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文檔簡介
安徽省肥東縣二中2023-2024學年高三下學期第六次檢測數學試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知的垂心為,且是的中點,則()A.14 B.12 C.10 D.82.閱讀如圖的程序框圖,運行相應的程序,則輸出的的值為()A. B. C. D.3.若,,,則下列結論正確的是()A. B. C. D.4.羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成.某班級從名男生,,和名女生,,中各隨機選出兩名,把選出的人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽,則和兩人組成一隊參加比賽的概率為()A. B. C. D.5.隨著人民生活水平的提高,對城市空氣質量的關注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質量檢測情況,圖中一、二、三、四級是空氣質量等級,一級空氣質量最好,一級和二級都是質量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數超過天的月份有個B.第二季度與第一季度相比,空氣達標天數的比重下降了C.8月是空氣質量最好的一個月D.6月份的空氣質量最差.6.若x,y滿足約束條件且的最大值為,則a的取值范圍是()A. B. C. D.7.如圖,已知三棱錐中,平面平面,記二面角的平面角為,直線與平面所成角為,直線與平面所成角為,則()A. B. C. D.8.已知函數,,若成立,則的最小值為()A.0 B.4 C. D.9.將3個黑球3個白球和1個紅球排成一排,各小球除了顏色以外其他屬性均相同,則相同顏色的小球不相鄰的排法共有()A.14種 B.15種 C.16種 D.18種10.設是虛數單位,則“復數為純虛數”是“”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件11.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影為,則等于()A.2 B.1 C. D.012.,則與位置關系是()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面或相交二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數在點處的切線經過原點,函數的最小值為,則________.14.已知函數函數,其中,若函數恰有4個零點,則的取值范圍是__________.15.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,如圖是過且垂直于長軸的弦,則的內切圓方程是________.16.執(zhí)行右邊的程序框圖,輸出的的值為.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知.(1)已知關于的不等式有實數解,求的取值范圍;(2)求不等式的解集.18.(12分)在角中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若.(1)求角A;(2)若的面積為,求的周長.19.(12分)在平面直角坐標系中,為直線上動點,過點作拋物線:的兩條切線,,切點分別為,,為的中點.(1)證明:軸;(2)直線是否恒過定點?若是,求出這個定點的坐標;若不是,請說明理由.20.(12分)為了實現中華民族偉大復興之夢,把我國建設成為富強民主文明和諧美麗的社會主義現代化強國,黨和國家為勞動者開拓了寬廣的創(chuàng)造性勞動的舞臺.借此“東風”,某大型現代化農場在種植某種大棚有機無公害的蔬菜時,為創(chuàng)造更大價值,提高畝產量,積極開展技術創(chuàng)新活動.該農場采用了延長光照時間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比較兩種方案下產量的區(qū)別,該農場選取了40間大棚(每間一畝),分成兩組,每組20間進行試點.第一組采用延長光照時間的方案,第二組采用降低夜間溫度的方案.同時種植該蔬菜一季,得到各間大棚產量數據信息如下圖:(1)如果你是該農場的負責人,在只考慮畝產量的情況下,請根據圖中的數據信息,對于下一季大棚蔬菜的種植,說出你的決策方案并說明理由;(2)已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元/畝.若采用延長光照時間的方案,光照設備每年的成本為0.22千元/畝;若采用夜間降溫的方案,降溫設備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農場共有大棚100間(每間1畝),農場種植的該蔬菜每年產出兩次,且該蔬菜市場的收購均價為1千元/千斤.根據題中所給數據,用樣本估計總體,請計算在兩種不同的方案下,種植該蔬菜一年的平均利潤;(3)農場根據以往該蔬菜的種植經驗,認為一間大棚畝產量超過5.25千斤為增產明顯.在進行夜間降溫試點的20間大棚中隨機抽取3間,記增產明顯的大棚間數為,求的分布列及期望.21.(12分)如圖,四棱錐E﹣ABCD的側棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側棱BF都與底面ABCD垂直,,//,.(1)證明://平面BCE.(2)設平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ,求.22.(10分)表示,中的最大值,如,己知函數,.(1)設,求函數在上的零點個數;(2)試探討是否存在實數,使得對恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
