數(shù)列通項公式奇數(shù)項偶數(shù)項分段的類型

學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載數(shù)列通項公式奇數(shù)項偶數(shù)項分段的類型例76數(shù)列{an}的首項a1＝1，且對任意n∈N，an與an＋1恰為方程x2－bnx＋2n＝0的兩個根.(Ⅰ)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式；(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解：(Ⅰ)由題意n∈N*，an·an＋1＝2n∴eq\f(an＋1·an＋2,an·an＋1)＝eq\f(an＋2,an)＝eq\f(2n＋1,2n)＝2'(1分)又∵a1·a2＝2'a1＝1'a2＝2∴a1，a3，…，a2n－1是前項為a1＝1公比為2的等比數(shù)列，a2，a4，…，a2n是前項為a2＝2公比為2的等比數(shù)列∴a2n－1＝2n－1'a2n＝2n'n∈N*即an＝又∵bn＝an＋an＋1當n為奇數(shù)時，bn＝2eq\f(n－1,2)＋2eq\f(n＋1,2)＝3·2eq\f(n－1,2)當n為偶數(shù)時，bn＝2eq\f(n,2)＋2eq\f(n,2)＝2·2eq\f(n,2)∴bn＝(Ⅱ)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn當n為偶數(shù)時，Sn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝eq\f(3－3·2\f(n,2),1－2)＋eq\f(4－4·2\f(n,2),1－2)＝7·2eq\f(n,2)－7(當n為奇數(shù)時，Sn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝Sn－1＋bn＝10·2eq\f(n－1,2)－7(Sn＝例77數(shù)列的通項，其前n項和為.(1)求;(2)求數(shù)列｛｝的前n項和.解:(1)由于,故,故()(2)兩式相減得故例78數(shù)列(Ⅰ)求并求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)設(shè)證明：當.解:(Ⅰ)因為所以一般地，當時，＝，即所以數(shù)列是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，因此當時，所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項公式為(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①-②得，所以要證明當時，成立，只需證明當時，成立.證法一(1)當n=6時，成立.(2)假設(shè)當時不等式成立，即則當n=k+1時，由(1)、(2)所述，當n≥6時，.即當n≥6時，證法二令，則所以當時，.因此當時，于是當時，綜上所述，當時，例79設(shè)個不全相等的正數(shù)依次圍成一個圓圈．（Ⅰ）若，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項和滿足：，求通項；解：因是公比為d的等比數(shù)列，從而由，故解得或（舍去）。因此又。解得從而當時，當時，由是公比為d的等比數(shù)列得因此例80已知數(shù)列SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。中，SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。與SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。都是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。前SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。的和SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。；（3）若數(shù)列SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。前SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。的和為SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。，不等式SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。對SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。恒成立，求SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。的最大值。解：（1）∵SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。，∴SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。 2分∴數(shù)列SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。是以1為首項，SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列；數(shù)列SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。是以SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。為首項，SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列。 4分（2）SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。 9分（3）SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。當且僅當SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。時取等號，所以SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。，即SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。，∴SKIPIF1<0錯誤！未找到引用源。的最大值為－48例82.在單調(diào)遞增數(shù)列中，，，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，．（1）分別計算，和，的值；（2）求數(shù)列的通項公式（將用表示）；（3）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：，．解：（1）由已知，得，，，．（2）∵成等差數(shù)列，∴，；∵成等比數(shù)列，∴，．又，，，……；，，，……∴猜想，，，…以下用數(shù)學歸納法證明之．①當時，，，猜想成立；②假設(shè)時，猜想成立，即，，那么，．∴時，猜想也成立．由①②，根據(jù)數(shù)學歸納法原理，對任意的，猜想成立．∴，．∴當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，．即數(shù)列的通項公式為．（3）由（2），得．顯然，；當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)（）時，.綜上所述，，．例83已知等比數(shù)列的公比為，首項為，其前項的和為．數(shù)列的前項的和為，數(shù)列的前項的和為．（1）若，，求的通項公式；（2）①當為奇數(shù)時，比較與的大??；②當為偶數(shù)時，若，問是否存在常數(shù)（與n無關(guān)），使得等式恒成立，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解:(1)∵,∴∴或∴，或.(2)∵常數(shù)，=常數(shù)，∴數(shù)列，均為等比數(shù)列，首項分別為，，公比分別為，．①當為奇數(shù)時，當時,，，,∴.當時,，，,∴