2012年黃河水院數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽

2011年黃河水院數(shù)學(xué)建模競賽

水質(zhì)評價問題1水質(zhì)評價問題

摘要本文利用逼近理想的排序法和模糊數(shù)學(xué)模式評價法對河南省商丘地區(qū)的四口水井的水質(zhì)情況做出了綜合評價。模型中用到了“動態(tài)加權(quán)”，通過構(gòu)造“S”型函數(shù)，對水質(zhì)的類別進行量化。這樣就可以把水質(zhì)類別的差異較好的表現(xiàn)出來。由于水質(zhì)評價中包含一些不明確的方面，因此模糊數(shù)學(xué)在水質(zhì)綜合評價中得到廣泛應(yīng)用，另外借助于穩(wěn)態(tài)條件的一維水質(zhì)模型和質(zhì)量守恒定律得到了主要污染指標(biāo)的分布區(qū)域`。應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)綜合評價法根據(jù)商丘市某村四口水井水質(zhì)評價的特點，選取溶解氧、化學(xué)需氧量、總磷和氨氮作為評價因子，建立模糊關(guān)系矩陣，根據(jù)模糊數(shù)學(xué)最大隸屬度原則評定水質(zhì)的等級。關(guān)鍵詞：水質(zhì)、綜合評價、模糊數(shù)學(xué)、評價因子、隸屬函數(shù)2一、問題重述

河南省商丘地區(qū)某村內(nèi)有各相距500米以上的四口水井，分別位于村東、村西、村南和村北，由于農(nóng)業(yè)和生活排放廢物使地下淺表水遇到污染，水質(zhì)監(jiān)測資料如表1所示.32009年10月15日商丘某村井水水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)報告編號：商水監(jiān)/SM089-2009監(jiān)測日期：2009.10.15樣品類別樣品編號pH溶解氧總硬度SO42-Cl-鐵錳銅鋅揮發(fā)酚高錳酸鹽指數(shù)化學(xué)需氧量mg/L東井DB0110158.105080.17<DL0.150.00623.851.4西井DB0210158.346.93271381600.110.19<DL0.150.00316.265.1南井DB0310157.496.45242321620.070.20<DL0.27<DL1.9<10北井DB0410157.157.210202093121.080.65<DL0.19<DL1.7<1042009年10月15日商丘某村井水水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)報告編號：商水監(jiān)/SM089-2009監(jiān)測日期：2009.10.15樣品類別樣品編號總磷硝酸鹽氮亞硝酸鹽氮氨氮氟化物氰化物汞砷鎘六價鉻鉛糞大腸菌群mg/L（個/L）東井DB0110150.781.350.02610.71.48<DL<DL0.0026<DL<DL<DL900西井DB0210150.982.630.01213.01.72<DL<DL0.0178<DL<DL<DL1805南井DB0310150.1518.40.3210.050.53<DL<DL0.0025<DL<DL<DL600北井DB0410150.030.320.004<DL2.18<DL<DL0.0211<DL<DL<DL968

5請你們完成以下問題：（1）請用2種以上的數(shù)學(xué)方法對該村的四個井水的水質(zhì)進行排序，并比較是否由于方法的不同導(dǎo)致存在著異，以及差異產(chǎn)生的原因。（2）請對該村的四個井的地表水分別進行水質(zhì)等級判斷。（水質(zhì)分級標(biāo)準(zhǔn)參考附錄一，或自己查有關(guān)資料）（3）請結(jié)合你們的計算結(jié)果給該村村民寫一篇關(guān)于健康用水和保護水源方法的短文。6二問題的分析72.1對問題（1）分析考慮到水質(zhì)類別差異對綜合評價指標(biāo)權(quán)值的影響，構(gòu)造“S型的變權(quán)函數(shù)，對屬于不同水質(zhì)類別的同種污染指標(biāo)進行“動態(tài)加權(quán)”，然后建立基于逼近理想點排序法的評價模型，得到了四口水井水質(zhì)的綜合評價值及排序，用“逼近理想的排序模型”即TOPSIS法，其過程為：對評價對象的各水質(zhì)指標(biāo)均找出最優(yōu)值，設(shè)成理想解，對評價對象的各水質(zhì)指標(biāo)均找出最劣值，設(shè)為負理想解，分別計算每一個評價對象到理想解和負理想解的距離，從得到水質(zhì)的排序。這里重要問題是如何確立各項水質(zhì)指標(biāo)的權(quán)重，因為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ類為可飲用水，Ⅳ、Ⅴ類、劣Ⅴ類為污染和嚴重污染，為不可飲用水。對于商丘地區(qū)某村內(nèi)的四口水井水質(zhì)監(jiān)測值的最終指標(biāo)的確定由首要污染物決定，所以權(quán)重的確定要體現(xiàn)兩個特點：8（1）水質(zhì)的差異，特別從Ⅲ類水質(zhì)變?yōu)棰纛愃|(zhì)時，水質(zhì)發(fā)生很大的變化；（2）體現(xiàn)首要污染物的作用，即污染物的評價類別越高，其權(quán)值相應(yīng)越大。所以，權(quán)值是在變化的，并要表現(xiàn)出前三類和后三類水的水質(zhì)差異，于是想到構(gòu)造一個“S”型曲線作為變權(quán)函數(shù)，對屬于不同的類別的同種污染指標(biāo)進行賦權(quán)。9

