遞推式求數(shù)列通項公式常見類型及解法

遞推式求數(shù)列通項公式常見類型及解法對于由遞推式所確定的數(shù)列通項公式問題，通?？赏ㄟ^對遞推式的變形轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，也可以通過構(gòu)造把問題轉(zhuǎn)化。下面分類說明。一、型例1（1）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（1）解：由得則所以數(shù)列的通項公式為（2）解：由得則所以二、型例2.（1）求數(shù)列的通項公式。（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：當，即當，所以。三、型例3.在數(shù)列中，，求。解法1：設(shè)，對比，得。于是，得，以3為公比的等比數(shù)列。所以有。解法2：又已知遞推式，得上述兩式相減，得，因此，數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列。所以，所以。四、型例4.（1）設(shè)數(shù)列，求通項公式。（2）在數(shù)列中，，求。解：設(shè)，則，，所以，即。設(shè)這時，所以。由于{bn}是以3為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以有。由此得：。五．形如（為常數(shù)）例11（1）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以又，所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式，即先將等式兩邊取常用對數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而六．形如的數(shù)列如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程.（1）當特征方程有兩個相同的根（稱作特征根）時，若則若，則其中特別地，當存在使時，無窮數(shù)列不存在.（是首項為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得）（2）當特征方程有兩個相異的根、（稱作特征根）時，則，其中（是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得）證明：先證明定理的第（1）部分.作交換則①∵是特征方程的根，∴將該式代入①式得②將代入特征方程可整理得這與已知條件矛盾.故特征方程的根于是③當，即=時，由②式得故當即時，由②、③兩式可得此時可對②式作如下變化：④由是方程的兩個相同的根可以求得∴將此式代入④式得令則故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.∴其中當時，當存在使時，無意義.故此時，無窮數(shù)列是不存在的.再證明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有兩個相異的根、，∴其中必有一個特征根不等于，不妨令于是可作變換故，將代入再整理得⑤由第（1）部分的證明過程知不是特征方程的根，故故所以由⑤式可得：⑥∵特征方程有兩個相異根、方程有兩個相異根、，而方程與方程又是同解方程.∴將上兩式代入⑥式得當即時，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為.此時對于都有當即時，上式也成立.由且可知所以(證畢)注:當時,會退化為常數(shù);當時,可化歸為較易解的遞推關(guān)系,在此不再贅述.例3．（1）已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式.解：其特征方程為，又是以為首項，為公比的等比數(shù)列（2）已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）∵對于都有（2）∵∴∴令則∴對于∴七．形如是常數(shù)）的數(shù)列可以變形為，就是，則可從，解得，于是是公比為的等比數(shù)形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征方程為…①若①有二異根，則可令是待定常數(shù)）若①有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進而求得例1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得，例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得，八、利用數(shù)學歸納法求通項公式例12已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論。（1）當n=1時，，所以等式成立。（2）假設(shè)當n=k時等式成立，即，則當時，由此可知，當n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）（2）可知，等式對任何評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項，進而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學歸納法加以證明。九、利用換元法求通項公式例13已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項，