考研數(shù)學(xué)考前必背常考公式集錦(高等數(shù)學(xué)篇)

2016考研數(shù)學(xué)考前必背：?？脊郊\（高等數(shù)學(xué)篇）離考試還有最后幾天，跨考教育數(shù)學(xué)教研室牛老師為考生整理了2016年數(shù)學(xué)考研考前必背?？脊郊\。希望對(duì)考生最后沖刺復(fù)習(xí)有所幫助。本文內(nèi)容為高數(shù)的?？脊絽R總。1、無(wú)窮小的比較設(shè)在某極限過(guò)程中，函數(shù)都為無(wú)窮小量，并且都不為.若，則稱(chēng)當(dāng)時(shí)，為的高階無(wú)窮小量，或?yàn)榈牡碗A無(wú)窮小量，記作；若，則稱(chēng)當(dāng)時(shí)，與同階無(wú)窮小量，若，則稱(chēng)當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小量，記作.階無(wú)窮?。涸O(shè)在某極限過(guò)程中，函數(shù)都為無(wú)窮小量，并且都不為.若，則稱(chēng)當(dāng)時(shí)，是的階無(wú)窮小.2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：設(shè)函數(shù)與均可導(dǎo)，則，，.3、常用函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式（1）（2）（3）（4）（5）（6）4、五個(gè)常用的麥克勞林公式，在與0之間.在與0之間.在與0之間.在與0之間.在與0之間.5、極值第一充分條件：設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，并在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo).①若時(shí)而時(shí)則在處取得極大值；②若時(shí)而時(shí)則在處取得極小值；③若時(shí)，符號(hào)保持不變，則在處不能取到極值.第二充分條件：設(shè)函數(shù)在處存在二階導(dǎo)數(shù)且，①若則在處取得極小值；②若則在處取得極大值；③若則在處是否取極值未知.6、基本積分公式（1），（2）（3）（4），（5），（6），（7）7、定積分的性質(zhì)1）規(guī)定：（1）（2）2）線性性質(zhì)（1），（2），為常數(shù)3）4）區(qū)間可加性：注：不要求，只要和都存在就可以使用定積分的區(qū)間可加性.5）比較定理：（1）若在區(qū)間上恒有，則有；推論：（1）若在區(qū)間上恒有，則有（2）（3）估值定理：設(shè)為函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，則有：（4）積分中值定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得8、微積分基本定理1）內(nèi)容：（1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積，令稱(chēng)為變上限積分（積分上限函數(shù)）.（2）變上限積分的導(dǎo)數(shù)：定理：若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則變上限積分在上可導(dǎo)，且（3）牛頓——萊布尼茲公式：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則2）計(jì)算導(dǎo)函數(shù)（1）（2）（3）（4）9、平面圖形的面積1）直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積形式計(jì)算公式2）極坐標(biāo)系下平面圖形的面積在極坐標(biāo)系下，由直線和和曲線所圍圖形的面積為.簡(jiǎn)單幾何體的體積1）平行截面面積已知立體圖形的體積立體在過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的兩個(gè)平面之間，以表示過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的截面面積.則所求立體的體積為：2）旋轉(zhuǎn)體的體積由連續(xù)曲線、直線及軸所圍曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.該立體的體積為：.10、偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，把固定在而在處有增量，相應(yīng)的函數(shù)有增量，若極限存在，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)存在，并定義此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)，記作.類(lèi)似地，可以定義函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)，記作.全微分：若函數(shù)在點(diǎn)的全增量可表示為，其中、僅依賴(lài)于而與、無(wú)關(guān)，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)可微，其中稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記作，即.11、極值的充分條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階及二階偏導(dǎo)數(shù)，又設(shè).令（1）若，則函數(shù)在點(diǎn)具有極值.當(dāng)時(shí)取得極小值；當(dāng)時(shí)取得極大值.（2）若，則函數(shù)在點(diǎn)不能取到極值.（3）若，則函數(shù)在點(diǎn)可能有極值，也可能沒(méi)有極值.條件極值1）函數(shù)在條件下的極值，稱(chēng)為條件極值，其中函數(shù)稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)，稱(chēng)為約束條件.2）拉格朗日乘數(shù)法：對(duì)條件極值給出解題方法：（1）作拉格朗日函數(shù)：（2）解方程組：（本質(zhì)是找三元函數(shù)的駐點(diǎn)）（3）根據(jù)實(shí)際條件判斷所求出的點(diǎn)是極大值還是極小值.12、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)相互之間的轉(zhuǎn)化公式直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)相互之間的轉(zhuǎn)化公式為：，其中.