中考初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講第36講圖形的旋轉(zhuǎn)

第36講圖形的旋轉(zhuǎn)

【考題導(dǎo)向】

這部分內(nèi)容重點(diǎn)考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，與圖形變換相關(guān)的計算和邏輯推

理證明等.常與三角形和四邊形結(jié)合，在網(wǎng)格背景設(shè)置試題，題型豐富，多為

選擇題、填空題、解答題.

涉及的主要內(nèi)容有：1.理解旋轉(zhuǎn)的概念，并掌握其性質(zhì).2.能按旋轉(zhuǎn)變換的

要求作出簡單的圖形.3.運(yùn)用圖形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行圖案設(shè)計.

【考點(diǎn)精練】

考點(diǎn)1：中心對稱圖形的判斷

【典例】（2018廣西南寧）（3.00分）下列美麗的壯錦圖案是中心對稱圖形的是（）

【同步練】（2018哈爾濱）（3.00分）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

3B

考點(diǎn)2：圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應(yīng)用

【典例】（2018海南）（3.00分）如圖，在Z\ABC中,AB=8,AC=6,ZBAC=30°,將AABC

繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABC,連接BG,則BC的長為（）

【同步練】（2018?寧波）如圖，在aABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D

與A,B不重合），連結(jié)CD,將線段CD繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連結(jié)DE

交BC于點(diǎn)F,連接BE.

（1）求證：AACD^ABCE；

（2）當(dāng)AD=BF時，求/BEF的度數(shù).

DB

考點(diǎn)3：有關(guān)旋轉(zhuǎn)變換的作圖

【典例】（2018吉林）（7.00分）如圖是由邊長為1的小正方形組成的8X4網(wǎng)格，每個小正

方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A,B,C,D均在格點(diǎn)上，在網(wǎng)格中將點(diǎn)D按下列步驟移動：

第一步：點(diǎn)D繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)D,；

第二步：點(diǎn)。繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)燈；

第三步：點(diǎn)D,繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°回到點(diǎn)D.

（1）請用圓規(guī)畫出點(diǎn)D-Di-Dz-D經(jīng)過的路徑；

（2）所畫圖形是對稱圖形；

（3）求所畫圖形的周長（結(jié)果保留"）.

【同步練】（2018黑龍江龍東）（6.00分）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是

一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，^ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,4),B(1,1),

C(3,1).

(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△ABC；

(2)畫出△ABC繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2；

(3)在(2)的條件下，求線段BC掃過的面積(結(jié)果保留“).

考點(diǎn)4：旋轉(zhuǎn)變換在幾何題中的應(yīng)用

【典例】(2017江蘇徐州)如圖，已知AC_LBC,垂足為C,AC=4,BC=3J5,將線段AC繞點(diǎn)

A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AD,連接DC,DB.

(1)線段DC=；

(2)求線段DB的長度.

【同步練】(2017湖南株洲)

如圖示，若aABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足NPAC=NPBA=NPCB,則點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn).三角形的

布洛卡點(diǎn)(Brocardpoint)是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾(A.L.Crelle1780-1855)

于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意，1875年，布洛卡點(diǎn)被一個數(shù)學(xué)

愛好者法國軍官布洛卡(Brocard1845-1922)重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.問題：己

知在等腰直角三角形DEF中，ZEDF=90°,若點(diǎn)Q為ADEF的布洛卡點(diǎn)，DQ=1,則EQ+FQ=

A.5B.4C.3+&D.2+V2

考點(diǎn)5：旋轉(zhuǎn)變換在函數(shù)題中的應(yīng)用

【典例】(2018云南昆明)(3.00分)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,2).將點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)0

旋轉(zhuǎn)90。后，再向左平移1個單位長度得到點(diǎn)A',則過點(diǎn)A，的正比例函數(shù)的解析式

為.

kl

【同步練】在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)y=《的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(l,5

（1）試確定此反比例函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，將線段0A繞0點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段0B,判斷點(diǎn)B是否在此反

比例函數(shù)的圖象上，并說明理由.

