工程數(shù)學(xué)概率(一)

工程數(shù)學(xué)概率(一)CONTENTS概率論基本概念條件概率與獨(dú)立性一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量數(shù)字特征大數(shù)定律與中心極限定理概率論基本概念01在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象。在每次試驗中都一定發(fā)生的事件。在每次試驗中都不可能發(fā)生的事件。隨機(jī)現(xiàn)象的某些基本結(jié)果組成的集合。隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)事件必然事件不可能事件隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件隨機(jī)現(xiàn)象所有可能基本結(jié)果組成的集合。樣本空間的某些子集組成的集合類，滿足一定條件。包含、相等、和事件、積事件、差事件、互斥事件、對立事件等。樣本空間事件域事件的關(guān)系與運(yùn)算樣本空間與事件域概率定義在相同條件下進(jìn)行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的頻率m/n會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率。概率性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性、可加性。概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。概率定義及性質(zhì)古典概型01如果每個樣本點(diǎn)發(fā)生的概率相等，則稱這種概率模型為古典概率模型，簡稱古典概型。幾何概型02如果每個樣本點(diǎn)發(fā)生的概率只與其幾何度量（如長度、面積、體積等）成比例，則稱這種概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型。古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系03主要區(qū)別在于樣本點(diǎn)的選取方式和概率計算方式不同；聯(lián)系在于它們都是描述隨機(jī)現(xiàn)象的模型，且在某些情況下可以相互轉(zhuǎn)化。古典概型與幾何概型條件概率與獨(dú)立性02在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同時發(fā)生的概率，P(B)表示事件B發(fā)生的概率。條件概率定義及計算條件概率的計算公式條件概率定義乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)，用于計算兩個事件同時發(fā)生的概率。全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn構(gòu)成一個完備事件組，且都有正概率，則對任意一個事件A，有P(A)=ΣP(Bi)P(A|Bi)，其中i從1到n求和。乘法公式與全概率公式貝葉斯公式及其應(yīng)用貝葉斯公式P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)/ΣP(Bj)P(A|Bj)，其中i,j從1到n求和，用于計算條件概率。貝葉斯公式的應(yīng)用在已知某些條件下，預(yù)測另一事件的發(fā)生概率，如垃圾郵件分類、疾病診斷等。事件獨(dú)立性的判斷方法通過比較P(AB)與P(A)P(B)是否相等來判斷兩個事件是否獨(dú)立。事件獨(dú)立性的應(yīng)用在復(fù)雜系統(tǒng)中，通過判斷事件的獨(dú)立性來簡化概率計算，如賭博游戲中的策略制定、通信網(wǎng)絡(luò)中的可靠性分析等。事件獨(dú)立性定義如果事件A的發(fā)生與否對事件B的發(fā)生概率沒有影響，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。事件獨(dú)立性判斷及應(yīng)用一維隨機(jī)變量及其分布03隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點(diǎn)映射到一個實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量具有可測性、單調(diào)性和有界性等基本性質(zhì)。隨機(jī)變量的性質(zhì)隨機(jī)變量定義及性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的分布律描述了隨機(jī)變量取各個可能值的概率。分布律的定義離散型隨機(jī)變量的分布律可以用概率質(zhì)量函數(shù)或概率分布表來表示。分布律的表示二項分布、泊松分布、幾何分布等。常見離散型隨機(jī)變量分布離散型隨機(jī)變量分布律分布函數(shù)的定義連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)描述了隨機(jī)變量在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。分布函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有單調(diào)不減、右連續(xù)等性質(zhì)。連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)均勻分布均勻分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量分布，它在某個區(qū)間內(nèi)的取值概率是相等的。指數(shù)分布指數(shù)分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量分布，它描述了一些具有無記憶性的隨機(jī)現(xiàn)象，如電子元件的壽命等。二項分布和泊松分布二項分布和泊松分布是離散型隨機(jī)變量中常見的兩種分布，分別描述了n次獨(dú)立重復(fù)試驗中成功次數(shù)的概率分布和單位時間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)概率分布。正態(tài)分布正態(tài)分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量分布，它具有鐘形曲線的特點(diǎn)，且均值和標(biāo)準(zhǔn)差決定了曲線的位置和形狀。