極坐標(biāo)下二重積分計(jì)算公式：極坐標(biāo)適用范圍：積分區(qū)域邊界為圓或與圓相關(guān)圖形（扇形，環(huán)形等）；被積函數(shù)可寫(xiě)成或被積函數(shù)中多次出現(xiàn).模棱兩可時(shí)用極坐標(biāo).對(duì)稱(chēng)性?。┤舴e分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且被積函數(shù)是關(guān)于變量的奇函數(shù)，則積分值為零；若積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且被積函數(shù)是關(guān)于變量的偶函數(shù)，則積分值為等于第一二象限積分的兩倍.ⅱ）若積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且被積函數(shù)是關(guān)于變量的奇函數(shù)，則積分值為零；若積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且被積函數(shù)是關(guān)于變量的偶函數(shù)，則積分值為等于第一四象限積分的兩倍.ⅲ）特別地，若積分區(qū)域關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)關(guān)于兩個(gè)變量都是偶函數(shù)，則積分值等于第一象限內(nèi)的積分的四倍.ⅳ）輪換對(duì)稱(chēng)性：若設(shè)將積分區(qū)域的變量交換之后的區(qū)域?yàn)?，則有.特別地，當(dāng)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)時(shí)，，此時(shí)則有.13、球面坐標(biāo)系下的三重積分計(jì)算：球面坐標(biāo)通過(guò)三個(gè)變量式來(lái)確定三維空間中的點(diǎn).其中為點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定了該距離后，該點(diǎn)就被限制在了一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的球面上；和是兩個(gè)角度：將平面部分的半平面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過(guò)該點(diǎn)時(shí)，所轉(zhuǎn)過(guò)的角度即為，可見(jiàn)，的作用類(lèi)似于地球儀上的經(jīng)度；將該點(diǎn)與原點(diǎn)連接，該連線與軸正半軸的夾角即為，可見(jiàn)的作用類(lèi)似于緯度（只不過(guò)這個(gè)緯度是以南緯90度作為0度的）.它與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式為.三重積分球面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式：當(dāng)被積函數(shù)中形如或，積分區(qū)域?yàn)榍蝮w、錐體時(shí)，可考慮用球面坐標(biāo).14、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分計(jì)算方法:=1\*GB3①設(shè)曲線的參數(shù)式為，則有計(jì)算公式：15、格林公式：設(shè)閉區(qū)域由分段光滑曲線圍成，函數(shù)及在上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有：，其中曲線取正向邊界.注：1）在運(yùn)用時(shí)要注意檢驗(yàn)及是否具有所需的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)2）是閉合的3）正向定義：沿著曲線的方向走時(shí)，閉區(qū)域在其左手邊16、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算方法：計(jì)算的原則是代入、投影解題思路：首先將積分曲面轉(zhuǎn)化為，再將轉(zhuǎn)化為，最后再確定曲面在平面上的投影即可.17、高斯定理：設(shè)空間閉區(qū)域是由分塊光滑的閉曲面圍成的，函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有其中,是關(guān)于的外側(cè).18、斯托克斯公式：設(shè)是分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分片光滑有向曲面，與的方向符合右手規(guī)則（當(dāng)拇指以外的四指沿著的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，拇指所指的方向與上法向量的指向一致），函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有.19、二階常系數(shù)線性微分方程的求解若二階線性微分方程中函數(shù)均恒為常數(shù)，則稱(chēng)該方程為二階常系數(shù)線性微分方程.我們下面討論這類(lèi)方程的解法，也即形如的方程的求解.先求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程：寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的特征方程求出特征方程的兩個(gè)根.根據(jù)的不同形式，我們有如下的公式：的兩個(gè)根微分方程的通解為兩個(gè)不同實(shí)根為兩個(gè)相同實(shí)根為一對(duì)共軛復(fù)根再求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：該方程的通解為，其中為齊次線性微分方程的通解，為非齊次線性微分方程的特解.下面討論的求法形式條件所設(shè)特解形式為次多項(xiàng)式0不是特征根（為次多項(xiàng)式）0是單特征根0是重特征根為次多項(xiàng)式不是特征根是單特征根是重特征根不是特征根（，為次多項(xiàng)式）是特征根20、（比較審斂法）設(shè)與均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若除了有限項(xiàng)以外，均有成立，則若收斂則也收斂，若發(fā)散，則也發(fā)散.推論1：設(shè)與均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，假設(shè)存在使得當(dāng)時(shí)有成立.則有，若收斂則也收斂，若發(fā)散，則也發(fā)散.推論2（極限形式）：設(shè)與均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，則與同斂散當(dāng)時(shí)，若收斂則收斂.若發(fā)散則發(fā)散當(dāng)時(shí)，若收斂則收斂.若發(fā)散則發(fā)散(3)