復(fù)變函數(shù)部分內(nèi)容的總結(jié)與習(xí)題

復(fù)變函數(shù)部分內(nèi)容的總結(jié)與習(xí)題復(fù)變函數(shù)局部?jī)?nèi)容的總結(jié)與習(xí)題

根本的冪級(jí)數(shù)綻開(kāi)式：11zz2zn(z1)1zz2zne1z(z)

2!n!zz3z2n1nsinzz(1)(z)

3!(2n1)!2nz2nzcosz1(1)(z)2!(2n)!冪級(jí)數(shù)的重要性質(zhì)：逐項(xiàng)求導(dǎo)

設(shè)f(z)01(zz0)2(zz0)2n(zz0)n則f(z)122(zz0)nn(zz0)n1

應(yīng)用：從已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)綻開(kāi)式求它的導(dǎo)數(shù)的冪級(jí)數(shù)綻開(kāi)式，例如，

112n112z3znz2(1z)1z求函數(shù)在指定點(diǎn)z0冪級(jí)數(shù)綻開(kāi)式:1.2.

1，z0b，abza1，z0b，ab2(za)(zb)33.，z0b，ab

za4.

zziizzi，提示：0z22z1(z1)2(z1)2z22z1zz21，z01提示：

(z1)(z2)(z1)(z2)z2z15.6.

1，z012z1

洛朗級(jí)數(shù)綻開(kāi)式{“Error“:{“code“:“8“,“Message“:“badrequest“,“LogId“:“1084180571“}}6.

1，0z22z(z2)1z(z2)37.

z0留意：在R1zR2內(nèi)綻開(kāi)的結(jié)果必需是zz0的正冪或負(fù)冪的和，即具有n，0z22(zz)形式。nn08.

1，0z222z(z2)9.

10z21

(z1)2(z2)10.求以下函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗展式：

ze，(z1)e，ze21z21z21z1111，(z1)e，z2sin，z2sin，(z1)2sin，

zz1z21z1111，(z1)2cos，(z22z)cosz2cos，z2coszz1zz

復(fù)變函數(shù)的積分

一、不解析函數(shù)的積分

利用曲線的參數(shù)方程，化成定積分計(jì)算。

起點(diǎn)是a，終點(diǎn)是b的直線段的參數(shù)方程:z(t)(1t)atb，0t1圓zar的參數(shù)方程：z(t)areit，0t2圓zr的參數(shù)方程：z(t)reit，0t2

設(shè)C是起點(diǎn)是1i，終點(diǎn)是23i的直線段或圓z1，計(jì)算1.2.3.4.

xdz，即Rezdz，

CCCydz，即Imzdz

Czdz

C(xiyC2)dz

二、解析函數(shù)在不閉合曲線上的積分，用原函數(shù)上下限計(jì)算，也可用參數(shù)方程化

定積分計(jì)算。1.

2iicoszdz

2.設(shè)C是圓z1從1到1反時(shí)針?lè)较?。z（11），lnz（ln10)是去掉原點(diǎn)和正實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)的單值解析函數(shù)分支，計(jì)算

Czdz，lnzdz

C三、解析函數(shù)在閉合曲線上的積分，用留數(shù)計(jì)算，等于曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)全部奇點(diǎn)的留數(shù)之和乘以2i。1.

z1z1dz3z(z4)e6z2.2dz

z16z5z13.

z21zdz2sinz221z4.

z1(1zz)edz

無(wú)窮限廣義積分的計(jì)算

一、有理函數(shù)，分母在實(shí)軸上不等于0，分母比分子至少高二次，從到

積分，等于上半平面奇點(diǎn)的留數(shù)之和乘以2i。1.

x(x21)(x22x2)dx

2.01x2dx41x二、在實(shí)軸上沒(méi)有零點(diǎn)的有理函數(shù)和三角函數(shù)的乘積公式當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，f(x)cosxdxf(x)eixdx，

當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，f(x)sinxdxif(x)eixdx

f(x)eixdx等于f(z)eiz在上半平面奇點(diǎn)的留數(shù)之和乘以2i。

xcosxx22x10dxxsinx2.dx

0x29

保形映射

1.映射的保角性指的是什么？什么映射具有保角性？

1.2.為什么分式線性函數(shù)具有保角性？

3.假如一個(gè)保形映射把ABC映射成FDE，那么BC映射成FDE的哪條邊？BA映射成FDE的哪條邊？

CED3030BAF

單葉（即一對(duì)一）解析函數(shù)的重要性質(zhì)：

把區(qū)域映射成區(qū)域，區(qū)域的邊界映射成邊界。

要確定映射成什么區(qū)域，首先確定它的邊界映射成什么曲線了。區(qū)域映射成曲線的內(nèi)或外，或左，或右。

問(wèn)題：

z1一、對(duì)于w，答復(fù)以下問(wèn)題。

z11.把實(shí)軸映射成什么？2.把實(shí)軸上[1,1]映射成什么？3.把實(shí)軸上[,1]映射成什么？4.把實(shí)軸上[1,]映射成什么？5.把z1映射成什么？6.把z1映射成什么？7.把z1映射成什么？

8.把半圓z1,Imz0映射成什么？9.把半圓z1,Imz0映射成什么？

10.把上半平面圓的外部區(qū)域z1,Imz0映射成什么？11.把虛軸Rez0映射成什么？

z1二、對(duì)于w，答復(fù)以下問(wèn)題。

zi1.把實(shí)軸映射成什么？2.把虛軸映射成什么？3.把z1映射成什么？輻角

●下面的條件分別表示什么集合？

argz0，argz，argz4，arg(zi)4，arg(zi)5，0argz44，0argz，0argz2

4●求值（寫(xiě)出實(shí)部、虛部）

0arg(zi)1i111i2i2i23i(13i)，(13i)/，esin(2i)，ecos(2i)，Lne，

22111212Ln(33i)

●求ez把區(qū)域映射成什么區(qū)域，就是求ez的模和輻角的取值范圍；●求lnz把區(qū)域映射成什么區(qū)域，就是求lnz的實(shí)部和虛部的取值范圍；

●下面的函數(shù)在什么點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)？求出導(dǎo)數(shù)。

2z1，zn，zz，x2yi(y2x)z2●求z(t)對(duì)t的導(dǎo)數(shù)。

z(t)eit，z(t)t2it3

●設(shè)lnz（ln1