【真題演練】

1.（2018黑龍江龍東）（3.00分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

興9Q0

2.（2017山東泰安）如圖，在正方形網(wǎng)格中，線段A'B'是線段AB繞某點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角

a得到的，點(diǎn)A'與A對應(yīng)，則角a的大小為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

3.（2017甘肅天水）下列給出的函數(shù)中，其圖象是中心對稱圖形的是（）

①函數(shù)y=x；②函數(shù)y=x，③函數(shù)y=L.

x

A.①②B.②③C.①③D.都不是

4.（2017山東聊城）如圖，將AABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在AB邊上點(diǎn)二處，此

時，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'恰好落在BC邊的延長線上，下列結(jié)論錯誤的（）

B'

BcA

A.ZBCB*=/ACA'B.ZACB=2ZB

C.NB'CA=/B'ACD.B'C平分/BB'A'

5.（2017廣西）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,將aABC繞頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到4

A'B'C,M是BC的中點(diǎn)，P是A'B'的中點(diǎn)，連接PM.若BC=2,/BAC=30°,則線段PM的最

大值是（）

6.(2018?南充)如圖，矩形ABCD中,AC=2AB,將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到矩形AB'C'D',

使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在AC上，B'C'交AD于點(diǎn)E,在B'C'上取點(diǎn)F,使B'F=AB.

(1)求證:AE=C'E.

(2)求NFBB'的度數(shù).

(3)已知AB=2,求BF的長.

7.(2018?溫州)如圖，P,Q是方格紙中的兩格點(diǎn)，請按要求畫出以PQ為對角線的格點(diǎn)四

邊形.

(1)在圖1中畫出一個面積最小的口PAQB.

(2)在圖2中畫出一個四邊形PCQD,使其是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形，且另一條對

角線CD由線段PQ以某一格點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)得到.注：圖1,圖2在答題紙上.

8.(2018廣西南寧)(8.00分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知AABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分

別是A(1,1),B(4,1),C(3,3).

(1)將aABC向下平移5個單位后得到△ABC,請畫出△ARG；

(2)將AABC繞原點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△ABC?,請畫出△A2B2C2；

(3)判斷以0,M,B為頂點(diǎn)的三角形的形狀.(無須說明理由)

9.(2018?臨沂)將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)a(0°Va<360°),得到矩形AEFG.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時.求證：FD=CD；

(2)當(dāng)a為何值時，GC=GB?畫出圖形，并說明理由.

10.（2018?岳陽）已知在RtZXABC中，ZBAC=90°,CD為NACB的平分線，將/ACB沿CD

所在的直線對折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，連結(jié)AB',BB',延長CD交BB'于點(diǎn)E,設(shè)NABC=2a

（0°<a<45°）.

（1）如圖1,若AB=AC,求證:CD=2BE；

（2）如圖2,若ABWAC,試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系（用含a的式子表示）；

（3）如圖3,將（2）中的線段BC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)角（a+45°）,得到線段FC,連結(jié)

S.

EF交BC于點(diǎn)0,設(shè)aCOE的面積為S”ZXCOF的面積為Sz,求廿（用含a的式子表示）.

S2

【拓展研究】

（2018?自貢）如圖，已知NA0B=60°,在NA0B的平分線0M上有一點(diǎn)C,將一個120°角

的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線0A、OB相交于點(diǎn)D、E.

（1）當(dāng)/DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與0A垂直時（如圖1）,請猜想0E+0D與0C的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由；

（2）當(dāng)NDCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？

并說明理由；

（3）當(dāng)NDCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與0A的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？請在圖3

中畫出圖形，若成立，請給于證明；若不成立，線段0D、0E與0C之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

第36講圖形的旋轉(zhuǎn)

【考題導(dǎo)向】

這部分內(nèi)容重點(diǎn)考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，與圖形變換相關(guān)的計算和邏輯推

理證明等.常與三角形和四邊形結(jié)合，在網(wǎng)格背景設(shè)置試題，題型豐富，多為

選擇題、填空題、解答題.

涉及的主要內(nèi)容有：1.理解旋轉(zhuǎn)的概念，并掌握其性質(zhì).2.能按旋轉(zhuǎn)變換的

要求作出簡單的圖形.3.運(yùn)用圖形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行圖案設(shè)計.