由垂心的性質,得到,可轉化,又即得解.【詳解】因為為的垂心,所以,所以,而,所以,因為是的中點,所以.故選:A【點睛】本題考查了利用向量的線性運算和向量的數量積的運算率,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數學運算的能力,屬于中檔題.2、C【解析】
根據給定的程序框圖,計算前幾次的運算規(guī)律,得出運算的周期性,確定跳出循環(huán)時的n的值,進而求解的值,得到答案.【詳解】由題意,,第1次循環(huán),,滿足判斷條件;第2次循環(huán),,滿足判斷條件;第3次循環(huán),,滿足判斷條件;可得的值滿足以3項為周期的計算規(guī)律,所以當時,跳出循環(huán),此時和時的值對應的相同,即.故選:C.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算與輸出問題,其中解答中認真審題,得出程序運行時的計算規(guī)律是解答的關鍵,著重考查了推理與計算能力.3、D【解析】
根據指數函數的性質,取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數函數的性質,可得,即,又由,所以.故選:D.【點睛】本題主要考查了指數冪的比較大小,其中解答中熟記指數函數的性質,求得的取值范圍是解答的關鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎題.4、B【解析】
根據組合知識,計算出選出的人分成兩隊混合雙打的總數為,然后計算和分在一組的數目為,最后簡單計算,可得結果.【詳解】由題可知:分別從3名男生、3名女生中選2人:將選中2名女生平均分為兩組:將選中2名男生平均分為兩組:則選出的人分成兩隊混合雙打的總數為:和分在一組的數目為所以所求的概率為故選:B【點睛】本題考查排列組合的綜合應用,對平均分組的問題要掌握公式,比如:平均分成組,則要除以,即,審清題意,細心計算,考驗分析能力,屬中檔題.5、D【解析】由圖表可知月空氣質量合格天氣只有天,月份的空氣質量最差.故本題答案選.6、A【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標函數的最值,判斷a的范圍即可.【詳解】作出約束條件表示的可行域,如圖所示.因為的最大值為,所以在點處取得最大值,則,即.故選:A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用z的幾何意義,通過數形結合是解決本題的關鍵.7、A【解析】
作于,于,分析可得,,再根據正弦的大小關系判斷分析得,再根據線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因為平面平面,平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因為,故.故,當且僅當重合時取等號.又直線與平面所成角為,且為直線與平面內的直線所成角,故,當且僅當平面時取等號.故.故選:A【點睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據題意確定角度的正弦的關系,同時運用線面角的最小性進行判定.屬于中檔題.8、A【解析】
令,進而求得,再轉化為函數的最值問題即可求解.【詳解】∵∴(),∴,令:,,在上增,且,所以在上減,在上增,所以,所以的最小值為0.故選:A【點睛】本題主要考查了導數在研究函數最值中的應用,考查了轉化的數學思想,恰當的用一個未知數來表示和是本題的關鍵,屬于中檔題.9、D【解析】
采取分類計數和分步計數相結合的方法,分兩種情況具體討論,一種是黑白依次相間,一種是開始僅有兩個相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好,再插入紅球.情況1:黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此時將紅球插入6個球組成的7個空中即可,因此共有2×7=14種;情況2:黑球或白球中僅有兩個相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此時紅球只能插入兩個相同顏色的球之中,共4種.綜上所述,共有14+4=18種.故選:D【點睛】本題考查排列組合公式的具體應用,插空法的應用,屬于基礎題10、D【解析】
結合純虛數的概念,可得,再結合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【詳解】若復數為純虛數,則,所以,若,不妨設,此時復數,不是純虛數,所以“復數為純虛數”是“”的充分不必要條件.故選:D【點睛】本題考查充分條件和必要條件,考查了純虛數的概念,理解充分必要條件的邏輯關系是解題的關鍵,屬于基礎題.11、B【解析】
先求出,再利用投影公式求解即可.【詳解】解:由已知得,由在方向上的投影為,得,則.故答案為:B.【點睛】本題考查向量的幾何意義,考查投影公式的應用,是基礎題.12、D【解析】結合圖(1),(2),(3)所示的情況,可得a與b的關系分別是平行、異面或相交.選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、0【解析】
求出,求出切線點斜式方程,原點坐標代入,求出的值,求,求出單調區(qū)間,進而求出極小值最小值,即可求解.【詳解】,,,切線的方程:,又過原點,所以,,,.當時,;當時,.故函數的最小值,所以.故答案為:0.【點睛】本題考查導數的應用,涉及到導數的幾何意義、極值最值,屬于中檔題..14、【解析】∵,∴,∵函數y=f(x)?g(x)恰好有四個零點,∴方程f(x)?g(x)=0有四個解,即f(x)+f(2?x)?b=0有四個解,即函數y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個交點,,作函數y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下,,結合圖象可知,<b<2,故答案為.點睛:(1)求分段函數的函數值,要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間,然后代入該段的解析式求值,當出現f(f(a))的形式時,應從內到外依次求值.(2)當給出函數值求自變量的值時,先假設所求的值在分段函數定義區(qū)間的各段上,然后求出相應自變量的值,切記要代入檢驗,看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍.15、【解析】
