高考數(shù)學(xué)-真題分類匯編-數(shù)列

五、數(shù)列

(-)填空題

1'(2008江蘇卷10)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

1

23

456

78910

按照以上排列的規(guī)律，第n”行(n23)從左向右的第3個數(shù)為.

【解析】本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式.前n-1行共有正整數(shù)1+2+…+(n

/?2—n2—n

1)個，即個，因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個，即為

22

n*23-n+6

2、(2009江蘇卷14)設(shè)｛叫是公比為q的等比數(shù)列，⑷〉1,令a=a“+l(〃=l,2,L),

若數(shù)列｛4｝有連續(xù)四項在集合｛—53,—23,19,37,82｝中，貝!|6夕=.......

【解析】考查等價轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項。

｛0“｝有連續(xù)四項在集合｛-54,-24,18,36,81｝,四項-24,36,-54,81成等比數(shù)列，公比為

3/c

q--—，o<7=9

2

3'(2010江蘇卷8)函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(該人？)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為

Qk+i,k為正整數(shù)，a五16,則s+a3+a5=

［解析］考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。

在點(a42)處的切線方程為：>—。2=2。?！?，當(dāng)y=O時，解得》=4,

kkkkk

所以。=上。+。+。=16+4+1=21。

k+12135

4、(2011江蘇卷13)設(shè)1=。￡。2<1<alf其中％,4,外,%成公比為q的等比數(shù)列，

生,。4，。6成公差為1的等差數(shù)列，則q的強小值是.

【解析】由題意：1=。WaWqW。+1W夕?"。+2<,

I222

2

(^<q<a^-1,afl<q<a+22

，2。+223,而Q1,。=I,，Q,a+1,。+2的最小值分別為1,2,3；

221222

,"4min="

本題主要考查綜合運用等差、等比的概念及通項公式，不等式的性質(zhì)解決問題的能力，考查

抽象概括能力和推理能力，本題屬難題.

5'(2012江蘇卷6)現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項，-3為公比的等比數(shù)列，

若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是

【解析】組成滿足條件的數(shù)列為：1,-3,9.-27,81,-243,729,-2187,6561,—19683.從中隨機

取出一個數(shù)共有取法10種，其中小于8的取法共有6種，因此取出的這個數(shù)小于8的概率為

3

5，

【點評】本題主要考查古典概型.在利用古典概型解決問題時，關(guān)鍵弄清基本事件數(shù)和基本

事件總數(shù)，本題要注意審題，“一次隨機取兩個數(shù)”，意味著這兩個數(shù)不自繼復(fù)，這一點要特

別注意.

1

6、(2013江蘇卷14)14.在正項等比數(shù)列｛/｝中，%=｝，4+%=3，則滿足

ay+a2++an>的最大正整數(shù)及的值為一。

答案：14.12

(二)解答題

1、(2008江蘇卷19).(I)設(shè)a/2，LL,占是各項均不為零的等差數(shù)列(?>4),且公

差dwO,若將此數(shù)列刪去某一項得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列：

①當(dāng)n=4時，求一%的數(shù)值；②求〃的所有可能值；

d

(II)求證：對于一個給定的正整數(shù)n(n24),存在一個各項及公差都不為零的等差數(shù)列

b1,b2,LL,b?,其中任意三項(按原來順序)都不能組成等比數(shù)列.

【解析】：本小題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用。

⑴①當(dāng)n=4時，4，生,生，。4中不可能刪去首項或末項，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項成等比

數(shù)列，則推出d=00

若刪去a,則，即(a+24)?=a?(a+3d)化簡得a+44=0,建’=一4

231411II~j

若刪去a,則，即(a+d)2=。,(a+3d)化簡得。一。=0,得二］=1

3214III1

綜上，得:1=—4或「1=1。

dd

②當(dāng)n=5時，外,生，。3,。4,。5中同樣不可能刪去a1,a2,a4,a5,否則出現(xiàn)連續(xù)三項。

若刪去“3，則勾,%=a2,4，即+4d)=(a[+辦@+3d)化簡得3d、0,因

為dwO,所以內(nèi)不能刪去；

當(dāng)n26時，不存在這樣的等差數(shù)列。事實上，在數(shù)列色,生，。3，1",4_2-“中，

由于不能刪去首項或末項，若刪去生，則必有。”=%，/-2，這與矛盾；同樣若刪

去4,1也有囚?4=。3，。"-2，這與4力0矛盾；若刪去"3，L,?！癬2中任意一個，則必有

a｝-an-a2-a?_y,這與dwO矛盾。(或者說：當(dāng)時，無論刪去哪一項，剩余的項中必

有連續(xù)的三項)