2.2對問題（2）分析模糊數(shù)學(xué)綜合評判過程一般歸納為下幾個步驟：（1）找出因素集；（2）給出評價矩陣；（3）確定評估函數(shù)；（4）計算評判指標(biāo)102.3建立因子集因子集市由影響評估對象的各個因子所組成的集合，可表示為：U=其中，元素ui(i=1、2……n)為影響評價要考慮的因子，一般來說，各個因子在評估中有不同的重要性，因此必須對各個因子ui按其重要程度給不同的權(quán)重ai（i=1、2……n）由各權(quán)重組成的因子權(quán)重集A是因子集，u可用模糊向量表A=(),且=1，≥0，i=1、2……n其中原素是因子對A的隸屬度，即反映了各個因子在綜合評估中所具有的重要程度。112.4建立評價集評價集是有評估對象作出評估結(jié)果所稱的集合，可表示為：V=式中(j=1、2……n).模糊的，但對V的關(guān)系是明確的。122.5模糊評估從一個出發(fā)進行評價，以確定評價對象對評價集的隸屬程度(j=1,2……n)因子評價結(jié)果因子模糊評價集。

=將各單因子評價集作為行，組成單因子矩陣有了評價矩陣R和權(quán)重矩陣A，進行復(fù)合運算，就能反映所有因子評價對象的影響，進行評判。模糊子集記作：B=AR（b1，b2,……bn），bi表示對評估的等級。13三、模型的假設(shè)和符號說明143.1模型的假設(shè)1）問題中所給出的數(shù)據(jù)能客觀的反映現(xiàn)實情況；(2)這段時間內(nèi)沒有大量降水；153.2符號說明

表示第i個評價對象（觀測站）的第j（i=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24）個指標(biāo)的觀測值；R表示有構(gòu)成的原始評判矩陣；表示極性一致化矩陣；W表示污染指標(biāo)的權(quán)重矩陣；X表示規(guī)范矩陣；Z表示加權(quán)規(guī)范化矩陣；表示第i(i=1、2、3、4）個被評價對象的綜合評價值;H表示評價值矩陣；

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—指標(biāo)的實測濃度

—i指標(biāo)經(jīng)詭異化后的權(quán)重

—i制表格計稅標(biāo)準(zhǔn)濃度的平均值n—指標(biāo)個數(shù)m—水質(zhì)分級級數(shù)K表示指進水中污染物擴散系數(shù)

___i指標(biāo)的權(quán)系數(shù)17四模型的準(zhǔn)備18維水質(zhì)模型依據(jù)相關(guān)資料，流體中的一維水質(zhì)模型的一般形式為

其中C為流體中染污物的濃度分布，為水流速度，為擴散系數(shù)，K為流體的降解系數(shù)，在穩(wěn)態(tài)的條件下，即=0，則上面的方程變?yōu)?/p>

19如果給定初始條件為=時，則方程的解為20五.模型的建立與求解215.1六種指標(biāo)權(quán)重的建立（1）構(gòu)造變權(quán)函數(shù)。根據(jù)污染物對水質(zhì)的污染程度分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ類六個等級，不妨對應(yīng)的數(shù)值分別為1、2、3、、4、5、6

由問題的分析可知，當(dāng)水質(zhì)的類別從Ⅰ類變化到Ⅲ類時，其權(quán)值變化應(yīng)該非常大，這體現(xiàn)出水質(zhì)將發(fā)生質(zhì)的變化，而且水質(zhì)越差，相應(yīng)的權(quán)值也會也來越大。根據(jù)以上討論，我們構(gòu)造的“S”型曲線作為相應(yīng)的變權(quán)函數(shù)，即其中α、β、γ為待定的常數(shù)。22當(dāng)x=1時，即水質(zhì)最好時令相應(yīng)的量化值=0.05；為了說明Ⅰ、Ⅱ與Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ類水之間的相對差異變化較小的事實,令=0.25；當(dāng)x=6時，其值為1，此時污染最為嚴重。由以上的三個對應(yīng)點，則可以求得α=0.35.β=3.48γ=0.52最后得到f（x）的具體表達式

