(π,4)時，代入②得cosβ＝eq\f(\r(3),2)，又β∈(0，π)，所以β＝eq\f(π,6)，代入①可知符合．當α＝－eq\f(π,4)時，代入②得cosβ＝eq\f(\r(3),2)，又β∈(0，π)，所以β＝eq\f(π,6)，代入①可知不符合．綜上所述，存在α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)滿足條件．練習7、在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三個內(nèi)角．解由條件得sinA＝eq\r(2)sinB，eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB，平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±eq\f(\r(2),2)，又∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,4)或eq\f(3,4)π.當A＝eq\f(3,4)π時，cosB＝－eq\f(\r(3),2)<0，∴B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴A，B均為鈍角，不合題意，舍去．∴A＝eq\f(π,4)，cosB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝eq\f(π,6)，∴C＝eq\f(7,12)π.鞏固與提高A組1.若角α的終邊與角β的終邊關(guān)于原點對稱，則()A．α＝βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β，k∈ZD．α＝k·360°＋180°＋β，k∈Z解析：借助圖形可知，若角α與β的終邊關(guān)于原點對稱，則α＝k·360°＋180°＋β.答案：D2．若角β的終邊與60°角的終邊相同，在0°～360°內(nèi)，終邊與角eq\f(β,3)的終邊相同的角為________．解析：∵β＝k·360°＋60°，k∈Z，∴eq\f(β,3)＝k·120°＋20°，k∈Z.又eq\f(β,3)∈[0，π)，∴0°≤k·120°＋20°＜360°，k∈Z，∴－eq\f(1,6)≤k＜eq\f(17,6)，∴k＝0,1,2.此時得eq\f(β,3)分別為20°，140°，260°.故在[0，π)內(nèi)，與角eq\f(β,3)終邊相同的角為20°，140°，260°.答案：20°，140°，260°3.用弧度制表示下列終邊落在陰影部分的角的集合：（1）；（2）；（3）4．如圖，設(shè)點A是單位圓上的一定點，動點P從A出發(fā)在圓上按逆時針方向轉(zhuǎn)一周，點P所旋轉(zhuǎn)過的弧的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致為 ()解析：如圖取AP的中點為D，設(shè)∠DOA=θ，則d=2sinθ，l=2θR=2θ，∴d=2sin.答案：C5．已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧所在的弓形面積；(2)若扇形的周長是一定值c(c＞0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？解：(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，∴l(xiāng)＝eq\f(10,3)π(cm)，S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10,3)π×10－eq\f(1,2)×102×sin60°＝50(eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2))(cm2)．(2)法一：∵扇形周長c＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(c,2＋α)，∴S扇＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)α(eq\f(c,2＋α))2＝eq\f(c2,2)α·eq\f(1,4＋4α＋α2)＝eq\f(c2,2)·eq\f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq\f(c2,16).∴當且僅當α＝eq\f(4,α)，即α＝2(α＝－2舍去)時，扇形面積有最大值eq\f(c2,16).法二：由已知2R＋l＝c，∴R＝eq\f(c－l,2)(l＜c)，∴S＝eq\f(1,2)Rl＝eq\f(1,2)·eq\f(c－l,2)·l＝eq\f(1,4)(cl－l2)＝－eq\f(1,4)(l－eq\f(c,2))2＋eq\f(c2,16)，∴當l＝eq\f(c,2)時，Smax＝eq\f(c2,16)，此時α＝eq\f(l,R)＝eq\f(\f(c,2),\f(c－\f(c,2),2))＝2，∴當扇形圓心角為2弧度時，扇形面積有最大值eq\f(c2,16).6.點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時針方向運動eq\f(2π,3)弧長到達Q點，則Q的坐標為()A．(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))B．(－eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))C．(－eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))D．(－eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))解析：根據(jù)題意得Q(coseq\f(2,3)π，sineq\f(2,3)π)，即Q(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))．答案：A7．在(0,2π)內(nèi)使sinx＞cosx成立的x取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))解析：用單位圓內(nèi)正弦線和余弦線來解．答案：C8．(2010·銀川模擬)若角α的終邊落在直線y＝－x上，則eq\f(sinα,\r(1－sin2α))＋eq\f(\r(1－cos2α),cosα)的值等于()A．0B．2C．－2解析：因為角α的終邊落在直線y＝－x上，α＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，sinα，cosα的符號相反．