綜上所述，〃=4。

⑵)假設(shè)對于某個正整數(shù)n,存在一個公差為d的n項等差數(shù)列力力2,2“，其中

2

bx+vby+?hz+x(0<x<y<z<n-l)為任意三項成等比數(shù)列，貝ijby+l=bx+]-bz+i,即

(〃+yd)2=(〃+xd)?(/?+zd),化簡得(丁一立“之二(x+z-2y)hd(*)

iiii

由ddwO知，y一九z與x+z-2y同時為0或同時不為0

當(dāng)丁一在與x+z—2y同時為0』寸，有％=y=z與題設(shè)矛盾。

by2-xz

故產(chǎn)一應(yīng)與％+z—2y同時不為0,所以由(*)得」=-------

dx+z-2y

b

因為04%<曠<24〃-1,且乂、丫、2為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而各有理數(shù)。

d

于是，對于任意的正整數(shù)”(〃24),只要發(fā)為無理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。

d

例如n項數(shù)列1,1+￡,1+2。……，1+(〃—1)膈足要求。

2'(2009江蘇卷17)(本小題滿分14分)

設(shè)｛。｝是公差不為零的等差數(shù)列，S為其前幾項和，滿足。2+。2=。2+。2,5=7。

nn23457

0求數(shù)列｛a“｝的通項公式及前n項和S,,；

0試求所有的正整數(shù)m,使得竺竺_為數(shù)列｛a｝中的項。

【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和的有關(guān)知識，考查運算和求解的能力。滿

分14分。

(1)設(shè)公差為d,則6r—ci~—ci~-cT,由性質(zhì)得-3d(a+a)=d(a+a),因

25434343

7x6

為dw0,所以包+/=0,即2%+5d=0，又由§7=7得74H-----d=7，

解得見=-5,d=2,

所以MJ的通項公式為％=2八一7,前N項和用=/一6月.

(2)a'"a"'+'=(2"-7)(2加-5)，設(shè)_3=，，

4+22m-3

(方法一)

則竺上=(-4)(-2)=r+［_6,所以，為8的約數(shù)

am+2tt

因為才是奇數(shù):，所以1可取的值為±1,

當(dāng)t=l,加=2時，匕+9-6=3,2x5-7=3,是數(shù)列血}中的項?

t

g

當(dāng)t=-L加=1時，t+,-6=-15，數(shù)列MJ中的最小項是一5,不符合.

所以滿足條件的正整數(shù)m=2.

8

(方法二)因為金4“十|=(《“+2-4)(4“+22)q-6+為數(shù)列{a}中的項，

am+2〃m+2%+2

8

故——為整數(shù)，又由(1)知：區(qū)〃+2為奇數(shù)，所以。,〃+2=2m—3=±1,即機=1,2

^m+2

經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有m=2ow.w.w.zxxk.c.o.m

3“2009江蘇卷23)(本題滿分10分)

對于正整數(shù)〃22,用7；表示關(guān)于x的一元二次方程/+2辦+。=0有實數(shù)根的有序數(shù)組

缶⑼的組數(shù)，其中a,be{l,2,L,〃}(。和8可以相等)；對于隨機選取的

a,be{l,2,L,?}(a和8可以相等)，記斤為關(guān)于x的一元二次方程/+2儀+方=0有實

數(shù)根的概率。

1

(1)求〃和丹；(2)求證：對任意正整數(shù)〃22,有￡>1—耳.

【解析】［必做題］本小題主要考查概率的基本知識和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。

(1)解:因為方程/+2"+6=0有實數(shù)根.所以△=4a"-4&N0.即6Wa’.

(i)gnWaW/時.有/Wa：.又Ae1.2，故總有6Wa,此時.a

有n：-n?l沖取法外行員|抑取法.所以共有(n'-n,1)/組有序數(shù)組

(a?滿足條件；

(ii)當(dāng)IWaW"-I時.播足IW6WJ的6有/個.故共有

n(n-l)(2n-I)

I2?2’?3:-I)"■姐有序數(shù)紙(明的滿足

6

條件.

由(i)(ii)叫"/?(J-n?IW?4二二!滬二U-迪二*四4,

從而匕■邛產(chǎn)”?

nCM

(2)證明:我們只需證明:對于S8機選取的a.&c1.2,”.“|.方程/+2?*+6?0無

實數(shù)根的息率I-P.<春.若方鞭?*?2ax?6?0無實數(shù)根，則

A=4a1-46<0.即a'<6.由6wn郁a<7".因此.滿足a'<6的有序數(shù)

組(*6)的組逑小于??石.從而.方程/+2ax+6w0無實數(shù)根的概率

i-p,<駕^=g".所以p.>1-=■?