【考點(diǎn)精練】

考點(diǎn)1：中心對稱圖形的判斷

【典例】（2018廣西南寧）（3.00分）下列美麗的壯錦圖案是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，

那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)叫做對稱中心可得答案.

【解答】解：A、是中心對稱圖形，故此選項正確；

B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

I）、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

故選：A.

【同步練】（2018哈爾濱）（3.00分）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【分析】觀察四個選項中的圖形，找出既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的那個即可得出結(jié)

論.

【解答】解：A、此圖形既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，此選項不符合題意；

B,此圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，此選項不符合題意；

C、此圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，此選項符合題意：

I）、此圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，此選項不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】L判斷一個圖形是否是中心對稱圖形，關(guān)鍵是要尋找對稱中心，觀察它旋轉(zhuǎn)180

度后能否與原圖形重合.2.注意中心對稱與軸對稱的區(qū)別：中心對稱有一個對稱中心一

點(diǎn)；圖形繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180。，旋轉(zhuǎn)后與另一個圖形重合.軸對稱有一條對稱軸一一直線：

圖形沿直線翻折180。，翻折后與另一個圖形重合.

考點(diǎn)2：圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應(yīng)用

【典例】（2018海南）（3.00分）如圖，在4ABC中，AB=8,AC=6,ZBAC=30°,將AABC

繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABC,連接BC,則BG的長為（）

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC=AG,ZBAC,=90°,進(jìn)而利用勾股定理解答即可.

【解答】解：；將AABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABC,

.,.AC=AC,,ZCACi=90",

VAB=8,AC=6,ZBAC=30°,

ZBAC,=90°,AB=8,ACi=6,

二在RtzXBAG中，BG的長=62+62=10,

故選：C.

【同步練】（2018?寧波）如圖，在aABC中，ZACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D

與A,B不重合），連結(jié)CD,將線段CD繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連結(jié)DE

交BC于點(diǎn)F,連接BE.

（1）求證：ZXACD^4BCE；

（2）當(dāng)AD=BF時，求/BEF的度數(shù).

【分析】(1)由題意可知：CD=CE,ZDCE=90°,由于NACB=90°,所以/ACD=/ACB-/

DCB,ZBCE=ZDCE-ZDCB,所以/ACD=/BCE,從而可證明AACD絲4BCE(SAS)

(2)由△ACDgZXBCE(SAS)可知I：ZA=ZCBE=45°,BE=BF,從而可求出NBEF的度數(shù).

【解答】解：(1)由題意可知：CD=CE,NDCE=90°,

VZACB=90°,

ZACD=ZACB-ZDCB,

ZBCE=ZDCE-ZDCB,

?,.ZACD=ZBCE,

在4ACD與aBCE中，

rAC=BC

,ZACD=ZBCE

CD=CE

.?,△ACD^ABCE(SAS)

(2)VZACB=90°,AC=BC,

.*.ZA=45",

由⑴可知:ZA=ZCBE=45°,

VAD=BF,

，BE=BF,

ZBEF=67.5°

【點(diǎn)評】圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，圖中的每一個點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線都繞著旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動了相同

的角度，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.在利用此性質(zhì)解決問題時，應(yīng)充分尋找對應(yīng)線段、對

應(yīng)角.

考點(diǎn)3：有關(guān)旋轉(zhuǎn)變換的作圖

【典例】(2018吉林)(7.00分)如圖是由邊長為1的小正方形組成的8X4網(wǎng)格，每個小正

方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A,B,C,D均在格點(diǎn)上，在網(wǎng)格中將點(diǎn)D按下列步驟移動：

第一步：點(diǎn)D繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)D,；

第二步：點(diǎn)立繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)Dz；

第三步：點(diǎn)Dz繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°回到點(diǎn)D.

(1)請用圓規(guī)畫出點(diǎn)DfD?fD經(jīng)過的路徑；

(2)所畫圖形是對稱圖形；

(3)求所畫圖形的周長(結(jié)果保留3T).