當α＝2kπ＋eq\f(3π,4)，即角α的終邊在第二象限時，sinα＞0，cosα＜0；當α＝2kπ＋eq\f(7π,4)，即角α的終邊在第四象限時，sinα＜0，cosα＞0.所以有eq\f(sinα,\r(1－sin2α))＋eq\f(\r(1－cos2α),cosα)＝eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝0.答案：A9．的值是（B）A. B. C. D.10.(1)設(shè)90°＜α＜180°，角α的終邊上一點為P(x，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，求sinα與tanα的值；(2)已知角θ的終邊上有一點P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.解：(1)∵r＝eq\r(x2＋5)，∴cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))，從而eq\f(\r(2),4)x＝eq\f(x,\r(x2＋5))，解得x＝0或x＝±eq\r(3).∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－eq\r(3).故r＝2eq\r(2)，sinα＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，tanα＝eq\f(\r(5),－\r(3))＝－eq\f(\r(15),3).(2)∵θ的終邊過點(x，－1)，∴tanθ＝－eq\f(1,x)，又tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.當x＝1時，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)；當x＝－1時，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝－eq\f(\r(2),2).11.若1＋sinx·eq\r(sin2x)＋cosx·eq\r(cos2x)＝0，則x不可能是()A．任何象限的角B．第一、二、三象限的角C．第一、二、四象限的角D．第一、三、四象限的角解析：由已知得1＋sinx·|sinx|＋cosx·|cosx|＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≤0，,cosx≤0，))故x不可能是第一、二、四象限的角．答案：C12．若θ為第一象限角，則能確定為正值的是()A．sineq\f(θ,2)B．coseq\f(θ,2)C．taneq\f(θ,2)D．cos2θ解析：∵2kπ＜θ＜2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴kπ＜eq\f(θ,2)＜kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，4kπ＜2θ＜4kπ＋π(k∈Z)．可知eq\f(θ,2)是第一、第三象限角，sineq\f(θ,2)、coseq\f(θ,2)都可能取負值，只有taneq\f(θ,2)能確定為正值．2θ是第一、第二象限角，cos2θ可能取負值．答案：C13．設(shè)0≤θ＜2π，如果sinθ＜0且cos2θ＜0，則θ的取值范圍是()A．π＜θ＜eq\f(3π,2)B.eq\f(3π,2)＜θ＜2πC.eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,4)＜θ＜eq\f(7π,4)解析：∵0≤θ＜2π，且sinθ＜0，∴π＜θ＜2π，又由cos2θ＜0得2kπ＋eq\f(π,2)＜2θ＜2kπ＋eq\f(3π,2)，即kπ＋eq\f(π,4)＜θ＜kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，∵π＜θ＜2π，∴k＝1，即θ的取值范圍是eq\f(5π,4)＜θ＜eq\f(7π,4).答案：D14.sin(π＋eq\f(π,6))sin(2π＋eq\f(π,6))sin(3π＋eq\f(π,6))…sin(2010π＋eq\f(π,6))的值等于________．解析：原式＝(－eq\f(1,2))eq\f(1,2)(－eq\f(1,2))…eq\f(1,2)＝－eq\f(1,22010).答案：－eq\f(1,22010)15.如果sinα·cosα＞0，且sinα·tanα＞0，化簡：coseq\f(α,2)·eq\r(\f(1－sin\f(α,2),1＋sin\f(α,2)))＋coseq\f(α,2)·eq\r(\f(1＋sin\f(α,2),1－sin\f(α,2))).解：由sinα·tanα＞0，得eq\f(sin2α,cosα)＞0，cosα＞0.又sinα·cosα＞0，∴sinα＞0，∴2kπ＜α＜2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即kπ＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．當k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)位于第一象限；當k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)位于第三象限．∴原式＝coseq\f(α,2)·eq\r(\f((1－sin\f(α,2))2,cos2\f(α,2)))＋coseq\f(α,2)·eq\r(\f((1＋sin\f(α,2))2,cos2\f(α,2)))＝coseq\f(α,2)·eq\f(1－sin\f(α,2),|cos\f(α,2)|)＋coseq\f(α,2)·eq\f(1＋sin\f(α,2),|cos\f(α,2)|)＝eq\f(2cos\f(α,2),|cos\f(α,2)|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(\f(α,2)在第一象限時),－2(\f(α,2)在第三象限時))).B組1.集合{x|x=,k∈Z}與{x|x=,k∈Z}之間的關(guān)系是(A)A.BCD2.已知，那么下列命題成立的是（A）若、是第一象限角，則（B）若、是第二象限角，則（C）若、是第三象限角，則（D）若、是第四象限角，則3.若,則的化簡結(jié)果為(C)A. B. C. D.4.2002年8月，在北京召開的國際數(shù)學家大會會標如圖所示，它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中較小的銳角為，大正方形的面積是1，小正方形的面積是，則的值=.

5.若A、B