常見一維隨機(jī)變量分布多維隨機(jī)變量及其分布04描述多維隨機(jī)變量取值情況的函數(shù)，表示所有隨機(jī)變量同時取某組值的概率。離散型多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律用概率質(zhì)量函數(shù)表示，連續(xù)型多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律用概率密度函數(shù)表示。非負(fù)性、規(guī)范性、可加性。聯(lián)合分布函數(shù)定義聯(lián)合分布律聯(lián)合分布性質(zhì)多維隨機(jī)變量聯(lián)合分布邊緣分布多維隨機(jī)變量中，某一隨機(jī)變量的分布律，即固定其他隨機(jī)變量的取值后得到的該隨機(jī)變量的分布律。條件分布在多維隨機(jī)變量中，當(dāng)已知部分隨機(jī)變量的取值時，剩余隨機(jī)變量的分布律。條件分布反映了在已知某些信息的情況下，剩余隨機(jī)變量的不確定性。邊緣分布與條件分布獨(dú)立性定義若多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律等于各邊緣分布律的乘積，則稱這些隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。獨(dú)立性判斷通過比較聯(lián)合分布律與邊緣分布律的乘積來判斷多維隨機(jī)變量的獨(dú)立性。若兩者相等，則隨機(jī)變量獨(dú)立；否則，隨機(jī)變量不獨(dú)立。多維隨機(jī)變量獨(dú)立性VS在矩形區(qū)域內(nèi)，二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為常數(shù)，且在該區(qū)域外為零。二維正態(tài)分布二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)呈鐘形曲線，且其等高線為橢圓形。二維正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)，如可加性、獨(dú)立性和穩(wěn)定性等。在實(shí)際應(yīng)用中，許多自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象都服從或近似服從二維正態(tài)分布。二維均勻分布常見多維隨機(jī)變量分布隨機(jī)變量數(shù)字特征05描述隨機(jī)變量取值的平均水平，是概率加權(quán)下的平均值。線性性質(zhì)、常數(shù)性質(zhì)、獨(dú)立性、單調(diào)性等。二項分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。數(shù)學(xué)期望定義數(shù)學(xué)期望性質(zhì)常見分布的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望定義及性質(zhì)方差定義方差、標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差描述隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度，是各數(shù)值與其平均數(shù)差值的平方和的平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差定義方差的算術(shù)平方根，反映組內(nèi)個體間的離散程度。衡量兩個隨機(jī)變量的總體誤差，反映兩個變量線性相關(guān)的程度。協(xié)方差定義相關(guān)系數(shù)和矩、協(xié)方差矩陣反映兩個隨機(jī)變量線性相關(guān)程度的統(tǒng)計量，取值范圍為[-1,1]。矩定義描述隨機(jī)變量分布形態(tài)的特征數(shù)，包括原點(diǎn)矩和中心矩。協(xié)方差矩陣定義描述多個隨機(jī)變量間相關(guān)關(guān)系的矩陣，對角線元素為各隨機(jī)變量的方差，非對角線元素為兩兩隨機(jī)變量間的協(xié)方差。相關(guān)系數(shù)定義03特征函數(shù)與母函數(shù)關(guān)系特征函數(shù)是母函數(shù)的連續(xù)化推廣，母函數(shù)是特征函數(shù)在離散情況下的特例。01特征函數(shù)定義用于描述隨機(jī)變量概率分布的函數(shù)，包括概率密度函數(shù)、分布函數(shù)、特征函數(shù)等。02母函數(shù)定義一種描述離散隨機(jī)變量概率分布的函數(shù)，其自變量為離散隨機(jī)變量的取值，函數(shù)值為該取值的概率。特征函數(shù)和母函數(shù)大數(shù)定律與中心極限定理06大數(shù)定律內(nèi)容及意義大數(shù)定律是描述隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的定理，即當(dāng)試驗次數(shù)足夠多時，隨機(jī)事件的頻率趨于一個穩(wěn)定值。內(nèi)容大數(shù)定律為概率論提供了堅實(shí)的理論基礎(chǔ)，使得我們可以從頻率的角度去理解和定義概率。同時，在實(shí)際應(yīng)用中，大數(shù)定律也為我們提供了估算和預(yù)測隨機(jī)事件概率的方法。意義中心極限定理是指，當(dāng)隨機(jī)變量的數(shù)量足夠多時，這些隨機(jī)變量的均值分布將趨近于正態(tài)分布，無論這些隨機(jī)變量本身服從什么分布。中心極限定理是概率論和數(shù)理統(tǒng)計中的重要定理之一，它揭示了大量隨機(jī)變量和的分布規(guī)律。在實(shí)際應(yīng)用中，中心極限定理為我們提供了分析和處理大量隨機(jī)數(shù)據(jù)的理論依據(jù)和方法。內(nèi)容意義中心極限定理內(nèi)容及意義設(shè)隨機(jī)變量序列{Xn}和隨機(jī)變量X分布在相同的概率空間上，如果對于任意正數(shù)ε，有l(wèi)im(n→∞)P(|Xn-X|≥ε)=0，則稱{Xn}依概率收斂于X。設(shè)隨機(jī)變量序列{Xn}和隨機(jī)變量X的分布函數(shù)分別為Fn(x)和F(x)，如果對于F(x)的每一個連續(xù)點(diǎn)x，都有l(wèi)im(n→∞)Fn(x)=F(x)，則稱{Xn}依分布收斂