【分析】(I)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖象即可；

(2)根據(jù)軸對稱圖形的定義即可判斷；

(3)利用弧長公式計算即可；

【解答】解：(1)點(diǎn)D-Di-Dz-D經(jīng)過的路徑如圖所示:

D\AD

.-i-?-i-「二一寸

iii'uiiixii/

n-r*C'Tr-i--i**Tr4

i1i?k?A?i*1

r\n-r六一"

IKII/IIzl1

r-r^rTY丁一丁一「二

>?，心_」_；

BD2

(2)觀察圖象可知圖象是軸對稱圖形，

故答案為軸對稱.

(3)周長=4X9。""=8n.

180

【同步練】(2018黑龍江龍東)(6.00分)如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是

一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，^ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,4),B(1,1),

C(3,1).

(1)畫出aABC關(guān)于x軸對稱的△ABC；

(2)畫出AABC繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的AAB2c”

(3)在(2)的條件下，求線段BC掃過的面積(結(jié)果保留兀).

【分析】(1)利用軸對稱的性質(zhì)畫出圖形即可;

(2)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖形即可；

⑶BC掃過的面積;s扇形?！癑S扇形。畫,由此計算即可;

【解答】解：(1)ZXABC關(guān)于x軸對稱的△ABC如圖所示；

(2)AABC繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A-BQ如圖所示；

=90?冗?(亞)2_90?兀?(&)2=2,

(3)BC掃過的面積=S扇形SC2§扇形OBB?360360

【點(diǎn)評】旋轉(zhuǎn)變換作圖的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)角相等、旋轉(zhuǎn)半徑相等作出關(guān)鍵點(diǎn)的位置.

考點(diǎn)4：旋轉(zhuǎn)變換在幾何題中的應(yīng)用

【典例】(2017江蘇徐州)如圖，已知AC_LBC,垂足為C,AC=4,BC=3j§,將線段AC繞點(diǎn)

A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AD,連接DC,DB.

(1)線段DC=；

(2)求線段DB的長度.

【分析】(1)證明4ACD是等邊三角形，據(jù)此求解；

(2)作DEXBC于點(diǎn)E,首先在RtACDE中利用三角函數(shù)求得DE和CE的長，然后在RtABDE

中利用勾股定理求解.

【解答】解：(1)VAC=AD,ZCAD=60°,

.?.△ACD是等邊三角形，

；.DC=AC=4.

故答案是：4；

(2)作DEJ_BC于點(diǎn)E.

VAACD是等邊三角形，

AZACD=60°,

又???AC_LBC,

AZDCE=ZACB-ZACD=90°-60°=30°,

...RtZXCDE中，DE=^DC=2,

2

CE=DC?cos300=4X辱2?,

2

BE=BC-CE=3V3-2V3=V3.

22=22=

??.R?DE中，BD=VDE+BEA/2+(V3)VT-

【同步練】(2017湖南株洲)

如圖示，若AABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足NPAC=NPBA=NPCB,則點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn).三角形的

布洛卡點(diǎn)(Brocardpoint)是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾(A.L.Crelle1780-1855)

于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意，1875年，布洛卡點(diǎn)被一個數(shù)學(xué)

愛好者法國軍官布洛卡(Brocard1845-1922)重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名.問題：已

知在等腰直角三角形DEF中，ZEDF=90°,若點(diǎn)Q為4DEF的布洛卡點(diǎn)，DQ=1,則EQ+FQ=

A.5B.4C.3+&D.2+V2

【分析】由△DQFS/\FQE,推出晏=鯉=理=},由此求出EQ、FQ即可解決問題.

FQQEEFV2

【解答】解：如圖，在等腰直角三角形aDEF中，ZEDF=90°,DE=DF,Z1=Z2=Z3,

D

YN1+NQEF=N3+NDFQ=45°,

AZQEF=ZDFQ,VZ2=Z3,

/.△DQF^AFQE,

.DQ_FQ=DF=J^

??而一前一麗一衣’

VDQ=1,

???FQ=y，EQ=2,

???EQ+FQ=2+0,

故選D

【點(diǎn)評】1.應(yīng)用旋轉(zhuǎn)解決幾何問題時：（1）抓住旋轉(zhuǎn)中的“變”與“不變”；（2）找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)前

后的對應(yīng)點(diǎn)和對應(yīng)線段、旋轉(zhuǎn)角等；（3）充分利用旋轉(zhuǎn)過程中線段、角之間的關(guān)系.2.當(dāng)旋

轉(zhuǎn)方向沒有確定時，需要分類，即分逆時針和順時針兩種情況討論.

