工程數(shù)學(xué)-概率統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)明教程

工程數(shù)學(xué)-概率統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)明教程2023REPORTING概率論基本概念一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)字特征與特征函數(shù)大數(shù)定律與中心極限定理統(tǒng)計(jì)量及其分布目錄CATALOGUE2023PART01概率論基本概念2023REPORTING隨機(jī)事件在一定條件下，并不總是發(fā)生，也不總是不發(fā)生的事件。概率描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，取值范圍在0到1之間。古典概型等可能概率模型，事件發(fā)生的概率等于該事件包含的基本事件個(gè)數(shù)與全部基本事件個(gè)數(shù)之比。隨機(jī)事件與概率03乘法公式兩事件同時(shí)發(fā)生的概率等于其中一個(gè)事件發(fā)生的概率與在另一個(gè)事件發(fā)生的條件下該事件發(fā)生的條件概率的乘積。01條件概率在已知某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率。02事件的獨(dú)立性?xún)蓚€(gè)事件相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)其中一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生概率。條件概率與獨(dú)立性全概率公式在全概率公式的假定下，貝葉斯公式提供了根據(jù)新的信息更新先驗(yàn)概率的方法。貝葉斯公式逆概率已知結(jié)果推測(cè)原因的概率，即已知后面事件發(fā)生的情況下，前面事件發(fā)生的概率。如果事件B1，B2，…，Bn構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且都具有正概率，則對(duì)任意一個(gè)事件A，有全概率公式。全概率公式與貝葉斯公式PART02一維隨機(jī)變量及其分布2023REPORTING定義取值可數(shù)的隨機(jī)變量稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量。常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量分布二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。分布律描述離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率，常用分布列表示。離散型隨機(jī)變量及分布律概率密度描述連續(xù)型隨機(jī)變量在某個(gè)值附近的概率變化情況，常用概率密度函數(shù)表示。常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。定義取值充滿某個(gè)區(qū)間的隨機(jī)變量稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度123定義：隨機(jī)變量的函數(shù)是指通過(guò)某種規(guī)則將隨機(jī)變量的取值映射到另一個(gè)取值空間上。離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布：通過(guò)分布律的變換得到。連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布：通過(guò)概率密度函數(shù)的變換得到，需要注意變換后的取值范圍和概率密度的歸一化。隨機(jī)變量的函數(shù)的分布PART03多維隨機(jī)變量及其分布2023REPORTING二維隨機(jī)變量的定義設(shè)$X$和$Y$是兩個(gè)隨機(jī)變量，則稱(chēng)$(X,Y)$為二維隨機(jī)變量。聯(lián)合分布函數(shù)對(duì)于所有$x,yinR$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$稱(chēng)為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合概率密度函數(shù)如果存在非負(fù)函數(shù)$f(x,y)$，使得對(duì)于任意$x,y$都有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，則稱(chēng)$f(x,y)$為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)。二維隨機(jī)變量及聯(lián)合分布要點(diǎn)三邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$關(guān)于$X$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_X(x)=F(x,+infty)$，關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_Y(y)=F(+infty,y)$。要點(diǎn)一要點(diǎn)二邊緣概率密度函數(shù)如果$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，則$X$的邊緣概率密度函數(shù)為$f_X(x)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dy$，$Y$的邊緣概率密度函數(shù)為$f_Y(y)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dx$。條件分布函數(shù)設(shè)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)為$F_Y(y)$。若對(duì)于固定的$y$，$F_Y(y)>0$，則稱(chēng)$frac{F(x,y)}{F_Y(y)}$為在$Y=y$條件下，$X$的條件分布函數(shù)，記為$F_{X|Y}(x|y)$。要點(diǎn)三邊緣分布與條件分布兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的定義如果對(duì)于所有的$x,yinR$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱(chēng)隨機(jī)變量$X$和$Y$是獨(dú)立的。兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān)的定義如果$E[XY]=E[X]E[Y]$，則稱(chēng)隨機(jī)變量$X$和$Y$是不相關(guān)的。獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系如果兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立，則它們一定不相關(guān)；但是，不相關(guān)并不意味著獨(dú)立。隨機(jī)變量的獨(dú)立性030201PART04數(shù)字特征與特征函數(shù)2023REPORTING數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量取值的“平均水平”，是概率加權(quán)下的平均值。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望是所有可能取值與其對(duì)應(yīng)概率的乘積之和；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望則是通過(guò)積分計(jì)算得到。方差衡量隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度。方差越大，說(shuō)明隨機(jī)變量取值的離散程度越高；方差越小，則說(shuō)明隨機(jī)變量取值越趨近于數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望與方差衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量變化趨勢(shì)的相似程度。如果兩個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)向相反方向變化（即一個(gè)增大，另一個(gè)減?。?，則它們的協(xié)方差為負(fù)值；如果兩個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)向相同方向變化（即同時(shí)增大或同時(shí)減?。?，則它們的協(xié)方差為正值。協(xié)方差是協(xié)方差的標(biāo)準(zhǔn)化形式，用于消除量綱影響，更準(zhǔn)確地反映兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)的取值范圍為[-1,1]，其中-1表示完全負(fù)相關(guān)，1表示完全正相關(guān)，0表示不相關(guān)。相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)是一種通過(guò)無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示隨機(jī)變量概率分布的函數(shù)。特征函數(shù)具有良好的性質(zhì)，如唯一性、穩(wěn)定性等，因此在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用。常見(jiàn)的特征函數(shù)有概率生成函數(shù)、矩生成函數(shù)和特征函數(shù)等。特征函數(shù)是描述隨機(jī)變量各階原點(diǎn)矩的一種函數(shù)。通過(guò)矩母函數(shù)，可以方便地求出隨機(jī)變量的各階原點(diǎn)矩，進(jìn)而了解隨機(jī)變量的分布特性。矩母函數(shù)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中具有重要的地位，尤其在處理多維隨機(jī)變量時(shí)更為方便。矩母函數(shù)特征函數(shù)與矩母函數(shù)PART05大數(shù)定律與中心極限定理2023REPORTING大數(shù)定律是描述隨機(jī)事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中呈現(xiàn)出的規(guī)律性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，隨機(jī)事件的頻率趨于一個(gè)穩(wěn)定值。含義常見(jiàn)的大數(shù)定律有伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律和切比雪夫大數(shù)定律等。種類(lèi)大數(shù)定律在保險(xiǎn)、金融、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如用于評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)、計(jì)算保費(fèi)和預(yù)測(cè)疾病發(fā)病率等。應(yīng)用大數(shù)定律含義中心極限定理是概率論中的重要定理之一，它指出當(dāng)隨機(jī)變量的數(shù)量足夠多時(shí)，這些隨機(jī)變量的均值分布將趨近于正態(tài)分布。種類(lèi)中心極限定理包括獨(dú)立同分布的中心極限定理、李雅普諾夫中心極限定理和林德伯格中心極限定理等。應(yīng)用中心極限定理在統(tǒng)計(jì)學(xué)、質(zhì)量控制、信號(hào)處理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如用于假設(shè)檢驗(yàn)、參數(shù)估計(jì)和信號(hào)處理中的濾波技術(shù)等。中心極限定理PART06統(tǒng)計(jì)量及其分布2023REPORTING研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合?？傮w從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合。樣本樣本中包含的個(gè)體數(shù)目。樣本容量總體與樣本03統(tǒng)計(jì)量的選擇應(yīng)根據(jù)研究目的和樣本特征進(jìn)行。01統(tǒng)計(jì)量是用于描述樣本特征的數(shù)值，它不依賴(lài)于任何未知參數(shù)。02常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量有：樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本矩、樣本協(xié)方差、樣本相關(guān)系數(shù)等。統(tǒng)計(jì)量抽樣分布是指樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布，它描述了樣本統(tǒng)計(jì)量在多次抽樣中的分布情況。常見(jiàn)的抽樣分布有