兄JnJn

w.w.w.zxxk.c.o.m

4'(2010江蘇卷19)(本小題滿分16分)

設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列｛為｝的前n項和為S?,己知2%=4+生，數(shù)歹北區(qū)｝是公差為d

的等差數(shù)列。

1求數(shù)列｛為｝的通項公式(用〃，[表示)；

2設(shè)C為實數(shù)，對滿足機+〃=3%且〃2工〃的任意正整數(shù)〃￡〃?,不等式S〃+S.〉c1

9

都成立。求證：C的最大值為

2

【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和以及基本不等式等有關(guān)知識，考查探索、

分析及論證的能力。滿分16分。

(1)由題意知：d>0,庖=店+(〃—l)d=苑+(〃—l)d

2a=a+a=Sn3(S—S)=S,3[(r~+d)2-a]2=([-+2d^,

213232131

222

化簡,得：a,—2yfa^-d+d=0,y/a[=d,a]=d,yfs^=d+(n—\)d=nd,Sn=r^d,

22222

當(dāng)〃N2時,an=Sn-=nJ-(n-I)J=(2n-1)J,適合〃=1情形。

故所求4=(2〃—l)d2

(2)(方法一)

22

222222222機+〃

Sfn+Sn>cSk=>mdd>c-kd=>加+〃>c-k，c<—p—恒成立。

2222"+9

又〃2+及=3%且加wn,2(m+n)>(m+n)=9k~=>>_,

k22

故c<2,即c的最大值為2。

22

(方法二)由?=d及6'=6+(〃-l)d,得d〉O,Sn=〃2d2。

于是，對滿足題設(shè)的m,n,k,mR〃，有

222+292299

S.+S,=(〃？+〃時>—：—d=\dk=-Sk，所以C的最大值CmaxN?方

乙乙乙乙

933

另一方面，任取實數(shù)。〉一。設(shè)人為偶數(shù)，令〃2=_%+1,〃=_女一1,則九〃,左符合條件,

222

331

且S“+S,=(病+〃2)/=/[口+1)2+(」-1)2]=一[2(%2+4)。

222

0]22

于是，只要9父+4<2㈤:？，即當(dāng)%>/時,Sm+Sn<_d--2ak-^aS.

y/2a-92

999

所以滿足條件的C<從而Cmax<因此C的最大值為二。

222

5'(2011江蘇卷20)設(shè)M部分為正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{”“}的首項為=1,前n項和為

Sn,已知對任意整數(shù)keM,當(dāng)整數(shù)n>女時，Sn+k+S“_k=2(5,+Sk)都成立

(1)設(shè)加={1},生=2，求內(nèi)的值；⑵設(shè)M={3,4},求數(shù)列{4}的通項公式

【解析】本小題考查數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查

考生分析探究及邏輯推理的能力，滿分16分。

解：(1)由題設(shè)知,當(dāng)“22時,S.+i-S“_i=2(S.+S]),

即(5用一S,i)=2S-

an+i-a,,=2al=2,又叼=2,故當(dāng)”>2時,a“=a2+2(n-2)=2〃-2.所以生的值為8。

(2)由題設(shè)知,當(dāng)■eM={3,4},且〃>郵寸，S,m+Sn_k=2S,,+2Sk

且S"+i+*+S〃+iHt=2S”+]+2Sk,

兩式相減得a,+i+*+為+i=2%+],即a**=an+i-an+i.k

所以二i〃28日寸,a“_6,a“_3,a“，a“+3,a“+6成等左數(shù)列，且。“-6，，"n+2，°”+6也成等差數(shù)

列

從而當(dāng)〃28時，2?！??！?3+。"_3=""+6+。"-6?(*)

且凡+6+an-6=。"+2+an-2，所以當(dāng)〃28時,2aM=凡+2+。"-2'

即4+2—an=an-an_2.于是當(dāng)〃29時,a,,%,a?+l,a,l+3成等差數(shù)列，

從而對+3+4-3=??+i+%，故由(*)式知2a,,=an+i+%,即a向-a?=a?-41T.

當(dāng)〃29時，設(shè)d=a“-a?+].

當(dāng)24機48時，機+628,從而由(*)式知2冊+6=a,”+《計12，故

2%I+7—4"+i+4"+13?

從而2(%7一%6)=am+i-am+3n+13一%2)-于是a,n+l-a,?=2d-d=d.

因此，an+l-an=d對任意〃22都成立，又由Sn+k+S,』一21=21(kw{3,4})可

知⑸S“）-⑸-SQ=21,故9d=2s3且16d=2s4,

73d

解得?4=于/，從而的=那，6=2-煙此，數(shù)列｛氏｝為等差數(shù)列，由ax=1知d=2.

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為a?=2n-l.

6'（2012江蘇卷20）（本小題滿分16分）

已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列｛〃｝和g｝滿足：aa?+bn,eN,.

1

人

數(shù)

——

列

求

設(shè)

證

方

1G4〃

XN一

-是等差數(shù)列;

人4

”

（2）設(shè)匕=右"，"wN，,且僅｝是等比數(shù)列，求a和6的值.