最后計算得到污染指標(biāo)的ⅠⅡⅢⅣⅤ劣Ⅴ類的水對應(yīng)的分類下界量化值分別為0.05、0.12、0.25、0.8、0.92、23(2)求權(quán)重矩陣以某次的水質(zhì)檢測具體情況為例，將四個觀測點的24個監(jiān)測指標(biāo)的濃度提取出來，構(gòu)造出原始評判矩陣；再將元素的值變換成污染類別，把類別對應(yīng)的數(shù)值代入變權(quán)函數(shù)就得到量化矩陣；對量化矩陣中每一行的指標(biāo)做到歸一化處理得到權(quán)重矩陣w.24

注意到一個事實，由于ph值（7-9）難以確定出具體的水質(zhì)類別，而且依據(jù)數(shù)據(jù)分析可知，ph值對水質(zhì)類別的影響很小，所以在此問題中對ph值的影響采用固定的權(quán)值，不妨設(shè)為0.05，而其他23項指標(biāo)采用上述的動態(tài)賦值，其總權(quán)值為0.95.255.2基于TOPSIS方法的評價模型首先根據(jù)對商丘某村四口井的水質(zhì)情況給出量化評價（1）模型的建立TOPSIS方法是一種逼近理想解的排序法。其基本思想是把綜合評價問題轉(zhuǎn)化為求各種評價對象之間的差異——“距離”，即按照一定的法則先確定理想解與負理想解，然后通過計算每一個被評價對象與理想解和被理想解之間的距離，再加以比較得出其排序。26步驟1.評價指標(biāo)的極性處理，得到極性一致化矩陣R*.溶解氧的指標(biāo)是極大型（指標(biāo)越大，水質(zhì)越好）ph值的指標(biāo)是居中型的（指標(biāo)值處于中間水質(zhì)較理想，其他22種是極小型的（指標(biāo)越小，水質(zhì)越好）。下面統(tǒng)一對24項評價指標(biāo)進行極小型處理。271.對極大型指標(biāo)溶解氧的指標(biāo)值做極小變換，即令倒數(shù)變換2.對于居中型的指標(biāo)ph值的指標(biāo)值作極小化變換，即令最后，綜合24項指標(biāo)得到評價指標(biāo)的極刑一致化矩陣R*28步驟2.評價指標(biāo)的規(guī)范化處理通過極差變換得到規(guī)范化矩陣其中是無量綱的量，且，i=1，2，3，4；j=1，2，3…….29步驟3.構(gòu)建加權(quán)規(guī)范決策矩陣z依據(jù)上一節(jié)所得到的權(quán)重矩陣w，令

=I=1,2,3,4;j=1,2……24,30步驟4.確定正理想解及負理想解設(shè)正理想解的j個屬性值為，負理想解的第j個屬性值為，則正理想解為：

負理想解為

31步驟5.計算距離被評價對象到正理想解的歐式距離為32被評價對象到負理想解的距離為

(i=1,2,3,4)33步驟6.求綜合評價值被評價對象的綜合評價指標(biāo)值為

i=1,2,3,4此時，各項污染指標(biāo)越大，被評價對象的狀態(tài)越接近負理想解，從而得到的綜合評價值越大，其水質(zhì)污染的程度就越嚴重。反之則越接近正理想解，綜合評價值越小，其水質(zhì)污染的程度就越輕。34（2）評價模型的求解，依據(jù)題目附件表1中的數(shù)據(jù)，利用MATLAB編程求出4個觀測點水質(zhì)的綜合評價指標(biāo)值，并進行比較得到水質(zhì)排序。35地區(qū)東井西井南井北井綜合評價指標(biāo)值9372200475某時刻個觀測點的綜合評價指標(biāo)值36某時刻個觀測點水質(zhì)情況的排序地區(qū)東井西井南井北井類別ⅡⅠⅢⅣ37六、數(shù)學(xué)模型386.1評估因子的選定考慮水質(zhì)有等級標(biāo)準(zhǔn)，利用水質(zhì)評價和污染評價兩個方面。評估因子的確定要根據(jù)國家地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)（GB3838—2002），結(jié)合評價四口水井的實際情況以及監(jiān)測條件。以污染物評價的總體原則是選擇最差的七項為優(yōu)先污染物。必評四項是：氨氮、總磷、溶解氧、化學(xué)需氧量等作為主要因子，采用單向評價和綜合評價相結(jié)合，評價標(biāo)準(zhǔn)見《地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T14848—93），計算出七項污染物指數(shù)的算術(shù)平均值作為一般污染物指數(shù)；對人體健康危害明顯和存在長期危害，而目前飲用水處理工藝難以去除的有毒類，歸納為有毒污染物，揮發(fā)性酚類、重金屬類中各類至少選擇一項，其指數(shù)評價采用單因子法，即對最差的項目賦全權(quán)。本文選取了商丘地區(qū)某村的村東、西、南、北四口井水2009年10月15日的水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)。396.2建立平價素地表水質(zhì)量評價等級確定采用《中華人民共和國地表水的環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》（GB3838_2002)分成五個模糊等級如下：（Ⅰ類、Ⅱ類、Ⅲ類、Ⅳ類、Ⅴ類）40表12009年10月15日商丘某村井水水質(zhì)監(jiān)測數(shù)據(jù)