考點(diǎn)5：旋轉(zhuǎn)變換在函數(shù)題中的應(yīng)用

【典例】（2018云南昆明）（3.00分）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,2）.將點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)0

旋轉(zhuǎn)90°后，再向左平移1個單位長度得到點(diǎn)A',則過點(diǎn)A'的正比例函數(shù)的解析式

為______

【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置，再利用待定系數(shù)法求出正比

例函數(shù)解析式.

【解答】解:當(dāng)點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，再向左平移1個單位長度得到點(diǎn)A',

則A'（-3,4）,

設(shè)過點(diǎn)A'的正比例函數(shù)的解析式為：y=kx,

則4=-3k,

解得：k=-1,

3

則過點(diǎn)A'的正比例函數(shù)的解析式為：y=-Ax,

3

同理可得：點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90°后，再向左平移1個單位長度得到點(diǎn)A",此

時OA”與OA'在一條直線上，

故則過點(diǎn)A'的正比例函數(shù)的解析式為：y=-9x.

kf—

【同步練】在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)y=?的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(l,小).

(1)試確定此反比例函數(shù)的解析式;

(2)點(diǎn)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，將線段OA繞0點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段0B,判斷點(diǎn)B是否在此反

比例函數(shù)的圖象上，并說明理由.

解：⑴把A(l,小)代入y=*得k=lX小=低.?.反比例函數(shù)的解析式為丫=乎(2)

點(diǎn)B在此反比例函數(shù)的圖象上.理由如下：過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作x

軸的垂線交x軸于點(diǎn)D,在RtaAOC中，0C=l,AC=y/3,0A=^AC2+0C2=2,

AZ0AC=30°，???NA0C=60°，

??,線段OA繞0點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB,

AZA0B=30o,0B=0A=2,AZB0D=30°,

在Rt^BOD中，BD=1oB=l,OD=/BD=/,

；.B點(diǎn)坐標(biāo)為（小，1）,..?當(dāng)x=/時，y=V=L

.?.點(diǎn)B（，§,1）在反比例函數(shù)y黑的圖象上

【點(diǎn)評】利用旋轉(zhuǎn)的不變性，求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式進(jìn)行判斷.

【真題演練】

1.（2018黑龍江龍東）（3.00分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.品eC.。工D.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤;

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤:

C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確;

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：C.

2.（2017山東泰安）如圖，在正方形網(wǎng)格中，線段A'B'是線段AB繞某點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角

a得到的，點(diǎn)A'與A對應(yīng)，則角a的大小為（)

【分析】根據(jù)題意確定旋轉(zhuǎn)中心后即可確定旋轉(zhuǎn)角的大小.

【解答】解：如圖：

顯然，旋轉(zhuǎn)角為90°,

故選C.

3.（2017甘肅天水）下列給出的函數(shù)中，其圖象是中心對稱圖形的是（）

①函數(shù)y=x；②函數(shù)y=x\③函數(shù)y=L.

X

A.①②B.②③C.①③D.都不是

【分析】函數(shù)①③是中心對稱圖形，對稱中心是原點(diǎn).

【解答】解：根據(jù)中心對稱圖形的定義可知函數(shù)①③是中心對稱圖形.

故選C

4.（2017山東聊城）如圖，將AABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在AB邊上點(diǎn)B'處，此

時，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'恰好落在BC邊的延長線上，下列結(jié)論錯誤的（）

A.ZBCB/=ZACA/B.ZACB=2ZB

C./B'CA=NB'ACD.B'C平分/BB'A'

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/BCB'=NACA',故A正確，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/

B=ZBB'C,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到的A'CB'=2NB,等量代換得到NACB=2NB,故B

正確；等量代換得到/A'B'C=NBB'C,于是得到B'C平分NBB'A',故D正確.