7H-17”]]

an

本小題主要壽薇等差數(shù)列和等比金列的基本性質(zhì)、于本不等式等基礎(chǔ)知區(qū)考查考生分析

探究及違輯推理的能力.滿分16分?

*所以號碌T從而（如尚'川…1

所以數(shù)列｛（｝）｝是以]為公差的等叁數(shù)列.

（2）因為％>0,6.>0,所以答叱毛。「動?'?。,+6?）'?

從而l<a”產(chǎn)含（*）

設(shè)等比數(shù)列I的公比為儀由。?>0知g>0下證"1?

若g>1,則Oj故當(dāng)時，,與（"）矛府；

若0<g<l,則0產(chǎn)士洶>1,故當(dāng)?shù)?；時,a”尸aW與（?）矛工

q?i

綜上,g=l.tt?.?aI（（ieN-）,所以l<a：wA-

又入.嚴(yán)/?久巫?6.6wN）所以也I是公比為紅的等比數(shù)K若，廿G,

Q.4%

a,±a

好&>1,于是“<1>2<br又由％=,得6.=',所以”,b2,6,

中至少有兩項相同.矛盾.所以a產(chǎn)々.從而6.=%的，旁叫?=々.

ai

所以a產(chǎn)6產(chǎn)々.

【點評】本題綜合考查等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的有關(guān)知識的靈活運用、指數(shù)累和根式的

互化.數(shù)列通項公式的求解.注意利用等差數(shù)列的定義證明問題時一般思路和基本方法，本題

是有關(guān)數(shù)列的綜合題；從近幾年的高考命題趨勢看，數(shù)列問題仍是高考的熱點、重點問題，

在訓(xùn)練時，要引起足夠的重視.

7'(2013江蘇卷19)19.本小題滿分16分。設(shè)｛&｝是首項為a,公差為d的等差數(shù)列3豐0),

S”是其前〃項和。記仇=產(chǎn)一，neN*,其中C為實數(shù)。

(1)若c=0,且〃b2a成等比數(shù)列，證明：S*="S(k,neN*)；

ck

(2)若｛2｝是等差數(shù)列，證明：c=O。

20.本小題滿分16分。

設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-ox,g(x)="-ox,其中。為實數(shù)。

Q若/(x)在(1,+，。)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1,住)上有最小值，求a的取值范圍;

0若g(x)在(-1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，試求/(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論。

19.證明：；｛凡｝是首項為。，公差為“的等差數(shù)歹女4H0),S“是其前〃項和

〃(〃-1)

S?=na-\--------d

”2

,1,3

■:bbb成等比數(shù)列b~-b(a+d)~=a(a+d)

b

_ad-_d~=0dJia-J)=0,/<70a=dd_=2a

2..2

〃5一1)2

S?=na+-------d=na+2a-na

2

2222

.,.左邊=S?k-(nk)a-nka右邊=nSk=n~k~a

.??左邊=右邊.?.原式成立

(2)???{/?}是等差數(shù)列.?.設(shè)公差為d,二人=/?+(〃—l)d帶入。=咯得:

nIn11”-2?

32

b+5_l)d=nS”，3-^_d)n+(b-d-a+^_d)n+cdn=c(d-b)對

ii-n2~4t--c211n2-1ii

neN,恒成立

q」d=。

21

<b\-d\-ad—d=0

2

cd｝-0

c(d一力)=0

I?i

由①式得：d1=^dVdw0，4。0

由③式得：c=0

法二；證：(1)若c=0,則/=。+(〃-1)4,5尸“限"1)；+2旬,

,(〃一l)d+2a

D=---------------.

〃2

當(dāng)。b/?成等比數(shù)列，b2=bb,

124214

(t/Y(3d、

即：a+-=a\a+_|,得：d?=2ad,又d#0,故d=2a.

I2；<1)

222222

由止匕：S=na,S,*=(〃左fci=nka,nSk=nka.

2

故：Snk=nSk(k,〃wN").

2(〃—1)d+2Q

(2)b??7—=-----27,

n-+cn+c

■,(72-1W+2a(〃一l)d+2a(n-1W+2a

n+c-c

_二222____________

n2+c

(?-1)J+2a

(〃-l)d+2a12(X)

2n~+c

若｛a｝是等差數(shù)列，則“=A"+8”型.

觀察(X)式后一項，分子累低于分母累，

(n—1)d+2a

故有：------------------=0,即09嗎+2"_0,而("嗎+2"W。'

〃-+c22

故c=0.

經(jīng)檢驗，當(dāng)c=0時｛〃,｝是等差數(shù)列.

8、(2013江蘇卷23)卷H附加題

9、23.本小題滿分10