分類討論思想

常用數(shù)學(xué)思想方法（2）

——分類討論思想第2講分類討論思想分類討論的思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略．分類討論思想可以優(yōu)化解題思路，降低問題難度．1.分類討論思想分類討論思想是將問題已知條件涉及的集合劃分為若干子集，在各個(gè)子集內(nèi)分別討論問題的局部解，然后通過組合各局部解而得到原問題的解答的思想方法。2．分類討論的常見類型(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等；(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等；(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等；(4)由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等；(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法；(6)由實(shí)際意義引起的討論：此類問題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問題時(shí)常用．3．分類討論的原則(1)不重不漏；(2)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明；(3)能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論．4．解分類問題的步驟(1)確定分類討論的對(duì)象：即對(duì)哪個(gè)變量或參數(shù)進(jìn)行分類討論；(2)對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理的分類；(3)逐類討論：即對(duì)各類問題詳細(xì)討論，逐步解決；(4)歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納．5.簡化分類討論的策略正難則反；換元法；數(shù)形結(jié)合等.6.什么情況下用分類討論思想當(dāng)解答問題時(shí)不能很明確說明，即說不清楚時(shí)就要進(jìn)行分類討論。分類討論思想方法的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)概念的分類方法

數(shù)學(xué)中的許多概念是分類定義的，比如：直線的斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，與這些數(shù)學(xué)概念有關(guān)的問題往往需要根據(jù)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行分類、從而全面完整地解決問題．2、運(yùn)算需要分類討論的類型

分類討論的許多問題是由運(yùn)算的需要引發(fā)的，比如：除法運(yùn)算中分母是否為

0；解方程、不等式中的恒等變形；用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性時(shí)導(dǎo)數(shù)正負(fù)的討論；對(duì)數(shù)運(yùn)算中底數(shù)是否大于1；數(shù)列運(yùn)算中對(duì)公差、公比限制條件的討論等，如果運(yùn)算需要對(duì)不同情況作出解釋，就要進(jìn)行分類討論．3、圖形變化引起分類討論的類型一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的變化；函數(shù)問題中區(qū)間的變化；函數(shù)圖象形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變化等．答案

C例題3.若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．分析：把零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，作函數(shù)的圖象時(shí)，注意對(duì)參數(shù)a的討論．解：設(shè)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)和函數(shù)y＝x＋a，則函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)的圖象與函數(shù)y＝x＋a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．由圖象可知(圖略)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合；當(dāng)a＞1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax(a＞1)的圖象過點(diǎn)(0,1)，而直線y＝x＋a的圖象與y軸的交點(diǎn)一定在點(diǎn)(0,1)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞1.[答案]

a＞1答案

B分析：(1)配方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域；(2)轉(zhuǎn)化為求g(x)在[0,3]上的值域問題．練習(xí)3.拋物線y2＝4px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OPF為等腰三角形，則這樣的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．2

B．3

C．4

D．6分析：根據(jù)題意討論P(yáng)點(diǎn)的位置，確定其滿足題設(shè)條件的個(gè)數(shù)．[答案]

C練習(xí)4．有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是________．解：根據(jù)條件，四根長為2的直鐵條與兩根長為a的直鐵條要組成三棱錐形的鐵架，有以下兩種情況：(1)底面是邊長為2的正三角形，三條側(cè)棱長為2，a，a如圖(1)，(2)構(gòu)成三棱錐的兩條對(duì)角線長為a，其他各邊長為2，如圖(2)，此時(shí)a＞0且a＜4，即0＜a＜4.綜上分析可知a∈(0,4)．答案

(0,4)圖(1)圖(2)練習(xí)5.等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項(xiàng)之和S3＝21，則公比q的值為________．練習(xí)6.已知a＞0，命題p：函數(shù)y＝ax(a≠1)在R上單調(diào)遞減，命題q：不等式|x－2a|＋x＞1的解集為R，若p和q有且只有一個(gè)是真命題，則a的取值范圍是________．人生的滿分

------潘西文人生中什么才是最重要的呢？勤奮

知識(shí)

運(yùn)氣

愛

金錢ABCDEFG1234567

HIJKLMN891011121314

OPQRST151617181920

UVWXYZ212223242526勤奮Hardwork8+1+18+4+23+15+18+11=98知識(shí)Knowledge11+14+15+23+12+5+4+7+5=96運(yùn)氣Luck12+21+3+11=47愛Love12+15+22+5=54金錢Money13+15+14+5+25=72態(tài)度Attitude1+20+20+9+20+21+4+5=100不一樣的態(tài)度造就不一樣的人生。很多時(shí)候人們都期望生活能獲得更好的變化，當(dāng)我們開始改變自己的態(tài)度時(shí)，這種變化就會(huì)發(fā)生。當(dāng)你對(duì)他人采取更友善的態(tài)度，就會(huì)覺得人們變得更加親切；當(dāng)你對(duì)挫折采取更積極的態(tài)度，就會(huì)發(fā)現(xiàn)原來在損失之外還有很大的收獲……

改變態(tài)度，你的人生就能獲得滿分！一位美國圣公會(huì)的主教曾這樣寫道年輕時(shí)浮想聯(lián)翩，立志要改變世界；當(dāng)我長大明事理，現(xiàn)實(shí)把理想破滅。于是我縮小目標(biāo)，改變國家就很好。但是看來，國家也難撼動(dòng)分毫當(dāng)我步入暮年，改變家庭是我愿?？捎H人卻不肯，聽從我任何意見?，F(xiàn)在走向墳?zāi)梗曳匠醮晤I(lǐng)悟。只有先改變自己，才能帶動(dòng)家庭進(jìn)步。有了他們的幫助，興許能讓國家走改革之路。誰知道，這改革之風(fēng)，不會(huì)吹遍世界各個(gè)過度？我的人行道有個(gè)洞一我走在大街上。有個(gè)深洞在人行道旁，我掉進(jìn)了深洞。我迷失。。。。。。我彷徨，這不是我的錯(cuò)。我花很長時(shí)間才回到地面上。

二我走在大街上。有個(gè)深洞在人行道旁，我沒看見------我假裝。我再次掉進(jìn)了深洞。我無法相信竟到達(dá)同一個(gè)地方，但這不是我的錯(cuò)。我仍然花了很長時(shí)間才回到地面上。

三我走在大街上。有個(gè)深洞在人行道旁，我看見它在那里。我又掉進(jìn)了深洞，這是習(xí)慣的力量。我知道我在