【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，/BCB'和/ACA'都是旋轉(zhuǎn)角，則NBCB'=NACA',故A

正確，

?；CB=CB',

又ONA'CB'=NB+NBB'C,

/./A'CB'=2NB,

XVZACB=ZA'CB',

.-.ZACB=2ZB,故B正確;

VZAzB'C=ZB,

.'.NA'B'C=NBB'C,

.?.B'C平分NBB'A',故D正確;

故選C.

5.（2017廣西）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,將AABC繞頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到4

A'B'C,M是BC的中點(diǎn)，P是A'B'的中點(diǎn)，連接PM.若BC=2,ZBAC=30°,則線段PM的最

D.1

【分析】如圖連接PC.思想求出PC=2,根據(jù)PMWPC+CM,可得PMW3,由此即可解決問題.

【解答】解：如圖連接PC.

在R3ABC中,VZA=30°,BC=2,

；.AB=4,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，A'B'=AB=4,

.*.A'P=PB',

.*.PC=—AzBz=2,

2

VCM=BM=1,

又：PMWPC+CM,即PMW3,

.??PM的最大值為3（此時P、C、M共線）.

故選B.

B'

c\iB

6.(2018?南充)如圖，矩形ABCD中,AC=2AB,將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到矩形AB'C'D',

使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'落在AC上，B'C'交AD于點(diǎn)E,在B'C'上取點(diǎn)F,使B'F=AB.

(1)求證：AE=CZE.

(2)求NFBB'的度數(shù).

(3)已知AB=2,求BF的長.

【分析】(1)在直角三角形ABC中，由AC=2AB,得到/ACB=30°,再由折疊的性質(zhì)得到一

對角相等，利用等角對等邊即可得證；

(2)由(1)得到aABB'為等邊三角形，利用矩形的性質(zhì)及等邊三角形的內(nèi)角為60°,即

可求出所求角度數(shù)；

(3)由AB=2,得到B'B=B'F=2,NB'BF=15°,過B作BH_LBF,在直角三角形BB'H中，

利用銳角三角函數(shù)定義求出BH的長，由BF=2BH即可求出BF的長.

【解答】(1)證明:?.?在RtZXABC中，AO2AB,

.*.ZACB=ZAC,B'=30°,/BAC=60°,

由旋轉(zhuǎn)可得：AB'=AB,ZBZAC=NBAC=60°,

AZEAC,=NAC'B'=30°,

；.AE=C'E；

(2)解：由(1)得到△ABB'為等邊三角形，

.'.NAB'B=60°,

,

/.ZFBB=15°s

(3)解：由AB=2,得到B'B=B'F=2,ZB/BF=15°,

過B作BH±BF,

在Rt^BB'H中，cosl50=E-，即BH=2X小乜2-返匕Z2,

BB'42

則BF=2BH=V6+V2.

7.(2018?溫州)如圖，P,Q是方格紙中的兩格點(diǎn)，請按要求畫出以PQ為對角線的格點(diǎn)四

邊形.

(1)在圖1中畫出一個面積最小的口PAQB.

(2)在圖2中畫出一個四邊形PCQD,使其是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形，且另一條對

角線。)由線段PQ以某一格點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)得到.注：圖1,圖2在答題紙上.

【分析】(1)畫出面積是4的格點(diǎn)平行四邊形即為所求;

(2)畫出以PQ為對角線的等腰梯形即為所求.

【解答】解：(1)如圖①所示：

(2)如圖②所示：

8.(2018廣西南寧)(8.00分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知aABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分

別是A(1,1),B(4,1),C(3,3).

(1)將aABC向下平移5個單位后得到△ABC,請畫出△ABG；

(2)將△ABC繞原點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△ABC?,請畫出△ABC?；

(3)判斷以0,A、,B為頂點(diǎn)的三角形的形狀.(無須說明理由)

【分析】(1)利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)特征寫出Ai、Bi、C的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可得到△ABC為

所作；

(2)利用網(wǎng)格特定和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)&、B?、心,從而得到△AJBZCZ,

(3)根據(jù)勾股定理逆定理解答即可.

【解答】解：(1)如圖所示，△ABG即為所求：

(2)如圖所示，△AzBC；即為所求：

(3)三角形的形狀為等腰直角三角形，OB=OA尸而7TWT7,A.B=V25+9=V34-

即OB2+OA」=AIB2，

所以三角形的形狀為等腰直角三角形.