。單位mg/l井別監(jiān)測值類別東井西井南井北井溶解氧5.16.96.47.2化學(xué)需氧量51.465.11010總P0.780.980.1130.03氨氮10.713.00.03041表二地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)基本項目標(biāo)準(zhǔn)限值單位：mg/L序號分類項目Ⅰ類Ⅱ類Ⅲ類Ⅳ類Ⅴ類1溶解氧7.565322化學(xué)需氧磷0.020.10.20.30.44氨氮0.0150.51.01.52.0426.3權(quán)重行矩陣A的確定在綜合評價中，考慮到各單項指標(biāo)高低差別，在總體污染中的作用大小是不一樣的，不僅與實測數(shù)據(jù)大小有關(guān)，而且與某種用途水中各元素的允許濃度有關(guān)，實測數(shù)據(jù)相同時其允許濃度含量比標(biāo)準(zhǔn)低的，對污染程度影響要小，因此進行權(quán)重計算很有必要。計算公式如下：43

===44由上述指標(biāo)組成一個權(quán)重行矩陣A:A【，】，以商丘某村的南井水為例：對樣本水質(zhì)進行指標(biāo)權(quán)重計算，得出表3.即商丘某村的南井權(quán)重行矩陣A=【0.192、0.196、0.234、0.003】同理可以求出另三個監(jiān)測水井的權(quán)重矩陣。45表3商丘市某村的南京水質(zhì)名單向指標(biāo)權(quán)重分類項目溶解氧化學(xué)需氧量總磷氨氮6.4100.150.050.7340.7380.8970.020.1920.1960.2340.0053

46由于DO與其他因素性質(zhì)相反，實測DO濃度大。說明水質(zhì)污染不嚴重，水質(zhì)好。所以DO的權(quán)重賦值取倒數(shù).476.4計算隸屬度，建立模糊關(guān)系矩陣。水質(zhì)污染程度是一個模糊的概念，水質(zhì)的分級標(biāo)準(zhǔn)也是模糊的，用隸屬度來劃分級界限較為合理。同理可以求出另三個監(jiān)測的水質(zhì)各項指標(biāo)的隸屬程度及模糊矩陣評價。486.5模糊綜合評價（1）取大取小法利用取大取小法復(fù)合運算時，矩陣A的元素分別與矩陣R的各列中對應(yīng)的元素（類似于普通矩陣乘法）按上述結(jié)果進行歸一處理。按“以隸屬擇近原則”進行分類。南井水質(zhì)對三類水的隸屬度最大。所以此井水為三類水等級。49（2）取大取積法取大取積法是把取大取小法中取最小值改為乘積，然后取極大值。它能有效解決評價結(jié)果中最大值有三個相同的情況。按照取大取積法求解得出最終隸屬矩陣。B=【0.092、0.257、0.564、0.870】∑=1可見，商丘市某村南京水質(zhì)仍為三類水。同理，取大取小法和取大取積法求解：商丘地區(qū)某村東、西井為二級水質(zhì)，南井為三級水質(zhì)，北井為四級水質(zhì)。50

綜合上述分析得出結(jié)果，要想保護此地水源，保證村民健康用水，應(yīng)先了解水源被污染的原因。經(jīng)調(diào)查可知：（1）

化工廠排污設(shè)備不完善，造成污水排放不符合污染物排放標(biāo)準(zhǔn)。（2）

生活垃圾和糞便未經(jīng)處理或隨處堆放。（3）農(nóng)藥、化