平面向量的數(shù)量積坐標表示課件

平面向量的數(shù)量積坐標表示ppt課件BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA目錄CONTENTS平面向量數(shù)量積的定義平面向量數(shù)量積的坐標表示平面向量數(shù)量積的應用平面向量數(shù)量積的運算律平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01平面向量數(shù)量積的定義定義平面向量數(shù)量積是一個標量，定義為兩個向量的模長之積與它們夾角的余弦值的乘積，記作$mathbf{a}cdotmathbf=|a||b|costheta$。公式平面向量數(shù)量積的坐標表示公式為$mathbf{a}cdotmathbf=a_1b_1+a_2b_2$，其中$mathbf{a}=(a_1,a_2)$，$mathbf=(b_1,b_2)$。定義及公式幾何意義表示向量$mathbf{a}$和$mathbf$的模長之積與它們夾角的余弦值的乘積，即點乘的幾何意義是兩個向量在垂直方向上的投影的乘積。在平面直角坐標系中，點乘可以表示為兩個向量在x軸和y軸上的投影的乘積之和。性質(zhì)數(shù)量積滿足交換律和分配律，即$mathbf{a}cdotmathbf=mathbfcdotmathbf{a}$和$(lambdamathbf{a})cdotmathbf=lambda(mathbf{a}cdotmathbf)=mathbf{a}cdot(lambdamathbf)$。定理如果兩個向量的數(shù)量積為0，則這兩個向量垂直。即如果$mathbf{a}cdotmathbf=0$，則$mathbf{a}perpmathbf$。性質(zhì)和定理BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02平面向量數(shù)量積的坐標表示定義平面向量$overset{longrightarrow}{a}=(x_1,y_1)$，$overset{longrightarrow}=(x_2,y_2)$，則$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}=x_1x_2+y_1y_2$。解釋數(shù)量積定義為兩個向量的對應坐標的乘積之和。坐標表示公式非負性$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}geq0$，當且僅當$overset{longrightarrow}{a}$與$overset{longrightarrow}$同向或反向時取等號。交換律$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}=overset{longrightarrow}cdotoverset{longrightarrow}{a}$。分配律$(overset{longrightarrow}{a}+overset{longrightarrow})cdotoverset{longrightarrow}{c}=overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}{c}+overset{longrightarrow}cdotoverset{longrightarrow}{c}$。坐標運算性質(zhì)向量數(shù)量積的性質(zhì)若$overset{longrightarrow}{a}=(x_1,y_1)$，$overset{longrightarrow}=(x_2,y_2)$，則$|overset{longrightarrow}{a}|=sqrt{x_1^2+y_1^2}$，$|overset{longrightarrow}|=sqrt{x_2^2+y_2^2}$，且$costheta=frac{overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}}{|overset{longrightarrow}{a}|cdot|overset{longrightarrow}|}$。向量數(shù)量積與夾角的關系向量$overset{longrightarrow}{a}$與$overset{longrightarrow}$的夾角為$theta$，則$costheta=frac{overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}}{|overset{longrightarrow}{a}|cdot|overset{longrightarrow}|}$。坐標運算定理BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03平面向量數(shù)量積的應用通過數(shù)量積，可以計算向量的模長，即向量的大小。向量的模長計算向量的夾角計算向量的投影長度計算向量的垂直與平行判斷通過兩個向量的數(shù)量積，可以計算這兩個向量之間的夾角。通過數(shù)量積，可以計算一個向量在另一個向量上的投影長度。如果兩個向量的數(shù)量積為0，則這兩個向量垂直；如果數(shù)量積不為0，則這兩個向量不垂直。在解析幾何中的應用在物理中，力是一個向量，通過數(shù)量積可以計算合力與分力的大小和方向。力的合成與分解在物理中，動量和沖量都是向量的概念，通過數(shù)量積可以計算它們的值。動量與沖量在物理中，功和功率都是標量，可以通過向量的數(shù)量積來計算。功與功率在電場和磁場中，電場強度和磁場強度都是向量，通過數(shù)量積可以計算電場力和磁場力的大小和方向。電場與磁場在物理中的應用在矩陣乘法中，數(shù)量積的概念被廣泛應用，它是矩陣乘法的基礎。矩陣的乘法在特征值與特征向量的計算中，需要用到向量的數(shù)量積。特征值與特征向量在正交矩陣和正交變換中，需要用到向量的數(shù)量積來判斷向量是否正交。正交矩陣與正交變換在投影矩陣和投影變換中，需要用到向量的數(shù)量積來計算投影向量和投影矩陣。投影矩陣與投影變換在線性代數(shù)中的應用BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA04平面向量數(shù)量積的運算律平面向量數(shù)量積的交換律是指數(shù)量積的結果不依賴于向量的排列順序。總結詞根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，對于任意兩個向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}$，有$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}=overset{longrightarrow}cdotoverset{longrightarrow}{a}$，即交換兩個向量的位置，數(shù)量積的結果不變。詳細描述交換律總結詞：平面向量數(shù)量積的結合律是指數(shù)量積的結果不依賴于括號的位置。詳細描述：根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，對于任意三個向量$\overset{\longrightarrow}{a}$、$\overset{\longrightarrow}$和$\overset{\longrightarrow}{c}$，有$(\overset{\longrightarrow}{a}+\overset{\longrightarrow})\cdot\overset{\longrightarrow}{c}=\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{c}+\overset{\longrightarrow}\cdot\overset{\longrightarrow}{c}$，即改變括號的位置，數(shù)量積的結果不變。結合律總結詞平面向量數(shù)量積的數(shù)乘律是指數(shù)量積結果與標量乘法的結合律。詳細描述根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，對于任意向量$overset{longrightarrow}{a}$和標量$k$，有$koverset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}=k(overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow})=overset{longrightarrow}{a}cdotkoverset{longrightarrow}$，即標量與向量的乘法滿足結合律，數(shù)量積結果不變。數(shù)乘律BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA05平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)分配律分配律對于任意向量$overset{longrightarrow}{a}$、$overset{longrightarrow}$和實數(shù)$λ$，有$λ(overset{longrightarrow}{a}+overset{longrightarrow})=λoverset{longrightarrow}{a}+λoverset{longrightarrow}$。解釋分配律表明向量數(shù)量積對于標量乘法和向量加法是可分配的，即標量可以分配到向量的每一部分。非零向量的數(shù)量積為零若$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}=0$且$overset{longrightarrow}{a}neqoverset{longrightarrow}{0}$，則$overset{longrightarrow}=overset{longrightarrow}{0}$。向量積為零的性質(zhì)若$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}=0$，則$overset{longrightarrow}{a}$與$overset{longrightarrow}$垂直。解釋這些性質(zhì)表明向量數(shù)量積為零時，兩個向量之間的關系。向量積的性質(zhì)向量積的交換律$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}=overset{longrightarrow}cdotoverset{longrightarrow}{a}$。向量積的結合律$(overset{longrightarrow}{a}+ov