利用公式計算出,其中為的周長,為內切圓半徑,再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標.【詳解】由已知,,,,設內切圓的圓心為,半徑為,則,故有,解得,由,或(舍),所以的內切圓方程為.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中三角形內切圓的方程問題,涉及到橢圓焦點三角形、橢圓的定義等知識,考查學生的運算能力,是一道中檔題.16、【解析】初始條件成立方;運行第一次:成立;運行第二次:不成立;輸出的值:結束所以答案應填:考點:1、程序框圖;2、定積分.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)依據能成立問題知,,然后利用絕對值三角不等式求出的最小值,即求得的取值范圍;(2)按照零點分段法解含有兩個絕對值的不等式即可。【詳解】因為不等式有實數解,所以因為,所以故。①當時,,所以,故②當時,,所以,故③當時,,所以,故綜上,原不等式的解集為。【點睛】本題主要考查不等式有解問題的解法以及含有兩個絕對值的不等式問題的解法,意在考查零點分段法、絕對值三角不等式和轉化思想、分類討論思想的應用。18、(1);(2)1.【解析】
(1)由正弦定理化簡已知等式可得sinAsinB=sinBcosA,求得tanA=,結合范圍A∈(0,π),可求A=.(2)利用三角形的面積公式可求bc=8,由余弦定理解得b+c=7,即可得解△ABC的周長的值.【詳解】(1)由題意,在中,因為,由正弦定理,可得sinAsinB=sinBcosA,又因為,可得sinB≠0,所以sinA=cosA,即:tanA=,因為A∈(0,π),所以A=;(2)由(1)可知A=,且a=5,又由△ABC的面積2=bcsinA=bc,解得bc=8,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得:25=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,整理得(b+c)2=49,解得:b+c=7,所以△ABC的周長a+b+c=5+7=1.【點睛】本題主要考查了正弦定理,三角形的面積公式,余弦定理在解三角形中的綜合應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于基礎題.19、(1)見解析(2)直線過定點.【解析】
(1)設出兩點的坐標,利用導數求得切線的方程,設出點坐標并代入切線的方程,同理將點坐標代入切線的方程,利用韋達定理求得線段中點的橫坐標,由此判斷出軸.(2)求得點的縱坐標,由此求得點坐標,求得直線的斜率,由此求得直線的方程,化簡后可得直線過定點.【詳解】(1)設切點,,,∴切線的斜率為,切線:,設,則有,化簡得,同理可的.∴,是方程的兩根,∴,,,∴軸.(2)∵,∴.∵,∴直線:,即,∴直線過定點.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查直線過定點問題,考查化歸與轉化的數學思想方法,屬于中檔題.20、(1)見解析;(2)(i)該農場若采用延長光照時間的方法,預計每年的利潤為426千元;(ii)若采用降低夜間溫度的方法,預計每年的利潤為424千元;(3)分布列見解析,.【解析】
(1)估計第一組數據平均數和第二組數據平均數來選擇.(2)對于兩種方法,先計算出每畝平均產量,再算農場一年的利潤.(3)估計頻率分布直方圖可知,增產明顯的大棚間數為5間,由題意可知,的可能取值有0,1,2,3,再算出相應的概率,寫出分布列,再求期望.【詳解】(1)第一組數據平均數為千斤/畝,第二組數據平均數為千斤/畝,可知第一組方法較好,所以采用延長光照時間的方法;((2)(i)對于采用延長光照時間的方法:每畝平均產量為千斤.∴該農場一年的利潤為千元.(ii)對于采用降低夜間溫度的方法:每畝平均產量為千斤,∴該農場一年的利潤為千元.因此,該農場若采用延長光照時間的方法,預計每年的利潤為426千元;若采用降低夜間溫度的方法,預計每年的利潤為424千元.(3)由圖可知,增產明顯的大棚間數為5間,由題意可知,的可能取值有0,1,2,3,;;;.所以的分布列為0123所以.【點睛】本題主要考查樣本估計總體和離散型隨機變量的分布列,還考查了數據處理和運算求解的能力,屬于中檔題.21、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據線面垂直的性質定理,可得DE//BF,然后根據勾股定理計算可得BF=DE,最后利用線面平行的判定定理,可得結果.(2)利用建系的方法,可得平面ABF的一個法向量為,平面CDF的法向量為,然后利用向量的夾角公式以及平方關系,可得結果.【詳解】(1)因為DE⊥平面ABCD,所以DEAD,因為AD=4,AE=5,DE=3,同理BF=3,又DE⊥平面ABCD,BF⊥平面ABCD,所以DE//BF,又BF=DE,所以平行四邊形BEDF,故DF//BE,因為BE平面BCE,DF平面BCE所以DF//平面BCE;(2)建立如圖空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),F(4,3,﹣3),,設平面CDF的法向量為,由,令x=3,得,易知平面ABF的一個法向量為,所以,故.【點睛】本題考查線面平行的判定以及利用建系方法解決面面角問題,屬基礎題.22、(1)個;(1)存在,.【解析】試題分析:(1)設,對其求導,及最小值,從而得到的解析式,進一步求值
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