9.(2018?臨沂)將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<360°),得到矩形AEFG.

備用圖

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時.求證：FD=CD；

(2)當(dāng)a為何值時，GC=GB?畫出圖形，并說明理由.

【分析】(1)先運(yùn)用SAS判定4AEDgZXFDE,可得DF=AE,再根據(jù)AE=AB=CD,即可得出CD=DF；

(2)當(dāng)GB=GC時，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據(jù)NDAG=60°,即可得

到旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

【解答】解：(1)由旋轉(zhuǎn)可得，AE=AB,ZAEF=ZABC=ZDAB=90°,EF=BC=AD,

AZAEB=ZABE,

D

又?.,/ABE+/EDA=90°=/AEB+/DEF,

AZEDA=ZDEF,

又：DE=ED,

...△AEDg△FDE(SAS),

；.DF=AE,

又：AE=AB=CD,

.*.CD=DF；

(2)如圖，當(dāng)GB=GC時，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，

分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)G在AD右側(cè)時，取BC的中點(diǎn)H,連接GH交AD于M,

AGH1BC,

二四邊形ABHM是矩形,

.?.AM=BII=—AD=—AG,

22

；.GM垂直平分AD,

；.GD=GA=DA,

.,.△ADG是等邊三角形,

.*.ZDAG=60°,

，旋轉(zhuǎn)角a=60°；

②當(dāng)點(diǎn)G在AD左側(cè)時，同理可得aADG是等邊三角形,

.,.ZDAG=60°,

，旋轉(zhuǎn)角a=360°-60°=300°.

10.（2018?岳陽）已知在RtAABC中，ZBAC=90°,CD為NACB的平分線，將/ACB沿CD

所在的直線對折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，連結(jié)AB',BB',延長CD交BB'于點(diǎn)E,設(shè)NABC=2a

（0°<a<45°）.

（1）如圖1,若AB=AC,求證:CD=2BE；

（2）如圖2,若AB#AC,試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系（用含a的式子表示）；

（3）如圖3,將（2）中的線段BC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)角（a+45°）,得到線段FC,連結(jié)

S.

EF交BC于點(diǎn)0,設(shè)aCOE的面積為S“/XCOF的面積為Sz,求用含a的式子表示）.

S2

【分析】（1）由翻折可知：BE=EB',再利用全等三角形的性質(zhì)證明CD=BB'即可;

(2)如圖2中，結(jié)論:CD=2?BE?tan2a.只要證明aBAB's/\CAD,可得以一------

CDACtan2a

推出2BE.1可得CD=2?BE?tan2a；

"5Ttan2a

(3)首先證明NECF=90°,由NBEC+NECF=180°,推出BB'〃CF,推出以里里sin

OFCFBC

（45°-a）,由此即可解決問題;

【解答】解：(1)如圖1中,

VBsB'關(guān)于EC對稱,

.*.BB'_LEC,BE=EB',

.,.ZDEB=ZDAC=90°,

VZEDB=ZADC,

，ZDBE=ZACD,

VAB=AC,NBAB'=ZDAC=90°,

.,.△BAB'絲CAD,

.\CD=BB,=2BE.

(2)如圖2中，結(jié)論：CD=2?BE?tan2a.

理由：由(1)可知：/ABB'=/ACD,NBAB'=ZCAD=90°,

...△BAB's^CAD,

...BBy_AB1

CDACtan2a

.2BE_1

'?萬一tan2a，

CD=2*BE,tan2a.

(3)如圖3中,

在RtAABC中，ZACB=90°-2a,

TEC平分NACB,

AZECB=—(90°-2a)=45°-a,

2

VZBCF=45°+a,

/.ZECF=450-a+45°+a=90°,

AZBEC+ZECF=180°,

ABB/〃CF,

x

...E0二-B-E-二BE二si?n(/45-a),

OFCFBC

..￡I__EO

,s2OF'

。

/.—S—I=sin(45°-a).

S2

【拓展研究】

(2018?自貢)如圖，已知NA0B=60°,在NA0B的平分線0M上有一點(diǎn)C,將一個120°角

的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線0A、0